【教学课件】环节一 充分条件和必要条件

常用逻辑用语环节一充分条件和必要条件

问题1阅读课本第17页第一段，回答下列问题：（1）本节将要研究哪些内容？（2）本节要研究的对象在高中数学中的地位是怎样的？（3）并试着依据一个新概念的学习过程，给出你的研究思路与方法．三个常用逻辑用语是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言．研究命题“若p，则q”—充分条件、必要条件和充要条件．引入新课

新概念的学习过程：具体实例猜想：具体实例——如何表示？——定义——表示——辨析——应用——什么是充分条件、必要条件和充要条件？——如何判断？——如何应用？引入新课

问题2在初中，我们学习过命题，什么是命题？什么是真命题和假命题？你能举一些例子吗？并试着将你的例子改写成“若p，则q”的形式．引入新课问题3下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若x2－4x＋3＝0，则x＝1；（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b．真真假假新知探究

追问1：关于命题（1）和命题（4），由条件p通过推理可以得到结论q，所以它们是真命题．对于一般的“若p，则q”形式的命题，如果由p通过推理可以得到q，那么这个命题为真命题吗？反过来，如果这个命题是真命题，那么由p通过推理一定可以得到q吗？一般地，“若p，则q”为真命题，就是指由p通过推理可以得到q．这时，我们就说，由p可以推出q，记作

．并且说，p是q的充分条件（sufficientcondition），q是p的必要条件（necessarycondition）．新知探究

追问2：关于命题（2）和命题（3），由条件p通过推理不能得到结论q，所以它们是假命题．对于一般的“若p，则q”形式的命题，如果由p通过推理不能得到q，那么这个命题为假命题吗？反过来，如果这个命题是假命题，那么由p通过推理一定不能得到q吗？一般地，如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq．此时，就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．新知探究问题4下列“若p，则q”形式的命题中，p是否为q的充分条件？q是否为p的必要条件？为什么？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若x2－4x＋3＝0，则x＝1；（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b．真真假假p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分条件，q是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件新知探究追问1：判断p是否为q的充分条件，q是否为p的必要条件的依据和方法是什么？具体方法是：命题法，即判断命题“若p，则q”的真假．判断充分（必要）条件的依据是：充分条件和必要条件的定义．新知探究追问2：对于命题（1），若q不成立，p成立吗？请你解释．对于命题（4）呢？一般地，当时，那么若q不成立，p成立吗？你能据此说明为什么此时称q为p的必要条件？p是q的充分条件，即p成立足够推出q成立；q是p的必要条件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q对于p成立而言是必要的．新知探究例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若x2＝1，则x＝1；（5）若a＝b，则ac＝bc；（6）若x，y为无理数，则xy为无理数．追问1

判断p是q的充分条件的依据与方法分别是什么？新知探究例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．（2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．（3）这是一条菱形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．新知探究

例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（4）若x2＝1，则x＝1；（5）若a＝b，则ac＝bc；（6）若x，y为无理数，则xy为无理数．（5）由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件．解：（4）由于（－1）2＝1，但－1≠1，p

q，所以p不是q的充分条件．（6）为无理数，但

为有理数，pq，所以p不是q的充分条件．新知探究

例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（4）若x2＝1，则x＝1；除了用判断命题的真假判断充分条件之外，还可以用集合关系来判断充分条件．解：方程x2＝1的解集为{－1，1}，而{－1，1}⊇{1}，所以p不是q的充分条件．对于命题“若p，则q”，集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的充分条件．集合法新知探究追问2：命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，请你再写出几个不同的充分条件．①若四边形一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；②若四边形两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；③若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；④若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形．……新知探究追问3：根据上述分析，你认为充分条件与判定定理之间有怎样的关系？数学中的每个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．新知探究例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形是的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形垂直；（4）若x＝1，则x2＝1；（5）若ac＝bc，则a＝b；（6）若xy为无理数，则x，y为无理数．追问1

判断q是p的必要条件的依据与方法分别是什么？新知探究例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形是的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形垂直；解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件．（2）这是相似三角形的一条性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件．（3）对于筝形，对角线互相垂直，但它不是菱形，pq，所以q不是p的必要条件．新知探究例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（4）若x＝1，则x2＝1；（5）若ac＝bc，则a＝b；（6）若xy为无理数，则x，y为无理数．解：（1）显然，p⇒q，所以q是p的必要条件．（2）当c＝0，结论不成立，pq，所以q不是p的必要条件．（3）为无理数，但1，不全是有理数，p

q，所以q不是p的必要条件．新知探究追问类比例1，你能用集合法解答（4）吗？（4）若x＝1，则x2＝1；解：方程x2＝1的解集为{－1，1}，而{1}⊆{－1，1}，所以q是p的必要条件．用集合关系来判断必要条件．对于命题“若p，则q”，集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则q是p的必要条件．集合法新知探究追问2

命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，请你再写出几个不同的必要条件．①若四边形为平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；②若四边形为平行四边形，则这个四边形两条对角线互相平分；③若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；④若四边形为平行四边形，则这个四边形两组对边分别平行．……新知探究追问3

根据上述分析，你认为必要条件与性质定理的关系如何？数学中的每个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．新知探究例3已知m＞0，p：－2≤x＜6，q：2－m＜x≤2＋m．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．追问对于（1），根据充分条件的定义，两个条件p与q对应的数集之间应该有怎样的关系？对于（2）呢？答案：因为p是q的充分条件，应该在条件q对应的数集中，所以{x|－2≤x＜6}⊆{x|2－m＜x≤2＋m}，从而将问题转化为已知集合关系求参数范围．所以条件p对应的数集中的每个元素都新知探究解：（1）因为p是q的充分条件，解得m＞4；所以（2）因为p是q的必要条件，解得0＜m＜4．所以例3已知m＞0，p：－2≤x＜6，q：2－m＜x≤2＋m．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．新知探究问题5

本节课我们学习了充分条件和必要条件，充分条件和必要条件的含义分别是什么？对于“若p，则q”命题，判断p是否为q的充分条件或者必要条件的方法有哪些？充分条件、必要条件与数学中的判定定理、性质定理有什么关系？对照问题1