二重积分基础数学课件

第一节二重积分的概念和性质1、问题的提出2、二重积分的概念3、二重积分的性质4、二重积分的几何意义第七章二重积分第一节二重积分的概念和性质1、问题的提出第七章二重积1柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体曲顶柱体的体积1、问题的提出柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶2求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如3求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如4求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如5求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如6求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如7求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如8求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如9步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似曲顶柱体的体积，曲顶柱体的体积先分割曲顶柱体的底，步骤如下：用若干个小平曲顶柱体的体积先分割曲顶柱体的底，10积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素2、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素2、二重积分11性质１性质２（——与定积分有类似的性质）3、二重积分的性质性质３性质４性质１性质２（——与定积分有类似的性质）3、二重积分的性质性124、二重积分的几何意义例求，其中区域为由直线所围区域。答案：24、二重积分的几何意义例求，其中区域为由直线所围区域。答案13例求二重积分，其中区域为直线答案：4例求二重积分，其中区域为直线答案：414例设区域则二重积分答案：例设区域则二重积分答案：15例设区域则二重积分答案：例设区域则二重积分答案：16第二节二重积分的计算第二节二重积分的计算17二重积分的几何意义该曲面向xoy面的投影等于以曲面

柱面作为侧面的曲顶柱体的体积.作为顶、D作为底，D二重积分的几何意义该曲面向xoy面的投影等于以曲面柱面作为18计算二重积分利用几何意义即求曲顶柱体的体积.D计算二重积分利用几何意义即求曲顶柱体的体积.D19我们计算二重积分，首先要考虑积分区域的特征，其次需要考虑被积函数的特点，在积分区域中，最简单的积分区域是矩形域。目的都是将二重积分转化为二次积分即两个定积分来计算。我们计算二重积分，首先要考虑积分区域的特征，其次需要考虑被20例计算二重积分其中区域一、在直角坐标系下计算1、积分区域为矩形域例计算二重积分其中区域一、在直角坐标系下计算1、积分区域为21例计算二重积分其中答案：例计算二重积分其中答案：22二重积分的计算(D是矩形区域)y0xz

yabcdDD是矩形区域[a,b;c,d]

z=f(x,y)二重积分的计算(D是矩形区域)y0xzyabcdDD是矩23y0xz

yabcdDD是矩形区域[a,b;c,d]

z=f(x,y)

问题：Q(y)是什么图形？Q(y

)=是曲边梯形。.二重积分的计算(D是矩形区域).Iy0xzyabcdDD是矩形区域[a,b;c,d]240xz

yyabcdD.Q(y

)=I同理，也可以先对y积分..z=f(x,y)D是矩形区域[a,b;c,d]

二重积分的计算(D是矩形区域)0xzyyabcdD.Q(y)=I同理，也可以先对25例计算二重积分，其中是矩形闭区域：答案：例计算二重积分，其中是矩形闭区域：答案：26例计算二重积分答案：例计算二重积分答案：27调用格式：计算二重积分symsxyint(int(二元函数,自变量1,下限,上限),自变量2,下限,上限)调用格式：28例求输入：symsxyint(int(x^2+y^2,x,-1,2),y,0,4)输出：ans=76例求输入：symsxy输出：ans=29xyzo例计算下列立体的体积由四个平面围成的柱体被平面及截得的立体的体积。解xyzo例计算下列立体的体积由四个302、

积分区域为X-型区域y2、积分区域为X-型区域y313、积分区域为Y-型区域3、积分区域为Y-型区域32例计算二重积分由曲线围成。答案：例计算二重积分由曲线围成。答案：33例求输入：symsxyint(int(2*x*y,x,y/2,y),y,0,2)输出：ans=3所围成的区域。例求输入：symsxy输出：ans=所围成的区域。34例解：X-型例解：X-型35例计算二重积分是由直线所围成的闭区域。答案：例计算二重积分是由直线所围成的闭区域。答案：36例计算其中D是由直线解法1

把D看成X型域,则y=1,x=2及y=x所围区域.例计算其中D是由直线解法1把D看成X型37解法2

把D看成Y型域，则解法2把D看成Y型域，则38要将按X型域确定的积分限改为按Y型域确定积分限.为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分.4、改变二次积分的次序要将按X型域确定的积分限改为按Y型域确定积分限.为此，39由于按不同的积分次序会有不同的计算繁杂程度，这就使得交换积分次序有时成为必要。由于按不同的积分次序会有不同的计算繁杂程度，这就使得交换积分40例交换积分次序例交换积分次序例交换积分次序例交换积分次序41

D:..0y

x11y=xy=x2.例将二重积分换序D:..0yx11y=xy=x2.例将二4211y=x20y

xD2先对y积分（从下到上）1画出区域D图形3

先对x积分（从左到右）...y=x...例用两种顺序计算11y=x20yxD2先对y积分（从下到上）143二、利用极坐标计算二重积分积分区域：圆域、环域、扇形域时或被积函数：形式时，采用极坐标往往较方便。二、利用极坐标计算二重积分积分区域：圆域、环域、扇形域时或被44=常数,（同心圆族）=常数,（从O出发射线族）其中

为点P到极点O的距离,是由极点O和极轴Ox组成,为OA到OP的夹角,点P坐标极坐标系直角坐标与极坐标的关系为：若令极点与xoy直角坐标系的原点重合,x轴取为极轴，则=常数,（同心圆族）=常数,（从O出发射线族）其中为点P45=常数,（同心圆族）=常数,（从O出发射线族）其中

为点P到极点O的距离,是由极点O和极轴Ox组成,为OA到OP的夹角,点P坐标极坐标系直角坐标与极坐标的关系为：若令极点与xoy直角坐标系的原点重合,x轴取为极轴，则=常数,（同心圆族）=常数,（从O出发射线族）其中为点P46例求输入：symsrtint(int(r*exp(r^2),r,0,1),t,0,2*pi)输出：ans=exp(1)*pi-pi例求输入：symsrt输出：ans=47例计算二重积分其中是例计算二重积分其中是48例计算二重积分其中是圆环形闭区域：例计算二重积分其中是圆环形闭区域：49例计算正弦曲线所围成的平面图形的面积。解：定积分应用部分例子例计算正弦曲线所围成的平面图形的面积。解：定积分应用部分例50例

求由抛物线例求由抛物线51例

求由抛物线解

两抛物线的交点为(－1,1)和(1,1).oxy例求由抛物线解两抛物线的交点为(－1,1)和(1,52例求由曲线所围成图形的面积。解：先求得两线的交点则所求的面积例求由曲线所围成图形的面积。解：先求得两线的交点则所求的面53计算由曲线与所围图形的面积解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积解方程组得交点横坐标为及Ｓ＝Ｓ曲边梯形ＯＡＢＣ－Ｓ曲边梯形ＯＡＢＤ＝＝＝＝巩固训练ABCDxyO11-1-1计算由曲线与所围图形的面积解：作出草图，所求面积为阴影部分的54第一节二重积分的概念和性质1、问题的提出2、二重积分的概念3、二重积分的性质4、二重积分的几何意义第七章二重积分第一节二重积分的概念和性质1、问题的提出第七章二重积55柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体曲顶柱体的体积1、问题的提出柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶56求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如57求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如58求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如59求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如60求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如61求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如62求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如63步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似曲顶柱体的体积，曲顶柱体的体积先分割曲顶柱体的底，步骤如下：用若干个小平曲顶柱体的体积先分割曲顶柱体的底，64积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素2、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素2、二重积分65性质１性质２（——与定积分有类似的性质）3、二重积分的性质性质３性质４性质１性质２（——与定积分有类似的性质）3、二重积分的性质性664、二重积分的几何意义例求，其中区域为由直线所围区域。答案：24、二重积分的几何意义例求，其中区域为由直线所围区域。答案67例求二重积分，其中区域为直线答案：4例求二重积分，其中区域为直线答案：468例设区域则二重积分答案：例设区域则二重积分答案：69例设区域则二重积分答案：例设区域则二重积分答案：70第二节二重积分的计算第二节二重积分的计算71二重积分的几何意义该曲面向xoy面的投影等于以曲面

柱面作为侧面的曲顶柱体的体积.作为顶、D作为底，D二重积分的几何意义该曲面向xoy面的投影等于以曲面柱面作为72计算二重积分利用几何意义即求曲顶柱体的体积.D计算二重积分利用几何意义即求曲顶柱体的体积.D73我们计算二重积分，首先要考虑积分区域的特征，其次需要考虑被积函数的特点，在积分区域中，最简单的积分区域是矩形域。目的都是将二重积分转化为二次积分即两个定积分来计算。我们计算二重积分，首先要考虑积分区域的特征，其次需要考虑被74例计算二重积分其中区域一、在直角坐标系下计算1、积分区域为矩形域例计算二重积分其中区域一、在直角坐标系下计算1、积分区域为75例计算二重积分其中答案：例计算二重积分其中答案：76二重积分的计算(D是矩形区域)y0xz

yabcdDD是矩形区域[a,b;c,d]

z=f(x,y)二重积分的计算(D是矩形区域)y0xzyabcdDD是矩77y0xz

yabcdDD是矩形区域[a,b;c,d]

z=f(x,y)

问题：Q(y)是什么图形？Q(y

)=是曲边梯形。.二重积分的计算(D是矩形区域).Iy0xzyabcdDD是矩形区域[a,b;c,d]780xz

yyabcdD.Q(y

)=I同理，也可以先对y积分..z=f(x,y)D是矩形区域[a,b;c,d]

二重积分的计算(D是矩形区域)0xzyyabcdD.Q(y)=I同理，也可以先对79例计算二重积分，其中是矩形闭区域：答案：例计算二重积分，其中是矩形闭区域：答案：80例计算二重积分答案：例计算二重积分答案：81调用格式：计算二重积分symsxyint(int(二元函数,自变量1,下限,上限),自变量2,下限,上限)调用格式：82例求输入：symsxyint(int(x^2+y^2,x,-1,2),y,0,4)输出：ans=76例求输入：symsxy输出：ans=83xyzo例计算下列立体的体积由四个平面围成的柱体被平面及截得的立体的体积。解xyzo例计算下列立体的体积由四个842、

积分区域为X-型区域y2、积分区域为X-型区域y853、积分区域为Y-型区域3、积分区域为Y-型区域86例计算二重积分由曲线围成。答案：例计算二重积分由曲线围成。答案：87例求输入：symsxyint(int(2*x*y,x,y/2,y),y,0,2)输出：ans=3所围成的区域。例求输入：symsxy输出：ans=所围成的区域。88例解：X-型例解：X-型89例计算二重积分是由直线所围成的闭区域。答案：例计算二重积分是由直线所围成的闭区域。答案：90例计算其中D是由直线解法1

把D看成X型域,则y=1,x=2及y=x所围区域.例计算其中D是由直线解法1把D看成X型91解法2

把D看成Y型域，则解法2把D看成Y型域，则92要将按X型域确定的积分限改为按Y型域确定积分限.为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分.4、改变二次积分的次序要将按X型域确定的积分限改为按Y型域确定积分限.为此，93由于按不同的积分次序会有不同的计算繁杂程度，这就使得交换积分次序有时成为必要。由于按不同的积分次序会有不同的计算繁杂程度，这就使得交换积分94例交换积分次序例交换积分次序例交换积分次序例交换积分次序95

D:..0y

x11y=xy=x2.例将二重积分换序D:..0yx11y=xy=x2.例将二9611y=x20y

xD2先对y积分（从下到上）1画出区域D图形3

先对x积分（从左到右）...y=x...例用两种顺序计算11y=x20yxD2先对y积分（从下到上）197二、利用极坐标计算二重积分积分区域：圆域、环域、扇形域时或被积函数：形式时，采用极坐标往往较方便。二、利用极坐标计算二重积分积分区域：圆域、环域、扇形域时或被98=常数,（同心圆族）=常数,（从O出发射线族）其中

为点P到极点O的距离,是由极点O和极轴Ox组成,为OA到OP的夹角,点P坐标极坐标系