2023学年度教案-正弦定理答案

答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（） A、﹣ B、 C、﹣ D、考点：正弦定理。分析：根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．解答：解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选D．点评：正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．2、已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（） A、2 B、4+2 C、4﹣2 D、﹣点评：本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用与已知三角形的两角与一边，解三角形；已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形；运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系．3、在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=（） A、 B、 C、2 D、考点：正弦定理。专题：计算题。分析：结合已知条件，直接利用正弦定理作答．解答：解：∵AB=，A=45°，C=75°，由正弦定理得：，∴．故选A．点评：本题考查了正弦定理===2R，注意sin75°=．4、△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（） A、4sin（B+）+3 B、4sin（B+）+3 C、6sin（B+）+3 D、6sin（B+）+3

5、在△ABC中，已知a=5，c=10，A=30°，则B等于（） A、105° B、60° C、15° D、105°或15°考点：正弦定理。专题：计算题。分析：根据正弦定理知，将题中数据代入即可求出角C的正弦值，然后根据三角形的内角和，进而求出答案．解答：解：∵知a=5，c=10，A=30°根据正弦定理可知∴sinC═=∴C=45°或135°B=105°或15°故选D．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用来运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系．属于基础题．6、在△ABC中，若，C=150°，BC=1，则AB=（） A、 B、 C、 D、考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系。专题：计算题。分析：根据所给的角A的正切值，根据同角的三角函数关系得到角A的正弦值，分析在三角形中已知和要求的边刚好是两对角和它们的对边，应用正弦定理，写出关于要求的边的等式，解方程求出边长．

点评：本题考查同角之间的基本关系，正弦定理的应用，运算量不大，是一个可以作为选择和填空出现的问题，是一个基础题．7、在△ABC中，若b=2asinB，则A=（） A、30° B、60° C、30°或150° D、60°或120°考点：正弦定理。专题：计算题。分析：利用正弦定理，可把b=2asinB变形为sinB=2sinAsinB，从而解出sinA，进而求出A．解答：解：将a=2RsinA，b=2RsinB代入b=2asinB中，得2RsinB=2•2RsinAsinB，解得sinA=，∵0°＜A＜180°，∴A=30°或150°．故选C．点评：本题利用了正弦定理的变形a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，比较简单．8、△ABC中，已知b=10，c=15，C=30°，则此三角形的解的情况是（） A、一解 B、两解 C、无解 D、无法确定考点：正弦定理。专题：计算题。分析：先根据b=10，c=15知道b＜c进而可推断B＜C，通过C=30°可知B必为小于30°的锐角．进而可知三角形的解只有一解．解答：解：∵b＜c∴B＜C，∴B必为小于30°的锐角．∴此三角形的解只有一解．故选A点评：本题主要考查了解三角形的问题．在三角形中大边对大角是判断边角不等式问题中常用的方法．9、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（） A、 B、1 C、 D、考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用。专题：计算题。分析：先根据正弦定理把边化成角的正弦代入题设，化简可得SinAcosC=0．因A为三角形内角排除sinA=0，进而可知cosC=0，即C=90°，即sinB=cosA，代入sinA+sinB，通过两角和公式化简成sin（A+）进而得出答案．

点评：本题主要考查正弦定理和三角函数中两角和公式的应用．解决本题的关键是通过正弦定理完成边角互化．10、在△ABC中，如果，B=30°，那么角A等于（） A、30° B、45° C、60° D、120°考点：正弦定理；余弦定理。分析：本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，由在△ABC中，如果，我们根据正弦定理边角互化可以得到a=c，又由B=30°，结合余弦定理，我们易求出b与c的关系，进而得到B与C的关系，然后根据三角形内角和为180°，即可求出A角的大小．解答：解：∵在△ABC中，如果∴a=c又∵B=30°由余弦定理，可得：cosB=cos30°===解得：b=c则B=C=30°A=120°．故选D．点评：余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．余弦定理可以变形为：cosA=（b2+c2﹣a2）÷2bc，cosB=（a2+c2﹣b2）÷2ac，cosC=（a2+b2﹣c2）÷2ab11、在△ABC中，（） A、 B、 C、或 D、以上都不对考点：正弦定理。专题：计算题。分析：由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值．解答：解：由，利用余弦定理得：=+c2﹣2c×，即c2﹣3c+10=0，因式分解得：（c﹣2）（c﹣）=0，解得：c=2或．故选C点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．12、在△ABC中，，则A等于（） A、 B、或 C、 D、

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题，但解决此问题时要注意求解出sinA后，不要误认为A有两解，还要注意三角形中大边对大角．13、在△ABC中，tanA=，cosB=．若最长边为1，则最短边的长为（）． A、 B、 C、 D、考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用。专题：计算题。分析：欲求最短边的长，必须先判断谁是最短边，转化为判断谁是最小角，结合三角值即可判断最小角，接下来利用正弦定理求解即可．解答：解：由条件知A．B都是小于，所以角C最大，又tanB=，B最小，由得，，所以最短边长为．故选D．点评：本题主要考查了正弦定理，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它的所对角的正弦的比相等．14、已知△ABC三边之比为a：b：c=3：5：7，且最大边边长为14，则△ABC面积为（） A、15 B、15 C、15 D、15考点：正弦定理；余弦定理的应用。专题：计算题。分析：先根据三边的比确定最大边，进而可得c，再根据他们的比分别求得a和b，根据余弦定理求得cosA的值，进而求得sinA的值，最后根据三角形的面积公式得到答案．

点评：本题主要考查了余弦定理和三角形面积公式的应用．余弦定理、正弦定理和面积公式是解三角形问题的常用方法，故应熟练掌握．15、在△ABC中，a=3，b=3，A=120°，则角B的值为（） A、30° B、45° C、60° D、90°考点：正弦定理。专题：计算题。分析：由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，然后由A为钝角，得到角B为锐角，利用特殊角的三角函数值和sinB的值即可求出角B的值．解答：解：根据正弦定理得：=，又a=3，b=3，A=120°，所以sinB===，由A=120°，得到B+C=60°，即B为锐角，则角B的值为：30°．故选A点评：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，牢记特殊角的三角函数值，是一道基础题．学生做题时注意判断角B的范围．16、（） A、 B、 C、 D、考点：正弦定理。专题：计算题。分析：利用三角形的面积求出c，利用余弦定理求出a，然后求出的值．解答：解：因为，所以，所以c=4，由余弦定理可知：a2=b2+c2﹣2bccosA，所以a2=1+16﹣4=13，a=，所以==．故选A．点评：本题是基础题，考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查计算能力，常考题型．17、在三角形ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，a=4，b=，C=60°，则三角形ABC的面积为（） A、 B、36 C、 D、18

18、设a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对应边的边长，若的（） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件考点：正弦定理；充要条件。专题：计算题。分析：利用正弦定理求出sinB=b•求出B的值，判定两个命题的关系．解答：解：由正弦定理可知=∴sinB=b•=×=∵0＜B＜180°∴B=60°或120°∴若a=1，b=，A=30°则B=60°或120°∠B=60°不能推出a=1，b=，A=30°故选D点评：本题考查了正弦定理和充要条件，要熟练掌握正弦定理，属于基础题．19、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（） A、 B、 C、 D、

点评：本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理是解三角形问题中常用公式，平时应注意记忆和练习．20、在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则 A、（0，] B、[，π） C、（0，] D、[，π）考点：正弦定理；余弦定理。专题：计算题。分析：先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．解答：解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选C点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．二、填空题（共5小题）21、在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a=．考点：正弦定理。专题：计算题。分析：直接利用正弦定理，求出a的值即可．解答：解：在△ABC中．若b=5，，sinA=，所以，a===．故答案为：．点评：本题是基础题，考查正弦定理解三角形，考查计算能力，常考题型．22、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=4．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理。分析：已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有对称性，可以选用特殊的角或边来求解结果，当a=b时满足题意，根据可以成立的这个条件写出cosC的值，根据这个结果，令A=B，做出tanA和tanB的值，得到结果．

点评：本题是一个比较特殊的题目，根据等式，把几个量特殊化，这是一般题目见不到的地方，注意本题的解法，这是一种只能用于选择和填空的方法．23、已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=1．考点：正弦定理。专题：计算题。分析：先根据A+C=2B及A+B+C=180°求出B的值，再由正弦定理求得sinA的值，再由边的关系可确定A的值，从而点评：本题主要考查正弦定理的应用和正弦函数值的求法．高考对三角函数的考查以基础题为主，要强化记忆三角函数所涉及到的公式和性质，做到熟练应用．24、在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用。专题：综合题。分析：（1）根据正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC=2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角△ABC和B=2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可．解答：解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故．故答案为：2，（，）点评：考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=2A变换角得到角的范围．25、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a=．考点：正弦定理。专题：计算题。分析：由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，进而求得A推断a=c，答案可得．解答：解：由正弦定理，∴故答案为点评：本题主要考查了正弦定理得应用．属基础题．三、解答题（共5小题）26、在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC（1）求cosA的值（2）若a=1，，求边c的值．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用。专题：计算题。分析：（1）利用正弦定理分别表示出cosB，cosC代入题设等式求得cosA的值．（2）利用（1）中cosA的值，可求得sinA的值，进而利用两角和公式把cosC展开，把题设中的等式代入，利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，最后利用正弦定理求得c．解答：解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；（2）∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC③又已知cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得sinC=已知a=1正弦定理：c===点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．考查了基础知识的综合运用．27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数。专题：计算题。分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可．（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a与c的关系式，利用正弦定理求出sinC的值．

点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．28、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．（I）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理。专题：计算题。分析：（1）注意角的范围，利用二倍角公式．（2）利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cosC，用余弦定理解方程求边长b．解答：解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1﹣2sin2C=，及0＜C＜π所以sinC=．（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理=，得：c=4由cos2C=2cos2C﹣1=，及0＜C＜π得cosC=±由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得b2±b﹣12=0解得b=或2所以b=或b=2，c=4．点评：本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力．29、已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；