国网考试电磁场培训

一、麦克斯韦（Maxwell）方程组-Ⅰ法拉第电磁感应定律高斯通量定理Sl

S安培全电流定律磁通连续性定理

d

d

E

dl

dt

B

dsl

SS

V

D

ds

dV

B

ds

0SB

HE电场强度，V/m磁场强度，A/m磁感应强度，T、Wb/m2

H

dl

J

ds

dt

D

ds

DJ电位移矢量，C/m2电流密度，A/m2电荷密度C/m3

J

EB

H辅助方程

D

E

r

0

r

0

r

0

磁导率，H/m介电常数，F/m电导率，S/ml

A

dl

SAds通量环量1/40电阻器：恒定电场ddd000u

J1

I

Sdy

d

SI

RIdl

E

dl

J

E辅助方程与电阻、电感、电容关系Sd

I

dSSI

LI0dS

KdS

0

0H

dS

0

SB

dS

S

B

H电感器--恒定磁场电容器--静电场dSq

S0

S

d0u

dS

0S

u

Cu

EdS

dS

D

E忽略边缘效应一、麦克斯韦（Maxwell）方程组-Ⅱ2/40l

S

d

E

dl

-

dt

B

ds一、麦克斯韦（Maxwell）方程组-Ⅲ忽略变化磁场产生的电场效应---准静态电场（QES:

quasielstrostatics）

E

dl

dt

B

ds

0l

Sd

E

dl

0lu

0基尔霍夫电压定率---KVLSd

dt

B

ds被忽略项为杂散电感产生的电压

S

d

H

dl

J

ds

dt

D

dsdSS

D

ds

0dt

J

ds

闭合线趋近于以点cd基尔霍夫电压定率---KCLl

S对于任意节点忽略位移电流ci

0i

i

03/40电路结构约束方程与麦克斯韦方程曲面积分解：S例题1

计算

x2

2xydydz

y2

2

yzdzdx

zz

2x

1dxdy

SAxdydz

Aydzdx

Azdxdyx2A

x

2xyy2A

xy

2

yzA

zz

2x

1zVA

A

x

x

x

A

x

y

z

dxdydz x

2x

2

yA y

2

y

2zA z

2z

2xA

2x

-

2

y

2

y

-

2z

2z

-

2xdxdydz

0V

A

ds

AdV

A

Axex

Ayey

AzezS

V

e

e

e一、麦克斯韦（Maxwell）方程组-Ⅳyzxx

y

zx

y

z4/405/30例题2

计算曲线积分：解：l

x

ydx

y

xdyx2A

x

2xyy2z

A

xy

2

yz

A

0

x

y

Azz

zx

Ay

dydz

Ax

Az

dydz

Ay

Ax

dydz

-2ab

yS

A

dl

AdSl

S

A

Axex

Ayey

Azez

e

e

ex

y

zx

y

z一、麦克斯韦（Maxwell）方程组-Ⅳx2

y2a2

b2

1l

:

Axdx

Aydylex

ey

ez

y

zAx

Ay

Az

A

x5/40一、麦克斯韦（Maxwell）方程组-Ⅳ高斯通量定理S

VD

ds

dV

矢量代数表达式S

S

S

S

D

ds

Dxdydz

Dydxdz

DzdxdyD

Dxex

D

e

D

ey

y

z

z

zxD

DyV

x

y

z

DdxdydzVz

zy

yx

D

e

dV

D

e

e

D

ee

e

V

DdV数学上的高斯通量定理数学高斯通量定理精简表示法

e

e

ex

x

y

y

z

z

D

B

ds

0S

B

0散度6/40一、麦克斯韦（Maxwell）方程组-Ⅴ法拉第电磁感应定律dtd

E

dl

B

dslSl

S

E

dl

E

ds数学上的定理

d

E

ds

dt

B

dsS

Sdt

E

dB

E

x

y

z

x

x

y

y

z

z

x

y

z

e

e

e

E

e

E

e

E

e

zx

yx

y

z

x

y

zE

E

Ee

e

el

S

S

d

H

dl

J

ds

dt

D

dst

H

J

D

旋度7/40一、麦克斯韦（Maxwell）方程组-Ⅵ法拉第电磁感应定律安培全电流定律磁通连续性定理D

dsS

S

dl

H

dl

J

ds

dtd

dt

E

dl

l

B

dsS量定理

SV高斯通

D

ds

dV

B

ds

0StH

J

D

B

0

D

Bt

E

S

A

ds

A

dll

A

ds

A

dlS

l8/40一、麦克斯韦（Maxwell）方程组-ⅦD

B

0

H

J

tE

Bt

D

l

S

S

d

H

dl

J

ds

dt

D

dsdtSlB

ds

E

dl

dVSdVD

ds

SB

ds

0n1

2n

D

D

>媒质（2）

n

0B1

B2n1

2E

E

0n

n

H1

H2

K9/40111222111222二、静电场基本方程-Ⅰ法拉第电磁感应定律

E

dl

0lS

V高斯通

D

ds

dV量定理

E

0

D

法拉第电磁感应定律高斯通量定理辅助方程不动不随时间变化的电荷产生的电场Dt

H

J

B

E

t

D

法拉第电磁感应定律安培全电流定律

D

E磁通连续

性定理

B

0高斯通量定理微分方程10/40012R124

R2F

2

e库仑定律点电荷之间相互作用力电场强度定义qt

0

qtE

limFq40re2

RE

点电荷产生的电场强度体电荷密度V‘eR20Ex,

y,

z

4

Rx',

y'

,

z'

dV'

面电荷密度dV

'

dS'线电荷密度dV

'dl'体电荷dV

'

q20eR

Er

S

'4

R

r'dS'

20l'eR

Er

4

R

r'dl'

q1q2R12e12FR二、静电场基本方程-Ⅱ体电荷密度面电荷密度线电荷密度x,

y,

zx'

,

y'

,

z'

C/m3C/m2C1/m1/40d

dx

dy

dzx

y

zx

dzi

dxix

dyiy

dziz

iiy

yxdxi

dyi

dzi

dz2x

y

zdx2

dy2

dz2

xy

z

i

x

y

z

z

i

iz

dx2

dy2

dlxyz

cos

i

cosi

z

dzi

dx2

dy2

dz2

cosixi

x

yiy

zxzi

ili

i

x

y

y

z

dz

dl标量场的梯度根据数学中偏微分理论矢量点积定义矢量模和方向算自定义

方向余弦方向导数dl二、静电场基本方程-Ⅲd

il12/40V

'iRR2E x,

y,

z

1

40x'

,

y',

z',

tdV

'0

V

'-

R

4x',

y'

,

z'

dV'

1

-

V'

C

x',

y'

,

z'

dV'40

RE

参考点选择C

00''

'

'V

'

C4

Rx

,

y

,

z

dV

4

R

S

'04

R0

x',

y'

,

z'

dl'

‘lV

'40

R

x'

,

y',

z'

ds'x',

y'

,

z'

dV'

二、静电场基本方程-Ⅳ1

R11R

R

'

e2

R'

'

'R

x

x

y

y

z

z

2

2

2

关于1/RQPQ

dlPE

dl

PQQPlddl

P

Q13/40

E

0二、静电场基本方程-Ⅴ

D

E

D

-D

E

-

2

2

Poisson（泊松）方程n

01

fn

2第一类边界条件（狄里赫利）

f

第二类边界条件（纽曼）-

2

0Laplace（拉斯）方程0

第一类边值问题-

2

第二类边值问题第三类边界条件（混合条件）-

2

第三类边值问题

亥姆霍兹定理（场唯一性）

F

FFF唯一0

0齐次1

2

f

0齐次14/40二、静电场基本方程-Ⅵ静电金属箱E

0E2

0E115/40二、静电场基本方程-Ⅶ空间中半径为R的孤立金例题1

求无限大属球的电容金属球Rq

Cuq

Eq

u

C

ureq

04

r2E

rr004

r4

r2r

q04

RR0C

4

R假设导体电荷为

qrS

V

D

ds

dV

0

E

ds

dVS

V

0D

Eq40

RuRu

016/40二、静电场基本方程-Ⅷ例题2

计算无限大空间中半径为R体电荷密度为ρ球形分布电荷在空间产生的电场强度和电位。ρr<R区域：无荷区r>R区域：电荷区S

V

D

ds

dVS

V

D

0

E

0

E

ds

dVr<R区域Eq04

rE

2

erq

V

4

r33r>R区域Eq2

er04

rE

q

V

4

R33er30

r

E

30rR3

E

2

err<R区域电位r>R区域电位r020R33

re

dr

3

r

rR3

2rR2

r2

e

drrR2

60

3030r

R3

17/40二、静电场基本方程-Ⅸ例题3计算距无限大金属平板上方h处点电荷在上半空间产生的电位。亥姆霍兹定理有效区域非均匀空间空q

qrr1:点电荷q到场点的距离场点r位于40r140r2上半空间18/40r2:点电荷q到场点的距离旋度方程散度方程环量方程电流连续性方程辅助方程不随时间变化的电生的电场Dt

H

J

B

0Bt

E

法拉第电磁感应定律安培全电流定律磁通连续性定理高斯通量定理微分方程

J

E

J

0

E

0

E

dl

0l

J

ds

0S辅助方程三、恒定电场基本方程-Ⅰ

J

E

D

19/40E

J静电场是在恒定电场建立过程中形成静电场是

不动不随时间变化的电荷产生的恒定电场是导电媒质中电中性环境中运动载流子产生的I

J

dsSUs

E

dl三、恒定电场基本方程-Ⅱu

0i

020/40σ、ερ0三、恒定电场基本方程-Ⅲ例题1初始时刻体电荷密度为ρ0，电导率和介电常数为σ和ε，试求电荷扩散到边界过程电荷密度分布变化。Dt

H

J

t

J

D

0

t

DE

0

J

E

0t

D

E

D

t

t

0e

0e

弛豫时间

8.85

10-12

F/m

5.8

107S/m19

1.5310

s21/40法拉第电磁感应定律安培全电流定律磁通连续性定理高斯通量定理d

l

S

E

dl

dt

B

dsVSD

ds

dV

B

ds

0S

JH

B

0Bt

E

法拉第电磁感应定律安培全电流定律磁通连续性定理

D

高斯通量定理22/40四、准静态电场（电准静态场）基本方程-Ⅰ忽略变化的磁场产生电场效应的时变电磁场SlSJ

ds

ddtH

dl

0

E

ds四、准静态电场（电准静态场）基本方程-Ⅱ安培全电流定律磁通连续性定理高斯通量定理Sl

d

dtSJ

ds

H

dl

0

E

ds

E

dl

0lS

V

D

ds

dVS

B

ds

0t

H

J

D

B

0

D

法拉第电磁感应定律

E

0法拉第电磁感应定律安培全电流定律磁通连续性定理高斯通量定理23/40四、准静态电场（电准静态场）基本方程-Ⅲ（1）例1

无限大

空间有一无限长圆柱直导线，半径为R，线电荷密度为τ(t)，频率为50Hz，求其在

空间中产生的电场强度和电位er20r

t

E

r,

t

2、根据对

，距导体轴线为

r圆柱面上电场强度相同，方向垂直圆柱面向外1、准静态电场与静电场具有相同性质，电荷分布在导体表面，电场强度为零。V

D

ds

dVSS0

E

ds

dVV

0D

Errdr

lnr

lnC

20r

20r,t

E

dr

选择r=1

处为点位参考点20r,t

t

ln

r24/40四、准静态电场（电准静态场）基本方程-Ⅲ（2）例2

无限大

空间有一无限长圆柱直导线，半径为R，线电荷密度为τ(t)，频率为50Hz，计算空间电位移矢量和位移电流密度。

t

D

r,

t

0

E r,

t

2rererdd

t

12r

dtt

r,

tDJ

25/40五、恒定磁场基本方程-Ⅰ安培电流定律磁通连续性定理l

S

H

dl

J

ds

B

ds

0S

H

J安培电流定律磁通连续性定理

B

0

B

H辅助方程不随时间变化的电生的磁场

H

J

Dtt

D

法拉第电磁感应定律安培全电流定律磁通连续性定理

B

0高斯通量定理微分

E

B方程26/40F

I1dl1

B212RI1dl1

iRl

I2dl2

lF21

04lR20B

4

Idl

iR线电流源：Idl

A

m面电流源：Kds体电流源：JdVl1l2iR安培力定律磁感应强度定义磁感应强度定义R2

B

S’40

Kds'iRR2

B

V

'40

JdV

'

iR五、恒定磁场基本方程-Ⅱ从安培力定律到磁感应强度积分公式27/40五、恒定磁场基本方程-Ⅲ从磁感应强度积分公式到基本方程V1R

0

4B

-JdV

'B

0

VR

J

dV

'4B

VJ'0'

dV

C

R

4

'

JdV

'

iR0VR2B

4R

J

1

J

1

JR

R

0

B

A

0B

A

0RVA

'0

J

dV

'

C428/40参考点选择A

0V'RJ

dV

'A

040S'K

ds'A

4

R0'l

'

RdlA

4

I'

电流源转换

JdV

'

Kds电流源转换JdV

'

Idl

'RdA与

J

dV

'同方向库伦规范29/40

0

H

0

E

0E

-

0

H

A矢量泊松方程

A

0

JHH

A

0

A

J2

A

A

A

20A

-

Jz

0

z2

A

-

J五、恒定磁场基本方程-Ⅳ30/40法拉第电磁感应定律磁通连续性定理高斯通量定理d

l

S

E

dl

dt

B

dsVSD

ds

dV

B

ds

0S

H

JBt

E

法拉第电磁感应定律安培全电

流定律

B

0磁通连续性定理

D

高斯通量定理

31/40六、准静态磁场（磁准静态场）基本方程-Ⅰ忽略变化的电场产生磁场效应的时变电磁场SSl安培全电流定律D

dsdtdJ

ds

H

dl

六、准静态磁场（磁准静态场）基本方程-Ⅱ准静态磁场绝缘介质准静态电场导电媒质准静态电场准静态电场准静态磁场32/40例1无限大感应强度。空间有一无限长线电流

i，试计算磁场强度和磁33/40i

i2r

2rH

B

0

H

0

距线电流距离r处例2密绕圆形螺线管线圈，匝数N，半径为a，长度为d，忽略端部效应，计算螺线管

磁感应强度和电感，

磁导率为。

H

J

H

Kn

H21视线圈为线电流dK

Ni导体内磁场为零dNiH

无源dL

0a2空间对称六、准静态磁场（磁准静态场）基本方程-

Ⅲ忽略圆柱形电容器内部电场的边缘效应t

H

J

D

0

Vt