数值分析教学课件：ch02高斯消去法

1第五章

解线性方程组的数值解法(直接法)2线性方程组直接解法

自然科学和工程计算中,很多问题最终都需要求解一个线性代数方程组3线性方程组解的存在唯一性

如果线性方程组Ax=b的系数行列式不为零，即det(A)0，则该方程组有唯一解。

克莱姆（Cramer）法则

此公式计算量为(n+1)n!(n-1)，当n较大时，计算量相当惊人。

比如：n=20，则

这个工作量在每秒作1010运算的计算机上计算，需要大约162年4线性方程组的数值解法

直接法：指假设计算过程中不产生含入误差，经过有限步四则运算可求得方程组准确解的方法。迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某种算法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解

请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小数，即不可避免地存在着舍入误差的影响，因而即使是准确解法，也只能求到近似解。

5直接法的基本思路

利用方程组的同解变形，逐步将原方程组转化为简单易于求解的特殊形式的线性方程组。

三角形方程组的解法6很容易得到上三角形方程组的解

上述求解过程称为回代过程(backsubstitution)。

计算量为7

如何将方程组化为三角形方程组1.高斯消去法

2.非奇异矩阵三角分解回忆高斯消去法解：先用方程①消去方程②③中的8高斯消去法GaussianElimination即②-①，③-2①得再⑤+2④得同解三角方程组回代求解得：9高斯消去法GaussianElimination

上述过程相当于

可以看出,用高斯消去法解线性方程组可简单分为消元和回代两个过程。

10高斯消去法的主要思路：将系数矩阵A化为上三角矩阵，然后回代求解。考虑n阶线性方程组：矩阵形式=顺序高斯消去法GaussianElimination11Gauss消去法第一步：消去第一列依次将增广矩阵的第i行+mi1第1行，得设，计算其中第二步：消去第二列依次将上述矩阵的第i行+mi2第2行，得其中设，计算记，即。12Gauss消去法高斯消去法第k步：消去第k列依此类推，直到第n-1步，原方程化为设，计算回代求解：计算(i=k+1,…,n)(i=n-1,…,1

)13几点注记

主元（pivotelement）：

顺序Gauss消去法能进行到底的条件：主元全不为0定理：（i=1,2,...,n）的充要条件是A

的顺序主子式不为零，即14计算量第k步：消第k列计算计算(i=k+1,…,n)回代求解：(i=k+1,…,n)n–k

次(n–k)2

次n–k

次n(n+1)/2

次

顺序Gauss消去法的乘除运算量为：15顺序高斯消去法的计算步骤1.顺序消元2.回代求解16MATLABForGaussianEliminationfunctionX=gauss(A,b)%Input—Aisann×nnonsingullarmatrix%---bisann×1matrix%Output—XisthesolutiontothesystemAX=b[n，n]=size(A);

%确定A的维数

X=zeros(n,1);fork=1:n-1fori=k+1:n%消元过程m=A(i,k)/A(k,k);%A(k,k)≠0A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);b(i)=b(i)-m*b(k);

endend17MATLABForGaussianEliminationX(n)=b(n)/A(n,n);fori=n-1:-1:1X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)*X(i+1:n))/A(i,i);endA的第i行、第i+1到n列元素构成的行向量18顺序高斯消去法的优缺点

Gauss消元法简单易行，且计算量小。

顺序高斯消去法只适用于从1到n

1阶顺序主子式均不为零的矩阵A，即当主元素为零时，顺序高斯消去法不能进行；出现小主元时，会严重影响计算结果的精度，甚至导出错误的结果。

19用顺序消去法(高斯消去法)求解(用舍入的4位浮点数运算)，则消元过程矩阵表示为回代求解得比较准确解比较严重失真。20

列主元素Gauss消去法

例列主元素法的消元过程：①先选取列主元：②ifik

k

则

交换第k行和第ik行③消元

在第k步消元时，在第k列的剩余部分选取主元21列主元素列主元素回代后，得22消元换行停机回代求解输出无解信息Gauss列主元消去法的算法设计23列主元Gauss消去法%a为系数矩阵，b为列向量（行列式右侧）n为系数矩阵阶数functionu=gaussline(a,b)aug=[ab]

%取得增广矩阵fork=1:n

fori=k+1:n

r=k;

det=abs(aug(k,k));

forj=k+1:n

%选主元

ifdet<abs(aug(j,k))

det=abs(aug(j,k));

end

end

ifr~=k

%交换r,k

temp=r;

r=k;

24k=temp;endifabs(aug(k,k))<eps%消元失败

disp('err!');

pause;

exit;

end

fori=k+1:n%第i行

m=aug(i,k)/aug(k,k);%行因子

forj=k:n+1

aug(i,j)=aug(i,j)-m*aug(k,j);

endend

endend25x(n)=aug(n,n+1)/aug(n,n);%最后一个解fori=n-1:-1:1%回代消元

s=0;

forj=i+1:n

s=s+aug(i,j)*x(j);

end

x(i)=(aug(i,n+1)-s)/aug(i,j-1);%求第i各解endu=x;26对前面的例题在Matlab命令窗口中输入:>>A=[0.012，0.010，0.167;1，0.83