【教学课件】环节一 函数的概念（一）

函数的概念及其表示环节一函数的概念（一）引入新课问题1

在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形周长l与边长x的对应关系是l＝4x．（1）l是x的函数吗？（2）这个函数与正比例函数y＝4x是同一个函数吗？是不是追问：针对一个概念要研究哪些内容？答案：实际问题→下定义→表示→应用探究新知（1）S＝350t是函数吗？为什么？（2）有人说：“根据对应关系S＝350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km．”你认为这个说法正确吗？答案：（1）是．因为t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．（2）错误．问题2

阅读材料，回答问题：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：h）的关系可以表示为S＝350t．不能，因为半小时之后列车的运行状况未知．追问2

这个说法犯了什么错误？忽略了时间t的变化范围．追问3

你认为如何描述才能准确反映实际问题？在S＝350t的基础上，给时间t备注上范围．追问1

能否根据现有条件回答“24h时对应的距离是多少？”为什么？探究新知问题2中函数的精确描述：列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是S＝350t．①其中，t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1＝{S|0≤S≤175}．对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应．探究新知（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？（2）问题3与问题4中函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗？为什么？（3）请同学们模仿问题3给出的精确描述，准确地反映实际问题．某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．问题3

阅读材料，回答问题：探究新知答案：（1）w＝350d，w是工作天数d的函数．某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？问题3

阅读材料，回答问题：探究新知答案：（2）不是同一个函数．因为在函数S＝350t中，0≤t≤0.5；在函数w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，虽然两个函数的对应关系相同，但是自变量的取值范围不同．某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．（2）问题3与问题4中函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗？为什么？问题3

阅读材料，回答问题：探究新知答案：（3）工资w与一周工作天数d的对应关系：w＝350d．②其中，d的变化范围是数集A2＝{1，2，3，4，5，6}，w的变化范围是数集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}．对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．（3）请同学们模仿问题3给出的精确描述，准确地反映实际问题．问题3

阅读材料，回答问题：探究新知问题4

阅读材料，回答问题：如图是北京市2016年11月23日空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）变化图．（1）I是t的函数吗？为什么？（2）模仿前两个问题，用精确的集合语言和对应关系描述这个实际问题．探究新知追问2②从所给的图中确定11月24日12：00的AQI的值吗？为什么？在横轴上，过t0作垂线交曲线与点（t0，I0），I0就是与t0对应的值．不能，因为时间不在图象覆盖的范围内．追问1

①通过图形能确定唯一的I与每个t值对应吗，怎么找？探究新知答案：从图中的曲线可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值都在数集B3＝{I|0＜I＜150}．对于数集A3中的任一时刻t，按照图中曲线所给的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应．因此，这里的I是t的函数．探究新知问题5

阅读材料，回答问题：国际上常用恩格尔系数r（

）反应一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．表1我国某居民恩格尔系数变化情况探究新知（1）你认为按表1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？（2）如果是，这个函数有解析式吗？如何描述这个函数？表1我国某居民恩格尔系数变化情况答案：（1）r是y的函数．因为对于2006到2015年中任一个年份y，根据表1，都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应．探究新知（1）你认为按表1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？（2）如果是，这个函数有解析式吗？如何描述这个函数？表1我国某居民恩格尔系数变化情况答案：（2）这个函数没有解析式．从表格1可知，y的取值范围是数集A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，恩格尔系数r的取值范围是数集B4＝{r|0＜r≤1}．对于数集A4中的任一个年份y，根据表1所给的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应．探究新知对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应．上述问题的共同特征有：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：问题6

上述问题3~问题6中的函数有哪些共同特征？由此你能抽象出函数概念的本质特征吗？探究新知对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．函数的定义域，对应关系和值域也叫函数的三要素．抽象函数概念探究新知答案：值域与集合B不一定相等，值域是集合B的子集．具体例子见问题6．追问值域和集合B相等吗？它们的关系是什么？探究新知函数一次函数二次函数反比例函数a＞0a＜0对应关系定义域值域RRRR

探究新知知识应用例函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx（k≠0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x（10－x）来描述．解：把y＝x（10－x）看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}．对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一的数x（10－x）．其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范围是B＝{y|0＜y≤25}．对应关系

f把每一个长方形的周长x，对应到唯一确定的面积x（10－x）．如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以构建如下情境：长方形的周长为20，设其一边长为x，面积为y，那么y＝x（10－x）．答案：知识应用归纳总结问题8（1）本节课我们主要学习了函数的概念，为什么要重新学习函数的概念？（2）用“集合—对应说”下的函数概念分析一个函数要关注哪几个要素？这些要素的特点是什么？（3）与初中的函数概念相比，要特别注意哪个要素？

（4）按照问题2的答案，下一课时应该研究什么？答案：（1）初中