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文档简介
常用逻辑用语环节一充分条件和必要条件
问题1阅读课本第17页第一段,回答下列问题:(1)本节将要研究哪些内容?(2)本节要研究的对象在高中数学中的地位是怎样的?(3)并试着依据一个新概念的学习过程,给出你的研究思路与方法.三个常用逻辑用语是数学表达和交流的工具,是逻辑思维的基本语言.研究命题“若p,则q”—充分条件、必要条件和充要条件.引入新课
新概念的学习过程:具体实例猜想:具体实例——如何表示?——定义——表示——辨析——应用——什么是充分条件、必要条件和充要条件?——如何判断?——如何应用?引入新课
问题2在初中,我们学习过命题,什么是命题?什么是真命题和假命题?你能举一些例子吗?并试着将你的例子改写成“若p,则q”的形式.引入新课问题3下列“若p,则q”形式的命题中,哪些是真命题?哪些是假命题?(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形;(2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等;(3)若x2-4x+3=0,则x=1;(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a∥b.真真假假新知探究
追问1:关于命题(1)和命题(4),由条件p通过推理可以得到结论q,所以它们是真命题.对于一般的“若p,则q”形式的命题,如果由p通过推理可以得到q,那么这个命题为真命题吗?反过来,如果这个命题是真命题,那么由p通过推理一定可以得到q吗?一般地,“若p,则q”为真命题,就是指由p通过推理可以得到q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作
.并且说,p是q的充分条件(sufficientcondition),q是p的必要条件(necessarycondition).新知探究
追问2:关于命题(2)和命题(3),由条件p通过推理不能得到结论q,所以它们是假命题.对于一般的“若p,则q”形式的命题,如果由p通过推理不能得到q,那么这个命题为假命题吗?反过来,如果这个命题是假命题,那么由p通过推理一定不能得到q吗?一般地,如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能推出结论q,记作pq.此时,就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.新知探究问题4下列“若p,则q”形式的命题中,p是否为q的充分条件?q是否为p的必要条件?为什么?(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形;(2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等;(3)若x2-4x+3=0,则x=1;(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a∥b.真真假假p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分条件,q是p的必要条件p不是q的充分条件,q不是p的必要条件p不是q的充分条件,q不是p的必要条件新知探究追问1:判断p是否为q的充分条件,q是否为p的必要条件的依据和方法是什么?具体方法是:命题法,即判断命题“若p,则q”的真假.判断充分(必要)条件的依据是:充分条件和必要条件的定义.新知探究追问2:对于命题(1),若q不成立,p成立吗?请你解释.对于命题(4)呢?一般地,当时,那么若q不成立,p成立吗?你能据此说明为什么此时称q为p的必要条件?p是q的充分条件,即p成立足够推出q成立;q是p的必要条件,即如果q不成立,p一定不成立,所以q对于p成立而言是必要的.新知探究例1下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?(1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形;(2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似;(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;(4)若x2=1,则x=1;(5)若a=b,则ac=bc;(6)若x,y为无理数,则xy为无理数.追问1
判断p是q的充分条件的依据与方法分别是什么?新知探究例1下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?(1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形;(2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似;(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;解:(1)这是一条平行四边形的判定定理,p⇒q,所以p是q的充分条件.(2)这是一条相似三角形的判定定理,p⇒q,所以p是q的充分条件.(3)这是一条菱形的判定定理,p⇒q,所以p是q的充分条件.新知探究
例1下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?(4)若x2=1,则x=1;(5)若a=b,则ac=bc;(6)若x,y为无理数,则xy为无理数.(5)由等式的性质知,p⇒q,所以p是q的充分条件.解:(4)由于(-1)2=1,但-1≠1,p
q,所以p不是q的充分条件.(6)为无理数,但
为有理数,pq,所以p不是q的充分条件.新知探究
例1下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?(4)若x2=1,则x=1;除了用判断命题的真假判断充分条件之外,还可以用集合关系来判断充分条件.解:方程x2=1的解集为{-1,1},而{-1,1}⊇{1},所以p不是q的充分条件.对于命题“若p,则q”,集合A={x|x满足条件p},集合B={x|x满足条件q},若A⊆B,则p是q的充分条件.集合法新知探究追问2:命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗?如果不唯一,请你再写出几个不同的充分条件.①若四边形一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形;②若四边形两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形;③若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形;④若四边形的两组对边分别平行,则这个四边形是平行四边形.……新知探究追问3:根据上述分析,你认为充分条件与判定定理之间有怎样的关系?数学中的每个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.新知探究例2下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?(1)若四边形为平行四边形,则这个四边形是的两组对角分别相等;(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例;(3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形为菱形垂直;(4)若x=1,则x2=1;(5)若ac=bc,则a=b;(6)若xy为无理数,则x,y为无理数.追问1
判断q是p的必要条件的依据与方法分别是什么?新知探究例2下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?(1)若四边形为平行四边形,则这个四边形是的两组对角分别相等;(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例;(3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形为菱形垂直;解:(1)这是平行四边形的一条性质定理,p⇒q,所以q是p的必要条件.(2)这是相似三角形的一条性质定理,p⇒q,所以q是p的必要条件.(3)对于筝形,对角线互相垂直,但它不是菱形,pq,所以q不是p的必要条件.新知探究例2下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?(4)若x=1,则x2=1;(5)若ac=bc,则a=b;(6)若xy为无理数,则x,y为无理数.解:(1)显然,p⇒q,所以q是p的必要条件.(2)当c=0,结论不成立,pq,所以q不是p的必要条件.(3)为无理数,但1,不全是有理数,p
q,所以q不是p的必要条件.新知探究追问类比例1,你能用集合法解答(4)吗?(4)若x=1,则x2=1;解:方程x2=1的解集为{-1,1},而{1}⊆{-1,1},所以q是p的必要条件.用集合关系来判断必要条件.对于命题“若p,则q”,集合A={x|x满足条件p},集合B={x|x满足条件q},若A⊆B,则q是p的必要条件.集合法新知探究追问2
命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,即“四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件唯一吗?如果不唯一,请你再写出几个不同的必要条件.①若四边形为平行四边形,则这个四边形的一组对边平行且相等;②若四边形为平行四边形,则这个四边形两条对角线互相平分;③若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对边分别相等;④若四边形为平行四边形,则这个四边形两组对边分别平行.……新知探究追问3
根据上述分析,你认为必要条件与性质定理的关系如何?数学中的每个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.新知探究例3已知m>0,p:-2≤x<6,q:2-m<x≤2+m.(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;(2)若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.追问对于(1),根据充分条件的定义,两个条件p与q对应的数集之间应该有怎样的关系?对于(2)呢?答案:因为p是q的充分条件,应该在条件q对应的数集中,所以{x|-2≤x<6}⊆{x|2-m<x≤2+m},从而将问题转化为已知集合关系求参数范围.所以条件p对应的数集中的每个元素都新知探究解:(1)因为p是q的充分条件,解得m>4;所以(2)因为p是q的必要条件,解得0<m<4.所以例3已知m>0,p:-2≤x<6,q:2-m<x≤2+m.(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;(2)若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.新知探究问题5
本节课我们学习了充分条件和必要条件,充分条件和必要条件的含义分别是什么?对于“若p,则q”命题,判断p是否为q的充分条件或者必要条件的方法有哪些?充分条件、必要条件与数学中的判定定理、性质定理有什么关系?对照问题1
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