2022年天津市静海区独流中学高三考前热身数学试卷含解析

2022年高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（）A． B． C． D．2．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（）A． B． C． D．4．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．5．甲乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A．B．C．D．6．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（）A． B． C． D．7．的展开式中的项的系数为（）A．120 B．80 C．60 D．408．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为()A． B．C． D．9．在直角梯形中，，，，，点为上一点，且，当的值最大时，()A． B．2 C． D．10．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A． B．C． D．11．已知集合，，则的真子集个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列是等比数列，，则__________.14．的展开式中，的系数为_______（用数字作答）.15．函数的定义域为_____________.16．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，当时，有极大值3；（1）求，的值；（2）求函数的极小值及单调区间.18．（12分）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？19．（12分）已知椭圆的焦点在轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．（1）求椭圆的方程；（2）设，过椭圆右焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.20．（12分）设函数（其中），且函数在处的切线与直线平行.（1）求的值；（2）若函数，求证：恒成立.21．（12分）已知函数.（Ⅰ）求在点处的切线方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有两个实数根，且，证明：.22．（10分）已知函数，其中为自然对数的底数，．（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）若，问函数有无极值点？若有，请求出极值点的个数；若没有，请说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

连接、，即可得到，，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；【详解】解：连接、，，是半圆弧的两个三等分点，，且，所以四边形为棱形，．故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.2．C【解析】

由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.3．D【解析】

倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解：因为直线与直线垂直，所以，.又为直线倾斜角，解得.故选：D.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.4．D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、补集运算即得解【详解】由于故集合或故集合故选：D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.5．A【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.6．D【解析】

利用等差数列通项公式推导出λ，由d∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．【详解】∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是减函数，∴d＝1时，实数λ取最大值为λ．故选D．【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．A【解析】

化简得到，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】展开式中的项为.故选：【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.8．C【解析】

根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.【详解】因为，且的图象经过第一、二、四象限，所以，，所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，又，，则|，即，所以.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.9．B【解析】

由题，可求出，所以，根据共线定理，设，利用向量三角形法则求出，结合题给，得出，进而得出，最后利用二次函数求出的最大值，即可求出.【详解】由题意，直角梯形中，，，，，可求得，所以·∵点在线段上，设，则，即，又因为所以，所以，当时，等号成立.所以.故选：B.【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.10．B【解析】

选B.考点：圆心坐标11．C【解析】

求出的元素，再确定其真子集个数．【详解】由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个．故选：C.【点睛】本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集．12．D【解析】

连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案【详解】连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以.【点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

根据等比数列通项公式，首先求得，然后求得.【详解】设的公比为，由，得，故.故答案为：【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.14．60【解析】

根据二项式定理展开式通项，即可求得的系数.【详解】因为，所以，则所求项的系数为.故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题.15．【解析】

由题意可得，，解不等式可求．【详解】解：由题意可得，，解可得，，故答案为．【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题．16．【解析】

记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：故答案为：【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）极小值为，递减区间为：，递增区间为.【解析】

（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.【详解】（1）由题意，函数，则，由当时，有极大值，则，解得.（2）由（1）可得函数的解析式为，则，令，即，解得，令，即，解得或，所以函数的单调减区间为，递增区间为，当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．（1）；（2）当BP为cm时，α+β取得最小值．【解析】

（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，根据得到，解得答案.（2）设BP＝t，则，故，设，求导得到函数单调性，得到最值.【详解】（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，则，化简得，解之得，或（舍），（2）设BP＝t，则，，设，，令f'（t）＝0，因为，得，当时，f'（t）＜0，f（t）是减函数；当时，f'（t）＞0，f（t）是增函数，所以，当时，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，因为恒成立，所以f（t）＜0，所以tan（α+β）＜0，，因为y＝tanx在上是增函数，所以当时，α+β取得最小值．【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．（1）（2）【解析】

（1）由已知条件列出关于和的方程，并计算出和的值，jike得到椭圆的方程.（2）设出点和点坐标，运用点坐标计算出，分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，求解出的最小值.【详解】（1）由己知得：，解得，所以，椭圆的方程（2）设，．当直线垂直于轴时，，且此时，，当直线不垂直于轴时，设直线由，得．，.要使恒成立，只需，即最小值为【点睛】本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解，需要掌握解题方法，并且有一定的计算量.20．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）求导得到，解得答案.（2）变形得到，令函数，求导得到函数单调区间得到，，得到证明.【详解】（1），，解得.（2）得，变形得，令函数，，令解得，当时，时.函数在上单调递增，在上单调递减，，而函数在区间上单调递增，，，即，即，恒成立.【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析【解析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可.（Ⅱ）求导分析函数的单调性,并构造函数根据单调性分析可得只能在处取得最小值求解即可.（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结论可知,在上恒成立,再分别设的解为、.再根据不等式的性质证明即可.【详解】（Ⅰ）由题,故.且.故在点处的切线方程为.（Ⅱ）设恒成立,故.设函数则,故在上单调递减且,又在上单调递增.又,即且,故只能在处取得最小值,当时，此时,且在上,单调递减.在上,单调递增.故,满足题意；当时，此时有解,且在上单调递减,与矛盾；当时，此时有解,且在上单调递减,与矛盾；故（Ⅲ）.由（Ⅰ）,在上单调递减且,又在上单调递增,故最多一根.又因为,,故设的解为,因为,故.所以在递减,在递增.因为方程有两个实数根,故.结合（Ⅰ）（Ⅱ）有,在上恒成立.设的解为,则；设的解为,则.故,.故,得证.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参