物理竞赛光学试题课件

1例2、设曲面S

是有曲线CC’

绕X

轴旋转而成的。曲面两侧的折射率分别为n

和n’，如果所有平行于X

轴的平行光线经曲面折射后都相交于X

轴上一点F，则曲面成为无像差曲面，已知OF

=

f，求曲线所满足的方程。如果n’

=-

n’，结果如何？C’COXY解：FfAB

分析－－解本题可用折射定律求曲面法线方程的方法，再结合已知条件，可求得CC’曲线方程。

用等光程原理求解本题更简单nn’1例2、设曲面S是有曲线CC’绕X轴旋转而成的。2C’COXYFfAB(x,y)

选取一条入射光线AB

和一条沿X

轴入射的光线;nn’

等光程：

几何关系：

CC’曲线方程：n’

=-

n’时：椭圆方程抛物型反射镜2C’COXYFfAB(x,y)选取一条入射光线ABnn3例1有一半导体发光管，发光区为半径为

r的圆盘，发光面上覆盖一折射率为n、半径为R的半球型介质，如图所示。问：要使发光区发出的全部光线在球面上不发生全反射，介质半球的半径R

至少应多大？（第11届全国中学生物理竞赛题）R发光区Onr解：

第一步：全反射条件3例1有一半导体发光管，发光区为半径为r的圆盘，4OAPB

第二步：反射光的几何性质

考察任意一点A

发出的光线在球面上任意一点P

反射后的光线

因此反射光线一定在APO平面内，与发光面交点B在AO

延长线上，即AO所在的直径上P’RB’R

P

点的法线沿PO

方向反射线、折射线、法线三者共面A点发出的其它光线反射后都与AO所在的直径相交4OAPB第二步：反射光的几何性质考察任意一点A发5

第二步：数学推导EFROnrPEO区内E点光线的入射角iE最大，同样FO区内F点的光线的入射角iF最大;iEiF

求F点光线的最大入射角

不发生全反射:

如果P

点在右半边，则有iF>iE,P

点在左边,则反之;5第二步：数学推导EFROnrPEO区内E点光线的入射6例2图示一个盛有折射率为n的一体的槽，槽中的中部扣着一个对称屋脊形的薄璧透明罩ADB,顶角为2q，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底AB

的中点有一亮点C。试求出：位于液体上方图示平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件（液槽有足够的宽度；罩璧极薄，可不计它对光线产生折射的影响）（第13届全国中学生物理竞赛予赛题）解：ABDn’=1nCq

在液面上折射时，所有光线都发生全反射时，则光线出不来。6例2图示一个盛有折射率为n的一体的槽，槽中的中7ABDn’=1nCqabg

全反射条件：EF

三角几何关系E点和F点法线的夹角＝DB和水平方向的夹角：只要g

的最小值小于临界角，则总会有光线出来g

最小b

最大C点发出光线CD的a最大7ABDn’=1nCqabg全反射条件：EF三角几何8例3：一块平行平板，其厚度为d，光线从O点垂直入射，若平板折射率按变化，q

为常数，并在A

点以a

角出射，求光线轨迹、A

点的位置和平板的厚度。AaOXYd解：

折射定律决定光线在每一点的方向，从而确定光线的轨迹；

介质折射率连续变化，可将平板沿X

方向切成一系列薄片，对每层薄片应用折射定律。

折射定律的级联形式：bx8例3：一块平行平板，其厚度为d，光线从O点垂直入射，9AaOXYdbxP(x,y)

P点光线的方向由bx

决定:

P点光线的切线斜率kp

:

曲线y=f(x)与斜率kp：A点的条件：和

光线轨迹方程：

结论：和9AaOXYdbxP(x,y)P点光线的方向由bx决定10例4、一个透明光学材料，折射率在y方向向两侧对称地降低：，在xoy平面内有一光线以入射角qo=30o射向O点，求此光线能到达离X轴最远的距离。OXY解:q0

从上题可知，光线进入折射率非均匀介质后弯曲，而且是倾向于向折射率大的方向偏折。

从图可知：光线X轴最远点为切线在水平方向时的切点处。

沿Y方向分割成一系列薄层，应用折射定律。

由初始条件求出a0:aa010例4、一个透明光学材料，折射率在y方向向两侧对称地11例5、图示三棱镜的顶角a

＝60o，在三棱镜两侧对称位置放置焦距均为f=30cm的两个完全相同的凸透镜L1和L2，若在L1

的前焦面上距主光轴下方y=14.3cm

处放一单色点光源S，已知其像S’

与S

对该光学系统时左右对称的，试求该三棱镜的折射率。(第19届全国中学生物理预赛题）FfySS’L1L2解：

分析：光路系统及物像左右对称，考虑到光线的可逆性原理，因此在棱镜内部分的光线一定是平行于棱镜底边an=?11例5、图示三棱镜的顶角a＝60o，在三棱镜两侧对称位12FfySS’L1L2

选取一条特征光线－－通过透镜光心的光线i1i4i3i2a

几何关系：bn=?

计算得：12FfySS’L1L2选取一条特征光线－－通过透镜光心13例7、两透镜组合系统如图，已知一个物经整个系统成像位置和大小如图中所示。试用作图法求物经L1

成像位置与大小，作出L1

及透镜组合系统的焦点位置（画出物方或像方中的一个即可），说明L1

和L2

的凹凸性。L1L2解：物P像P’

物点P发出的光线1通过L1光心；

通过像点P’并经过L2光心的光线2’

；12’光线1经过L2后的光线1’

的延长线通过像点P’；1’2

在L2

上对应于2’

的入射光线为2

；1和2交点是物点P经L1所成的中间像点；P”13例7、两透镜组合系统如图，已知一个物经整个系统成像位置和14L1L2物像12’1’2

物点P发出的水平光线经L1后与P”相交确定L1

的焦点F1’F’313’F’

出射光线3’

通过P’

与光轴相交于F’L1为负透镜，L2为正透镜14L1L2物像12’1’2物点P发出的水平光线经L15例8、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主轴方向放置一细条形发光体A1A2（如图示），其长度为l=0.020m。若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去，可以看到条形发光体的两个不很亮的像（此外可能还有亮度更暗的像不必考虑），当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上跟着移动。现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发光体的近端A2距球心O的距离为a2=0.020m，试利用以上数据求出此玻璃球的折射率n（计算时只考虑近轴光线）。OA1A2a2解：

分析－－

两个像一为平面反射的像；

另一个为经过平面折射球面反射平面折射nR15例8、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与16OA1A2a2

求光轴上一点A（在O左方a处）的A经过三次所成的像，R

注意点：半球的r=-Rn计算可得，最后的像A’在O右边s’A处：显然s’A<a

并且s’A1>s’A2

A’1A’2A”2A”1A经平面反射的像A”

在O右边

a处，两条形像头尾相接，A1’

与A2”

重合l16OA1A2a2求光轴上一点A（在O左方a处）的A经过三17例9、一块玻璃台板厚度为d，折射率为n，看到压在台板下的报纸上的字相对于真实位置要上移一个距离l，试求l。SS’ndlO1O2解：S”S相对于O1的物距为s其像S”相对于O1的像距例如n=1.5，l=d/3

分析－－利用公式求解两次成像过程

中间像S”相对于O2的物距为S’相对于O2的像距:S’相对于O1的像距:17例9、一块玻璃台板厚度为d，折射率为n，看到压在台板18例10、长度为h=4mm的物体由图示的光学系统成像。光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标于图中。求：1）像的位置；2）像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。（第13届全国物理竞赛复赛题）AB6cm10cm5cmL1L245o6cmn=1.5f1=20cmf2=10cm解：

分析－－

棱镜不仅起反射作用，两个直角面上的折射也必须考虑；AB经过棱境全反射后，再分别经L1和L2成像；

棱镜反射相当于反射镜，两次折射等效于平板玻璃的作用。18例10、长度为h=4mm的物体由图示的光学系统成像。196cmA’B’平板折射像A’B’AB6cm10cm5cmL1L245o6cmn=1.5f1=20cmf2=10cm

全反射条件：近轴成像

棱镜的等效成像:A’B’与AB等高，在AB右侧lAB反射像6cm

最后的像成在L2的焦点上，即L2左侧10cm处，像高2mm196cmA’B’平板折射像A’B’AB6cm10cm5cm20A’B’L1L2

作图F1F’2A”B”20A’B’L1L2作图F1F’2A”B”21例11、在图示的费涅尔双棱镜实验中，已知狭缝光源S的波长为l、棱镜折射率为n、棱角a很小，设光源S到棱镜的距离为L1，（1）求距棱镜L1处的屏上条纹的间距。（2）若用折射率为n’的肥皂膜遮住棱镜的一半，发现条纹上下移动了a，求肥皂膜的厚度。SS2S1解：SS2S1L1L2屏an

分析－－采用等效的虚光源后，有类似于扬氏干涉的干涉条纹；DxX21例11、在图示的费涅尔双棱镜实验中，已知狭缝光源S的波长22t（2）肥皂膜厚度t：

求等效光源S1和S2的间距d：SS2S1L1L2屏anOd棱镜角a很小q偏向角X（1）条纹间距Dx：Dxa光程差的变化22t（2）肥皂膜厚度t：求等效光源S1和S2的间距d23例12、一块玻璃平板放置在边长为2cm的玻璃立方体上，两者之间有一层平行的空气隙。波长在0.4mm到1.15um之间的电磁波初值垂直入射到平板上，经空气隙两边表面反射而发生干涉。在此波段只有两种波长获得极大增强，其一是l1=0.4mm。求空气隙的厚度。(第3届国际奥林匹克题）解：

下表面反射的光要比上表面反射的光多走2d的光程d

在玻璃表面反射时，有180o的相位改变（半波损失）

干涉增强条件：和

可筛选出k1和k2的可能值：k1=2和k2=1l2=0.667mm23例12、一块玻璃平板放置在边长为2cm的玻璃立方体上，两24例13、沿着肥皂膜法线成45o角的方向观察时，膜显绿色(l1=500nm)。设肥皂膜折射率为1.33，求：(1)肥皂膜的最薄厚度。(2)如改为垂直观察，膜是何种颜色？解：dn=1.33i=45oq(1)干涉极大条件膜最薄(2)垂直入射：i=0o,q=0o可见光范围k只能取024例13、沿着肥皂膜法线成45o角的方向观察时，膜显绿色(25例14、两平板玻璃间构成劈形空气膜，波长为500nm的单色光正入射时，观测到膜上的干涉条纹间距为1mm，求劈角a。a解：

分析－－XDx

光程差主要决定于厚度，形成等厚条纹；正入射时，q≈0，

光程差

光程差改变一个波长，条纹变化一个周期25例14、两平板玻璃间构成劈形空气膜，波长为500nm的单26？？条纹条纹图示：平板平整度的检测条纹亮条纹位置例14的讨论：26？？条纹条纹图示：平板平整度的检测条纹亮条纹位置例1427例15、一个由暗盒组成的针孔照相机，其小孔直径小孔直径为d，暗盒中像成在小孔厚距离为D的感光胶片上，物体位于小孔前L处，所用照明波长为l

。（1）估计成像清清晰时小孔半径的大小；（提示：函数，对于x>0，时，y

最小）（2）若使用（1）中算出的小孔，试问物体上两点间的最小距离多少时，两点的像是可分辨的？针孔成像AdDL解：分析－－27例15、一个由暗盒组成的针孔照相机，其小孔直径小孔直径为28

分析－－

小孔成像利用光的直线传播小孔越小越好；AdDLa’

几何投影像的直径

小孔衍射使得像点成为像斑小孔越小越好；a”/2

衍射效应增加的直径A

的像的总直径a=a’+a”28分析－－小孔成像利用光的直线传播29（1）像最清晰时的小孔直径：aAdDL时，

最小（2）可分辨的两物点最小间距bABbA’B’

瑞利判据29（1）像最清晰时的小孔直径：aAdDL时，30例16、可见光垂直入射到一个每毫米有250条狭缝的衍射光栅上，在衍射角30o处会出现什么波长的光？解：q0级+1级+2级-2级-1级利用光栅方程其中：d=(1/250)毫米，q＝30o30例16、可见光垂直入射到一个每毫米有250条狭缝的衍射光31例2、设曲面S

是有曲线CC’

绕X

轴旋转而成的。曲面两侧的折射率分别为n

和n’，如果所有平行于X

轴的平行光线经曲面折射后都相交于X

轴上一点F，则曲面成为无像差曲面，已知OF

=

f，求曲线所满足的方程。如果n’

=-

n’，结果如何？C’COXY解：FfAB

分析－－解本题可用折射定律求曲面法线方程的方法，再结合已知条件，可求得CC’曲线方程。

用等光程原理求解本题更简单nn’1例2、设曲面S是有曲线CC’绕X轴旋转而成的。32C’COXYFfAB(x,y)

选取一条入射光线AB

和一条沿X

轴入射的光线;nn’

等光程：

几何关系：

CC’曲线方程：n’

=-

n’时：椭圆方程抛物型反射镜2C’COXYFfAB(x,y)选取一条入射光线ABnn33例1有一半导体发光管，发光区为半径为

r的圆盘，发光面上覆盖一折射率为n、半径为R的半球型介质，如图所示。问：要使发光区发出的全部光线在球面上不发生全反射，介质半球的半径R

至少应多大？（第11届全国中学生物理竞赛题）R发光区Onr解：

第一步：全反射条件3例1有一半导体发光管，发光区为半径为r的圆盘，34OAPB

第二步：反射光的几何性质

考察任意一点A

发出的光线在球面上任意一点P

反射后的光线

因此反射光线一定在APO平面内，与发光面交点B在AO

延长线上，即AO所在的直径上P’RB’R

P

点的法线沿PO

方向反射线、折射线、法线三者共面A点发出的其它光线反射后都与AO所在的直径相交4OAPB第二步：反射光的几何性质考察任意一点A发35

第二步：数学推导EFROnrPEO区内E点光线的入射角iE最大，同样FO区内F点的光线的入射角iF最大;iEiF

求F点光线的最大入射角

不发生全反射:

如果P

点在右半边，则有iF>iE,P

点在左边,则反之;5第二步：数学推导EFROnrPEO区内E点光线的入射36例2图示一个盛有折射率为n的一体的槽，槽中的中部扣着一个对称屋脊形的薄璧透明罩ADB,顶角为2q，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底AB

的中点有一亮点C。试求出：位于液体上方图示平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件（液槽有足够的宽度；罩璧极薄，可不计它对光线产生折射的影响）（第13届全国中学生物理竞赛予赛题）解：ABDn’=1nCq

在液面上折射时，所有光线都发生全反射时，则光线出不来。6例2图示一个盛有折射率为n的一体的槽，槽中的中37ABDn’=1nCqabg

全反射条件：EF

三角几何关系E点和F点法线的夹角＝DB和水平方向的夹角：只要g

的最小值小于临界角，则总会有光线出来g

最小b

最大C点发出光线CD的a最大7ABDn’=1nCqabg全反射条件：EF三角几何38例3：一块平行平板，其厚度为d，光线从O点垂直入射，若平板折射率按变化，q

为常数，并在A

点以a

角出射，求光线轨迹、A

点的位置和平板的厚度。AaOXYd解：

折射定律决定光线在每一点的方向，从而确定光线的轨迹；

介质折射率连续变化，可将平板沿X

方向切成一系列薄片，对每层薄片应用折射定律。

折射定律的级联形式：bx8例3：一块平行平板，其厚度为d，光线从O点垂直入射，39AaOXYdbxP(x,y)

P点光线的方向由bx

决定:

P点光线的切线斜率kp

:

曲线y=f(x)与斜率kp：A点的条件：和

光线轨迹方程：

结论：和9AaOXYdbxP(x,y)P点光线的方向由bx决定40例4、一个透明光学材料，折射率在y方向向两侧对称地降低：，在xoy平面内有一光线以入射角qo=30o射向O点，求此光线能到达离X轴最远的距离。OXY解:q0

从上题可知，光线进入折射率非均匀介质后弯曲，而且是倾向于向折射率大的方向偏折。

从图可知：光线X轴最远点为切线在水平方向时的切点处。

沿Y方向分割成一系列薄层，应用折射定律。

由初始条件求出a0:aa010例4、一个透明光学材料，折射率在y方向向两侧对称地41例5、图示三棱镜的顶角a

＝60o，在三棱镜两侧对称位置放置焦距均为f=30cm的两个完全相同的凸透镜L1和L2，若在L1

的前焦面上距主光轴下方y=14.3cm

处放一单色点光源S，已知其像S’

与S

对该光学系统时左右对称的，试求该三棱镜的折射率。(第19届全国中学生物理预赛题）FfySS’L1L2解：

分析：光路系统及物像左右对称，考虑到光线的可逆性原理，因此在棱镜内部分的光线一定是平行于棱镜底边an=?11例5、图示三棱镜的顶角a＝60o，在三棱镜两侧对称位42FfySS’L1L2

选取一条特征光线－－通过透镜光心的光线i1i4i3i2a

几何关系：bn=?

计算得：12FfySS’L1L2选取一条特征光线－－通过透镜光心43例7、两透镜组合系统如图，已知一个物经整个系统成像位置和大小如图中所示。试用作图法求物经L1

成像位置与大小，作出L1

及透镜组合系统的焦点位置（画出物方或像方中的一个即可），说明L1

和L2

的凹凸性。L1L2解：物P像P’

物点P发出的光线1通过L1光心；

通过像点P’并经过L2光心的光线2’

；12’光线1经过L2后的光线1’

的延长线通过像点P’；1’2

在L2

上对应于2’

的入射光线为2

；1和2交点是物点P经L1所成的中间像点；P”13例7、两透镜组合系统如图，已知一个物经整个系统成像位置和44L1L2物像12’1’2

物点P发出的水平光线经L1后与P”相交确定L1

的焦点F1’F’313’F’

出射光线3’

通过P’

与光轴相交于F’L1为负透镜，L2为正透镜14L1L2物像12’1’2物点P发出的水平光线经L45例8、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主轴方向放置一细条形发光体A1A2（如图示），其长度为l=0.020m。若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去，可以看到条形发光体的两个不很亮的像（此外可能还有亮度更暗的像不必考虑），当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上跟着移动。现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发光体的近端A2距球心O的距离为a2=0.020m，试利用以上数据求出此玻璃球的折射率n（计算时只考虑近轴光线）。OA1A2a2解：

分析－－

两个像一为平面反射的像；

另一个为经过平面折射球面反射平面折射nR15例8、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与46OA1A2a2

求光轴上一点A（在O左方a处）的A经过三次所成的像，R

注意点：半球的r=-Rn计算可得，最后的像A’在O右边s’A处：显然s’A<a

并且s’A1>s’A2

A’1A’2A”2A”1A经平面反射的像A”

在O右边

a处，两条形像头尾相接，A1’

与A2”

重合l16OA1A2a2求光轴上一点A（在O左方a处）的A经过三47例9、一块玻璃台板厚度为d，折射率为n，看到压在台板下的报纸上的字相对于真实位置要上移一个距离l，试求l。SS’ndlO1O2解：S”S相对于O1的物距为s其像S”相对于O1的像距例如n=1.5，l=d/3

分析－－利用公式求解两次成像过程

中间像S”相对于O2的物距为S’相对于O2的像距:S’相对于O1的像距:17例9、一块玻璃台板厚度为d，折射率为n，看到压在台板48例10、长度为h=4mm的物体由图示的光学系统成像。光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标于图中。求：1）像的位置；2）像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。（第13届全国物理竞赛复赛题）AB6cm10cm5cmL1L245o6cmn=1.5f1=20cmf2=10cm解：

分析－－

棱镜不仅起反射作用，两个直角面上的折射也必须考虑；AB经过棱境全反射后，再分别经L1和L2成像；

棱镜反射相当于反射镜，两次折射等效于平板玻璃的作用。18例10、长度为h=4mm的物体由图示的光学系统成像。496cmA’B’平板折射像A’B’AB6cm10cm5cmL1L245o6cmn=1.5f1=20cmf2=10cm

全反射条件：近轴成像

棱镜的等效成像:A’B’与AB等高，在AB右侧lAB反射像6cm

最后的像成在L2的焦点上，即L2左侧10cm处，像高2mm196cmA’B’平板折射像A’B’AB6cm10cm5cm50A’B’L1L2

作图F1F’2A”B”20A’B’L1L2作图F1F’2A”B”51例11、在图示的费涅尔双棱镜实验中，已知狭缝光源S的波长为l、棱镜折射率为n、棱角a很小，设光源S到棱镜的距离为L1，（1）求距棱镜L1处的屏上条纹的间距。（2）若用折射率为n’的肥皂膜遮住棱镜的一半，发现条纹上下移动了a，求肥皂膜的厚度。SS2S1解：SS2S1L1L2屏an

分析－－采用等效的虚光源后，有类似于扬氏干涉的干涉条纹；DxX21例11、在图示的费涅尔双棱镜实验中，已知狭缝光源S的波长52t（2）肥皂膜厚度t：

求等效光源S1和S2的间距d：SS2S1L1L2屏anOd棱镜角a很小q偏向角X（1）条纹间距Dx：Dxa光程差的变化22t（2）肥皂膜厚度t：求等效光源S1和S2的间距d53例12、一块玻璃平板放置在边长为2cm的玻璃立方体上，两者之间有一层平行的空气隙。波长在0.4mm到1.15um之间的电磁波初值垂直入射到平板上，经空气隙两边表面反射而发生干涉。在此波段只有两种波长获得极大增强，其一是l1=0.4mm。求空气隙的厚度。(第3届国际奥林匹克题）解：

下表面反射的光要比上表面反射的光多走2d的光程d

在玻璃表面反射时