第九章平面解析几何理数9.5双曲线及其性质

2017年高考“最后三十天”专题透析2017年高考“最后三十天”专题透析相关视频讲解请入群（学霸网）更多配套作业及资料请入群（听课盘）系列三201系列三2019一轮•数学好教育云平台——教育因你我而变好教育云平台§9.5双曲线及其性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.双曲线的定义及其标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质了解2017课标全国Ⅲ,5;2017天津,5;2016课标全国Ⅰ,5;2016天津,6;2015天津,6选择题填空题★★★2.双曲线的几何性质了解2017课标全国Ⅰ,15;2017北京,9;2017山东,14;2016课标全国Ⅱ,11;2016浙江,7;2015课标Ⅰ,5选择题填空题★★★3.直线与双曲线的位置关系了解2015四川,5;2014福建,19选择题解答题★★☆分析解读1.能根据所给几何条件求双曲线方程,能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.2.理解参数a、b、c、e的关系,渐近线及其几何意义.3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.能灵活运用数形结合的思想方法.5.本节在高考中以双曲线的方程和性质为主,分值约为5分,属中档题.五年高考考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2017课标全国Ⅲ,5,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为()A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1答案B2.(2017天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案B3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,)答案A4.(2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案D教师用书专用(5—12)5.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为()A.-=1 B.-=1 C.-=1 答案D6.(2015课标Ⅱ,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()A. B.2 C. 答案D7.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()A.x2-=1 B.-y2=1 C.-x2=1 D.y2-=1答案C8.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案C9.(2015福建,3,5分)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11 B.9 C.5 答案B10.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.-=1 B.-=1 C.-=1 答案A11.(2013广东,7,5分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是()A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案B12.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.(1)求C1的方程;(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).由题意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2),由题意知·=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤将①,②,③,④代入⑤式整理得2m2解得m=-1或m=-+1.因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.考点二双曲线的几何性质1.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为(A. B. C. D.2答案A2.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1 D.m<n且e1e2<1答案A3.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是()A. B. C. D.答案A4.(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.

答案5.(2017北京,9,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=.

答案26.(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.

答案y=±x7.(2015浙江,9,6分)双曲线-y2=1的焦距是,渐近线方程是.

答案2;y=±x教师用书专用(8—22)8.(2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2答案D9.(2015重庆,10,5分)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-,0)∪(0,) D.(-∞,-)∪(,+∞)答案A10.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.x±y=0 B.x±y=0C.x±2y=0 D.2x±y=0答案A11.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B.3 C.m D答案A12.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1A. B. C. D.答案A13.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.3答案B14.(2014广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的()A.焦距相等 B.实半轴长相等C.虚半轴长相等 D.离心率相等答案A15.(2013课标全国Ⅰ,4,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±xC.y=±x D.y=±x答案C16.(2013湖北,5,5分)已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的()A.实轴长相等 B.虚轴长相等C.焦距相等 D.离心率相等答案D17.(2013福建,3,5分)双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C. D.答案C18.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.

答案19.(2015北京,10,5分)已知双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a=.

答案20.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.

答案21.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.

答案22.(2013陕西,11,5分)双曲线-=1的离心率为,则m等于.

答案9考点三直线与双曲线的位置关系1.(2015四川,5,5分)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A. B.2 C.6 答案D2.(2014福建,19,13分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.解析(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e==.(2)解法一:由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为△OAB的面积为8,所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:-=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=.由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得,·=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k2<0,所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m又因为m2=4(k2-4),所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.解法二:由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-<m<.由得y1=,同理得y2=.设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).由S△OAB=|OC|·|y1-y2|=8,得|t|·=8,所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m由得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2因为4m2-1<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+4(1即(1-4m2)(a2-4)=0,所以a2因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.解法三:当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得k>2或k<-2.由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=,又因为△OAB的面积为8,所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=,所以·=8,化简得x1x2=4.所以=4,即m2=4(k2-4).由(1)得双曲线E的方程为-=1,由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,所以双曲线E的方程为-=1.当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:-=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.教师用书专用(3)3.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.解析(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,kAB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,则===·.因为P(x0,y0)是C上一点,所以-=1,代入上式得=·=·=,所求定值为==.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2018宁夏育才中学月考,5)设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于()A.1 B.17C.1或17 D.以上答案均不对答案B2.(2018广东广州华南师大附中检测,5)设k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是()A.长轴在x轴上的椭圆 B.长轴在y轴上的椭圆C.实轴在x轴上的双曲线 D.实轴在y轴上的双曲线答案D3.(2017广东汕头模拟,14)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,且该双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为.

答案-=14.(人教A选2—1,二,2-3-1,3,变式)若关于x,y的方程(m2-4m-5)x2+(m2+5m-6)y2=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围是.

答案(1,5)考点二双曲线的几何性质5.(2018广东茂名模拟,5)已知双曲线-=1的一个焦点在直线x+y=5上,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±xC.y=±x D.y=±x答案B6.(2017安徽安庆二模,6)已知F1、F2为双曲线的焦点,过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点,BF1交y轴于点C,若AC⊥BF1,则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.2答案B7.(2017河北唐山调研,5)设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为()A.1 B.2 C. 答案A考点三直线与双曲线的位置关系8.(2018山东济南模拟,8)已知双曲线-=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线的斜率的取值范围是()A. B.[-,]C. D.(-,)答案A9.(2017山西临汾一中月考,7)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),直线x=a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A,O为坐标原点,若△OAF的面积为a2,则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.答案A10.(2017湖南长沙月考,7)已知F1,F2是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M,N,已知△MF2N是等腰直角三角形,则双曲线的离心率是()A. B.2 C.1+ D.2+答案CB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018福建莆田九中月考,10)已知点P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2的内心,若=+λ成立,则λ的值是(A. B. C. D.答案B2.(2018安徽淮南联考,6)已知双曲线-=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为()A.4+ B.4(1+) C.2(+) D.+3答案B3.(2018山东青岛模拟,8)已知点P是双曲线C:-=1(a>0,b>0)左支上一点,F1、F2是双曲线的左、右焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.答案D4.(2017福建龙岩二模,11)已知离心率为的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线的实轴长是()A.32 B.16 C.84 答案B5.(2016广东茂名二模,11)已知双曲线:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c,直线y=(x+c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则双曲线的离心率为(A. B. C.2 D.+1答案D二、填空题(共5分)6.(2017河南百校联盟质检,16)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法1求双曲线的标准方程的方法1.(2018福建莆田月考,7)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(1,2),则此双曲线的标准方程为(A.-y2=1 B.x2-=1C.-y2=1 D.x2-=1答案B2.(2018河北衡水联考,8)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作其渐近线y=x的垂线,垂足为M,若S△OMF=4(O为坐标原点),则双曲线-=1(a>0,b>0)的标准方程为()A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案C3.(2016安徽亳州二模,5)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与该双曲线相