【疑难突破】求抛物线的割线、切线的斜率

求抛物线的割线、切线的斜率求抛物线的割线、切线的斜率讲解求二次函数y＝f（x）的图象过点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））的割线方程的步骤：利用点斜式求出割线方程．求割线的斜率：k＝求抛物线的割线、切线的斜率讲解求二次函数y＝f（x）的图象在点P（x0，f（x0））处的切线方程的步骤：利用点斜式求出切线方程．求切线的斜率：求抛物线的割线、切线的斜率例1已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1．（1）求抛物线在点P（1，3）处的切线方程；（2）若抛物线在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标．思路点拨：由“差、商、极限”求出抛物线在P点处切线的斜率，再由直线的点斜式方程求出切线的方程．未知切点时可先设后求．解析：（1）∵Δy＝2（1＋Δx）2＋1－3＝4Δx＋2（Δx）2，∴切线的方程为y－3＝4（x－1），即4x－y－1＝0．∴

＝4＋2Δx，∴切线的斜率为求抛物线的割线、切线的斜率例1已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1．（1）求抛物线在点P（1，3）处的切线方程；（2）若抛物线在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标．解析：（2）设切点坐标为（x0，y0），则Δy＝2（x0＋Δx）2＋1－（2x02＋1）＝4x0·Δx＋2（Δx）2，又∵切线的斜率为k＝tan45°＝1，∴

＝4x0＋2Δx，∴切线的斜率为

＝4x0．∴y0＝

．∴切点坐标为∴4x0＝1，即x0＝

，求抛物线的割线、切线的斜率例1已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1．（1）求抛物线在点P（1，3）处的切线方程；（2）若抛物线在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标．解题模板解决切线问题，应当从切点入手，在切点处当Δx无限趋近于0时，割线的斜率就是切线的斜率，因此先求函数值之差，进而求出割线的斜率，再将Δx无限趋近于0得到切线的斜率，最后得到切线方程．求抛物线的割线、切线的斜率例2过曲线y＝x2＋1上两点P（1，2）和Q（1＋Δx，2＋Δy）作曲线的割线．（1）当Δx＝1时，求割线的方程；（2）若割线的斜率为1，求Q点的坐标．思路点拨：易知割线的斜率为

，因此可由Δx的值得到割线的斜率，进而得到割线的方程；反过来，可由割线的斜率得到Δx的值，进而求得点Q的坐标．求抛物线的割线、切线的斜率例2过曲线y＝x2＋1上两点P（1，2）和Q（1＋Δx，2＋Δy）作曲线的割线．（1）当Δx＝1时，求割线的方程；（2）若割线的斜率为1，求Q点的坐标．解析：∵Δy＝（1＋Δx）2＋1－（12＋1）＝2Δx＋（Δx）2，（1）当Δx＝1时，割线的斜率为2＋Δx＝3，∴割线的方程为y－2＝3（x－1），即3x－y－1＝0．∴

＝2＋Δx，∴割线的斜率为2＋Δx．求抛物线的割线、切线的斜率例2过曲线y＝x2＋1上两点P（1，2）和Q（1＋Δx，2＋Δy）作曲线的割线．（1）当Δx＝1时，求割线的方程；（2）若割线的斜率为1，求Q点的坐标．解析：∵Δy＝（1＋Δx）2＋1－（12＋1）＝2Δx＋（Δx）2，（2）若割线的斜率为1，则2＋Δx＝1，解得Δx＝－1，∴Δy＝2Δx＋（Δx）2＝－1．∴Q点的坐标为（0，1）．∴

＝2＋Δx，∴割线的斜率为2＋Δx．求抛物线的割线、切线的斜率例2过曲线y＝x2＋1上两点P（1，2）和Q（1＋Δx，2＋Δy）作曲线的割线．（1）当Δx＝1时，