一元二次方程知识点小结

一元二次方程知识点小结第一页，共28页。知识梳理1、一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程。2、一元二次方程的一般形式：一、一、一、ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）练习练习第二页，共28页。二、一元二次方程的解法1、直接开平方法。（x+m）2=n（n≥0）2、配方法。①化——将二次项系数化为1。③配——在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为（x+m）2=n（n≥0）的形式。④开——用直接开平方法解出方程。②移——将常数项移到方程的右边。练习练习第三页，共28页。3、公式法。4、分解因式法。求根公式：x=（b2-4ac≥0）-b±2a练习练习步骤：①先化为一般形式；②再确定a、b、c,求b2-4ac；③当b2-4ac≥0时,代入公式:④当b2-4ac<0时，方程无实数解步骤：①右边化为0,左边化成两个因式的积；②分别令两个因式为0，求解。第四页，共28页。三、一元二次方程的应用。1、数字问题2、增长率问题4、面积问题3、利润问题5、几何问题注意：①设要有单位②解出方程后检验根的合理性练习练习练习练习练习结束第五页，共28页。返回1、判断下面哪些方程是一元二次方程√

√

×

×

×

×

第六页，共28页。1、一元二次方程3+x=2x(x+1)化成一般形式为

，其中二次项系数为

。2、若关于x的方程（m+2）x2-3x-2=0是一元二次方程，则m的取值范围是

。2x2+x-3=02m≠-2返回第七页，共28页。解下列方程。x2=3(x+1)2=5(2x-3)2=9解：x=±∴x1=

x2=-解：x+1=±x=-1±∴x1=-1+x2=-1-返回解：2x-3=±32x=3±3

∴x1=6x2=0第八页，共28页。用配方法解方程。①x2-2x-3=0②3x2-2x-5=0解:x2-2x=3x2-2x+1=3+1(x-1)2=4x-1=±2x=1±2∴x1=3x2=-1

解:3x2-2x=5x2-x=x2-x+()2=+()2(x-)2=x-=±x=±∴x1=x2=-1

返回第九页，共28页。用公式法解方程。①x2-2x-3=0②3x2-5=2x解:∵a=1,b=-2,c=-3∴b2-4ac=4+12=16>0

∴x=

x=

∴

x1=3x2=-1

解:整理得：3x2-2x-5=0∵a=3,b=-2,c=-5∴b2-4ac=4+60=64>0

∴x=

x=

∴

x1=x2=-1

第十页，共28页。③解：∵a=3b=-6c=1∴b2-4ac=36-12=24>0

∴∴x1=x2=返回第十一页，共28页。用分解因式法解方程。①(4x-1)(5x+7)=0②5x2=4x解:4x-1=0或5x+7=0∴

x1=

x2=-

解:5x2-4x=0x(5x-4)=0∴

x=0或5x-4=0∴

x1=0

x2=

第十二页，共28页。用分解因式法解方程。③2(x-3)2=x2-9解:2(x-3)2=(x+3)(x-3)2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0(x-3)(x-9)=0∴

x-3=0或x-9=0∴

x1=3x2=9

第十三页，共28页。说出下列方程用哪种方法解比较适当。(3x-2)2=7x2-6x-9=03x2-2x-1=0(2x+3)2=(5x+1)2直接开平方法配方法公式法直接开平方法或分解因式法返回第十四页，共28页。1、若一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数可表示为

。100c+10b+a第十五页，共28页。返回2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的两位数.第十六页，共28页。3、甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，若设该公司缴税的年增长率为x，则根据题意可列方程为

。2、甲公司前年缴税40万元，去年和今年共缴税95万元，若设该公司缴税的年增长率为x，则根据题意可列方程为

。1、甲公司前年缴税40万元，到今年共缴税135万元，若设该公司缴税的年增长率为x，则根据题意可列方程为

。40(1+x)2=48.440(1+x)+40(1+x)2=9540+40(1+x)+40(1+x)2=135返回第十七页，共28页。1、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨3元，其销售量就能减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？解：若设台灯的售价应定为x元，则可列方程为

；若设每个台灯涨价x元，则可列方程为

。分析：单个利润×销售量=总利润()()=10000x-30600－10×()()=1000040-30+x600－10×第十八页，共28页。2、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元。某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问：该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？第十九页，共28页。2、解：设这次共有员工x名去天水湾风景区旅行，根据题意列方程得：x[1000-20(x-25)]=27000解之得：x1=45x2=30当x=45时，1000-20(x-25)=600<700因此X=45不合题意，舍去;当x=30时，1000-20(x-25)=900>700答：这次共有员工900人去旅行第二十页，共28页。3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?第二十一页，共28页。返回解:设每千克水果应涨价x元,依题意得:()()=600010+x500解这个方程得:x1=5,x2=10要使顾客得到实惠应取x=5答:每千克水果应涨价5元.20x－第二十二页，共28页。1.(2004年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.

（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.

（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.第二十三页，共28页。解:(1)方案1：长为米，宽为7米;方案2：长为16米，宽为4米;方案3：长=宽=8米;注：本题方案有无数种（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.x(16-x)=63+2，x2-16x+65=0，∴此方程无解.∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米第二十四页，共28页。学校课外生物小组的实验园地是一块长40米，宽26米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为864平方米，求小道的宽？

设小道的宽为x

米。根据题意得:(40－2x)(26－x)=864（不合题意，舍去）答：小道的宽为2米。小道小道264040262第二十五页，共28页。例：如图，已知直线AC的解析式，点P从A点开始沿AO边向点O以1个单位/秒的速度移动，点Q从O点开始沿OC向点C以2个单位/秒的速度移动，如果P、Q两点分别从A、O同时出发，经几秒钟，能使△PQO的面积为8个平方单位。ACOPQxyA（-6，0），C（0，8）

解：直线y=4\3x+8与x轴、y轴的交点坐标分别为设P、Q移动的时间为x秒．根据题意得1/2•2x•（6-x）=8，整理得x2-6x+8=0，∴x=2或x=4，当x=2时，AP=2，OQ=4，P、Q分别在OA、OC上，符合题意．

当x=4时，AP=4，OQ=