统计物理第六章3 8课件

第一章 近独立粒子的最概然分布统计物理学讲义第一章 近独立粒子的最概然分布统计物理学讲义第一章近独立粒子的最概然分布粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的量子描述系统微观运动状态的描述等概率原理分布和微观状态玻耳兹曼分布玻色分布和费米分布三种分布的关系第一章近独立粒子的最概然分布粒子运动状态的经典描述1.3系统微观运动状态的描述1、概念2、系统微观运动状态的经典描述3、系统微观运动状态的量子描述4、统计物理学分类1.3系统微观运动状态的描述1、概念1、概念全同粒子组成的系统：由具有完全相同的属性（相同的质量，电荷，自旋等）的同类粒子组成的系统。例如，4He原子组成的氦气，自由电子组成的自由电子气。1、概念全同粒子组成的系统：1、概念近独立的粒子组成的系统：指系统中粒子之间相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用，将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和。式中i是第i个粒子的能量，N是系统的粒子总数。1、概念近独立的粒子组成的系统：式中i是第i个粒子的1、概念说明：（a）i只是第i个粒子的坐标和动量以及外场参量的函数，与其它粒子的坐标和动量无关。（b）例子：理想气体（c）近独立粒子之间虽然相互作用微弱，但仍有相互作用的。1、概念说明：2、系统微观运动状态的经典描述空间：系统在任一时刻t的微观运动状态可以由f个广义坐标及相应的f个广义动量在该时刻的数值来确定，这2f个独立变量的任何一种变化，都表示着微观状态的变化。Boltzman和Gibbs借用几何学方法来形象地描述体系微观运动状态及其变化。用2f个变量为直角坐标，构成一个2f维空间，这时体系在某一时刻的运动状态可用该空间中的一个点来表示，这个点称为体系运动状态的代表点，当体系的运动状态发生变化时，这个代表点相应地在该2f维的空间中移动，其移动的轨道由正则方程所确定。这个能描述体系微观运动状态的空间，被Gibbs称为相空间或相宇，或空间。2、系统微观运动状态的经典描述空间：系统在任一时刻t的微观2、系统微观运动状态的经典描述近独立的粒子组成的系统（组成系统的粒子间相互作用很弱，可以被忽略）

空间子相宇,维数2r，

N个全同粒子组成的系统的微观运动状态

同一空间N个代表点分布来表示。

变化，N点分布变化。组成系统的粒子间有相互作用的情况，不可以被忽略

空间相宇，维数2rN

N个全同粒子组成的系统的微观运动状态

可在空间中用一个代表点来表示。变化轨迹。2、系统微观运动状态的经典描述近独立的粒子组成的系统2、系统微观运动状态的经典描述由经典粒子构成的系统，粒子的运动状态是连续变化的，粒子可分辨。一个运动状态（qi,pi）只能有一个粒子。两个全同粒子位置交换，系统力学运动状态是不同的。可用空间中1个点，空间中N个点描述。经典系统2、系统微观运动状态的经典描述由经典粒子构成的系统，粒子的3、系统微观运动状态的量子描述微观粒子全同性原理：全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以交换，不改变整个系统的微观运动状态。3、系统微观运动状态的量子描述微观粒子全同性原理：3、系统微观运动状态的量子描述经典粒子及其系统：经典力学描述，轨道运动，原则上是可以被跟踪的，可以分辨。对于全同的经典粒子来说，当两个粒子位置交换后，可以认为系统的微观运动状态不同。量子粒子及其系统：量子力学描述，不是轨道运动，不可以被跟踪的，不可以分辨。在含有多个全同粒子的系统中，将任何一对全同粒子加以交换，不改变整个系统的微观运动状态。微观粒子及其系统的分类：从描述方法来区分3、系统微观运动状态的量子描述经典粒子及其系统：经典力学描3、系统微观运动状态的量子描述 当全同粒子的波函数完全不重叠时，全同粒子可区分（可分辨）。这时粒子叫定域粒子。由定域粒子组成的系统称为定域系统。对于定域系统，若要确定体系的微观状态数就要求确定每一个粒子处在哪些量子态。体系内任一个粒子量子态发生变化，就会导致体系微观运动状态的变化。定域系统从波动性（波函数）来区分3、系统微观运动状态的量子描述 当全同粒子的波函数完全不重3、系统微观运动状态的量子描述当全同粒子的波函数重叠时，全同粒子是不可分辨的。这时粒子叫非定域粒子。由非定域粒子组成的系统称为非定域系统。粒子不可分辨不能确切知道哪个粒子处在哪个量子态只能确定每个量子态上各有多少粒子。非定域系统从波动性（波函数）来区分3、系统微观运动状态的量子描述当全同粒子的波函数重叠时，全非定域粒子：玻色子：自旋量子数都是整数或0的基本粒子，或由玻色子构成的复合粒子。费米子：自旋量子数都是半整数的基本粒子。服从泡利不相容原理。

由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子。3、系统微观运动状态的量子描述非定域粒子：玻色子：自旋量子数都是整数或0的基本粒子，或由玻3、系统微观运动状态的量子描述定域系统：由定域粒子组成的系统。粒子的运动状态是量子化的。粒子是可分辨的（通过位置）且同一量子态可以允许有多个定域粒子。确定系统的微观运动状态是要确定每个粒子处于哪些量子态。玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。

量子系统3、系统微观运动状态的量子描述定域系统：由定域粒子组成的系3、系统微观运动状态的量子描述非定域系统：由非定域粒子组成的系统。粒子的运动状态是量子化的。粒子是不可分辨的。确定系统的微观运动状态是要确定每个量子态上有多少个粒子。玻色系统：由玻色子组成，一个量子态可允许有多个粒子。费米系统：由费米子组成，每个量子态最多容纳1个粒子。量子系统3、系统微观运动状态的量子描述非定域系统：由非定域粒子组成3、系统微观运动状态的量子描述玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。玻色系统：由玻色子组成，一个量子态可允许有多个粒子。费米系统：由费米子组成，每个量子态最多容纳1个粒子。3、系统微观运动状态的量子描述玻耳兹曼系统：由可分辨的全同假设系统由2个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果粒子是定域的，玻色子，费米子，则系统有多少可能的微观运动状态？例子假设系统由2个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果粒子是定例子定域子定域子属于玻耳兹曼系统，粒子可以分辨，每个个体量子态能容纳的粒子数不受限制，以A、B表示可以分辨的两个粒子，它们占据3个个体量子态的方式有9种：态1态2态31AB2AB3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA例子定域子态1态2态31AB2AB3AB4AB5BA6A例子玻色子对非定域玻色子，粒子不可分辨，每一个个体量子态所能容纳的粒子数不受限制，由于不可分辨，令A=B，两个粒子占据3个个体量子态有6种方式态1态2态31AA2AA3AA4AA5AA6AA例子玻色子态1态2态31AA2AA3AA4AA5AA6AA例子费米子对非定域费米子，粒子不可分辨，每个个体量子态最多能容纳一个粒子，两个粒子占据3个个体量子态有3种方式态1态2态31AA2AA3AA例子费米子态1态2态31AA2AA3AA4、统计物理学分类经典统计物理学：在经典力学基础上建立的统计物理学。量子统计物理学：在量子力学基础上建立的统计物理学。两者在原理上相同，区别在于对微观状态的描述。4、统计物理学分类经典统计物理学：本节重点：概念：全同粒子、近独立粒子、微观粒子全同性原理系统微观运动状态的量子描述：玻尔兹曼系统、玻色系统、费米系统本节重点：概念：1.4等概率原理等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。 统计物理的一个基本假设，也是平衡态统计物理的基础。1.4等概率原理等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统1.4等概率原理（1）宏观状态与微观运动状态区别与联系：宏观状态：热力学是宏观理论，它讨论的状态是宏观状态，由几个宏观参量表征。状态参量给定之后，处在平衡态的系统的所有宏观物理量就都具有确定值，系统就处在一个确定的平衡态。微观状态：是微观粒子的力学运动状态。在确定的宏观状态下，系统可能的微观状态是大量的，而且微观状态不断地发生着极其复杂的变化。1.4等概率原理（1）宏观状态与微观运动状态区别与联系：例子：理想气体例子：理想气体1.4等概率原理（2）统计物理基本原理统计物理认为：宏观物质系统的特性是大量微观粒子运动的集体表现；宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。统计物理的根本问题是确定各个微观状态出现的概率。1.4等概率原理（2）统计物理基本原理玻尔兹曼在19世纪70年代提出等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。 统计物理的一个基本假设，也是平衡态统计物理的基础。微观状态是平权的。1.4等概率原理玻尔兹曼在19世纪70年代提出1.4等概率原理统计物理（力学）是一个优美的科学体系。它从一个最简单的“各相同相空间状态具有相同概率”的假定出发，能推导出形形色色的物理现象。它自身构成一门独立的学科，又是其他学科如物理、化学、材料、生物研究中不可缺少的工具。统计物理StatisticalPhysics统计物理（力学）是一个优美的科学体系。它从一个最简单的“各相1.5分布和微观状态1、几个概念2、给定分布下的微观状态数

3、非简并性条件4、经典统计中的分布和微观状态数1.5分布和微观状态1、几个概念1、几个概念描述一个具有确定粒子数N，能量E与体积V的系统的微观状态数：能级：ε1,ε2,…εl,…简并度：ω1,ω2,…ωl,…粒子数：a1,a2,…al,…{al}1、几个概念描述一个具有确定粒子数N，能量E与体积V的系统用{al}表示N个粒子在各个能级上的分布用Ω表示与{al}分布对应的微观状态数。说明（1）在给定条件下，分布不是唯一的；与分布对应的系统的微观状态数也是大量的，每个微观态出现的概率为1/Ω.（2）分布和微观状态是两个不同的概念。微观状态是等概率的，分布不是等概率的。给定一个分布{al}，只确定了在每一个能级l上的粒子数al。1、几个概念用{al}表示N个粒子在各个能级上的分布1、几个概念玻色系统和费米系统：确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体量子态上的粒子数。即分布给定后，还必须对每一个能级l确定al个粒子占据其l个量子态的方式。玻耳兹曼系统：确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的个体量子态。即分布给定后，必须确定处在各能级l上的是哪al个粒子，以及每一个能级l上al个粒子占据其l个量子态的方式。2、给定分布下的微观状态数

玻色系统和费米系统：确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体(1)玻耳兹曼系统

al

个粒子占据能级l

上的l个量子态方式:

2、给定分布下的微观状态数

个编了号的粒子分别占据能级上的各个量子态的方式一共有：粒子可分辨，交换粒子的交换数为N！。在这交换数中应除去在同一能级上al个粒子的交换数。玻耳兹曼系统，与分布{al}相应的系统的微观状态数是：(1)玻耳兹曼系统2、给定分布下的微观状态数个编了号的(2)玻色系统：2、给定分布下的微观状态数

最左方为量子态1，其余量子态和粒子总数排列方式共有：粒子不可分辨，应除去粒子、量子态交换数。al

个粒子占据能级l上的l个量子态的方式有：

将各能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布{al}相应的微观状态数为：

(2)玻色系统：2、给定分布下的微观状态数最左方为量子2、给定分布下的微观状态数

(2)费米系统：计算al

个粒子占据能级l上的l个量子态有多少种可能的方式，相当于从l个量子态中挑出al个来为粒子所占据。将各能级的结果相乘，就得到费米系统与分布{al}相应的微观状态数为：注意：2、给定分布下的微观状态数(2)费米系统：计算al个Boltzmannsystem:BoseSystemFermisystem:2、给定分布下的微观状态数

Boltzmannsystem:BoseSystemFe3、非简并性条件

3、非简并性条件体积元简并度粒子数能量4、经典统计中的分布和微观状态数

体积元简并度粒子数能量44、经典统计中的分布和微观状态数

4、经典统计中的分布和微观状态数1.6玻耳兹曼分布等概率原理：对于处于平衡状态的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率是相等的。最概然分布：微观状态数最多的分布，出现的概率最大，称为最概然分布。玻耳兹曼分布：玻耳兹曼系统（定域系统）粒子的最概然分布。1.6玻耳兹曼分布等概率原理：对于处于平衡状态的孤立系统变分函数的函数－泛函例1：平面上两点之间的曲线长度作为因变数的I的自变数却是未定函数y(x).称I是y(x)的泛函变分函数的函数－泛函变分例2：求通过平面上A(x1y1)，B(x2y2)两点间的曲线，使得此曲线y(x)绕x轴旋转而成的筒状曲面面积最小。变分例2：求通过平面上A(x1y1)，B(x2y2)两点间的变分费马原理：光总是通过两点间耗时最短的路线传播过去。这个问题的复杂之处在于，光在非均匀介质中的传播速度v和其在真空中的传播速度c不同，v=c/n,n=n(x,y,z)为介质的折射率，是空间位置的函数，于是光通过A、B两点的耗时为

其中的线积分物理学上叫光程。是积分路径的泛函。变分费马原理：光总是通过两点间耗时最短的路线传播过去。这个问变分推广：一般形式的变分问题可表达为求泛函的极值曲线，其中f具有明确的给定表达式变分推广：一般形式的变分问题可表达为求泛函变分泛函极值问题的求解：设想某曲线即函数y(x)使达到了极值，那么，如果让该曲线稍微偏离一下原形而变成泛函I就应保持近似不变注意：微小偏离不是微分dy(x)！！！变分泛函极值问题的求解：变分的极限可通过0实现

由于y函数的改变（即“变分”），也引起导数函数y’的变分y’。但是y’显然与y有关

变分号与微分号可以交换变分的极限可通过0实现由于y函数的改变（即“变分”）变分欧拉－拉格朗日方程运算类似微分变分欧拉－拉格朗日方程运算类似微分1.6玻耳兹曼分布1.6玻耳兹曼分布1.6玻耳兹曼分布1.6玻耳兹曼分布为求得为极大的分布，使令al有的变化，则将因而有使为极大值的必要条件：的变化。1.6玻耳兹曼分布为求得为极大的分布，使令al有的变化，则将因而有使为极大值的1.6玻耳兹曼分布1.6玻耳兹曼分布拉格朗日未定乘子法求解

1.6玻耳兹曼分布拉格朗日未定乘子法求解1.6玻耳兹曼分布说明1

和由两个宏观条件确定

1.6玻耳兹曼分布说明1和由两个宏观条件确定1.6玻耳兹曼分布说明2

能级有个量子态，简并度为，处在其中任何一个量子态的平均粒子数应该是相同的。因此，处在能量为的量子态s上的平均粒子数fs为：相应的宏观量可表为：其中对粒子的所有量子态求和1.6玻耳兹曼分布说明2能级有个量子态，简并度为，处在其中任何一个量说明3

为极大值的充要条件

1.6玻耳兹曼分布说明3为极大值的充要条件1.6玻耳兹曼分布说明4

玻耳兹曼分布所对应的微观状态数与其他分布的微观状态数的关系：1.6玻耳兹曼分布说明4玻耳兹曼分布所对应的微观状态数与其他分布的微观状态数说明4

对于N1023，

1.6玻耳兹曼分布说明4对于N1023，1.6玻耳兹曼分布说明5

在前面的推导中，应用了近似式这要求对所有的al都远大于1。这个条件实际上往往并不满足。这是推导过程中的一个严重缺点。在第九章系综理论中习题21将讲述玻耳兹曼分布的另一推导。证明不严格，系综理论将给出严格证明。1.6玻耳兹曼分布说明5在前面的推导中，应用了近似式这要求对所有的al都远大说明6

推广：多元系

1.6玻耳兹曼分布说明6推广：多元系1.6玻耳兹曼分布说明7

经典统计中boltzmann分布的表达式

1.6玻耳兹曼分布说明7经典统计中boltzmann分布的表达式1.6玻1.7玻色分布和费米分布1、玻色分布2、费米分布1.7玻色分布和费米分布1、玻色分布1.7玻色分布和费米分布

TheDifferenceBetweenBosonsandFermions1.7玻色分布和费米分布TheDifferenceB1、玻色分布

1、玻色分布1、玻色分布变分：令al有的变化，则将有变化极值条件：1、玻色分布变分：令al有的变化，则将有拉格朗日未定乘子法：（每一个系数等于零）1、玻色分布

拉格朗日未定乘子法：（每一个系数等于零）1、玻色分布1、玻色分布

玻色－爱因斯坦分布1、玻色分布玻色－爱因斯坦分布2、费米分布

2、费米分布2、费米分布

变分：2、费米分布变分：2、费米分布

费米－狄拉克分布2、费米分布费米－狄拉克分布说明1

上式给出在最概然分布下能级粒子数。量子态的平均粒子数应该是相同的。因此，处在能量为的量子态s上的平均粒子数fs为2、费米分布

有个量子态，能级处在其中任何一个说明1上式给出在最概然分布下能级粒子数。量子态的平均粒子数在前面的推导中，应用了这个条件实际上往往并不满足。这是推导过程中的一个严重缺点。说明2

2、费米分布

在前面的推导中，应用了这个条件实际上往往并不满足。这是推导过1.8三种分布的关系非简并条件1.8三种分布的关系非简并条件满足非简并性条件1.8三种分布的关系说明，在满足非简并性条件时，玻色（费米）系统中的近独立粒子在平衡态遵从玻耳兹曼分布。满足非简并性条件1.8三种分布的关系说明，在满足非简并性1.8三种分布的关系我们是在粒子可以分辨的假设条件下导出玻耳兹曼分布的。自然界中有些系统可以看作由定域的粒子组成，晶体中的原子或离子定域在其平衡位置附近作微振动。这些粒子虽然就其量子本性来说是不可分辨的，但可以根据其位置而加以区分。在这一意义下，可以将定域粒子看作可以分辨的粒子。遵从玻耳兹曼分布。1.8三种分布的关系我们是在粒子可以分辨的假设条件下导出定域系统和满足非简并条件的玻色（费米）系统虽然遵从同样的分布，但它们的微观状态数是不同的。前者为ΩM.B.，后者为ΩM.B./N!。对于直接由分布函数导出的热力学量（例如内能，物态方程），两者具有相同的统计表达式。对于例如熵和自由能等与微观状态数有关的热力学量，两者的统计表达式有差异。

1.8三种分布的关系定域系统和满足非简并条件的玻色（费米）系统虽然遵从同样的分布一般气体He状况下（1atm273.15K）是否满足非简并性条件？问题：1.8三种分布的关系证明：设气体处在边长为L的立方盒子中，一维无限深势阱模型周期性边界条件一般气体He状况下（1atm273.15K）问题：1.81.8三种分布的关系能量低于的量子态数：单原子分子能量：1.8三种分布的关系能量低于的量子态数：单原子分子能量1.8三种分布的关系盒子内的分子数：即粒子总数远远小于能级之下的量子态数。非简并条件成立1.8三种分布的关系盒子内的分子数：即粒子总数远远小于能以统计解释精确定律Boltzmann统计物理StatisticalPhysics我们这个世界的真正逻辑寓于概率的计算之中

以统计解释精确定律Boltzmann统计物理S试根据(6.2.13)证明，在体积V内，在到+d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：习题6.1

试根据(6.2.13)证明，在体积V内，在到+d的能量给出在体积V＝L3内,在的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为：习题6.1

给出在体积V＝L3内,在的动量范围内，自由粒子可能的量子态动量空间的体积元为：习题6.1

动量空间的体积元为：习题6.1自由粒子的能量动量关系为：D()表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度习题6.1

自由粒子的能量动量关系为：D()表示单位能量间隔内的可能状试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到+d的能量范围内，量子态数为：习题6.2

试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到+d的能量范一维自由粒子在空间体积元dxdp内可能的量子态数为：在长度L内，动量在p到p+dp范围内的量子数为（动量可以有正负两个可能的方向）：习题6.2

一维自由粒子在空间体积元dxdp内可能的量子态数为：在长度试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在到+d的能量范围内，量子态数为：习题6.3

试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在到+d的能量用极坐标描述，二维动量空间的体积元为：

习题6.3

用极坐标描述，二维动量空间的体积元为：习题6.3设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N’。粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的。假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下，两种粒子的最概然分布分别为：习题6.5

和设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N’。粒子间的相互作用第一章 近独立粒子的最概然分布统计物理学讲义第一章 近独立粒子的最概然分布统计物理学讲义第一章近独立粒子的最概然分布粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的量子描述系统微观运动状态的描述等概率原理分布和微观状态玻耳兹曼分布玻色分布和费米分布三种分布的关系第一章近独立粒子的最概然分布粒子运动状态的经典描述1.3系统微观运动状态的描述1、概念2、系统微观运动状态的经典描述3、系统微观运动状态的量子描述4、统计物理学分类1.3系统微观运动状态的描述1、概念1、概念全同粒子组成的系统：由具有完全相同的属性（相同的质量，电荷，自旋等）的同类粒子组成的系统。例如，4He原子组成的氦气，自由电子组成的自由电子气。1、概念全同粒子组成的系统：1、概念近独立的粒子组成的系统：指系统中粒子之间相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用，将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和。式中i是第i个粒子的能量，N是系统的粒子总数。1、概念近独立的粒子组成的系统：式中i是第i个粒子的1、概念说明：（a）i只是第i个粒子的坐标和动量以及外场参量的函数，与其它粒子的坐标和动量无关。（b）例子：理想气体（c）近独立粒子之间虽然相互作用微弱，但仍有相互作用的。1、概念说明：2、系统微观运动状态的经典描述空间：系统在任一时刻t的微观运动状态可以由f个广义坐标及相应的f个广义动量在该时刻的数值来确定，这2f个独立变量的任何一种变化，都表示着微观状态的变化。Boltzman和Gibbs借用几何学方法来形象地描述体系微观运动状态及其变化。用2f个变量为直角坐标，构成一个2f维空间，这时体系在某一时刻的运动状态可用该空间中的一个点来表示，这个点称为体系运动状态的代表点，当体系的运动状态发生变化时，这个代表点相应地在该2f维的空间中移动，其移动的轨道由正则方程所确定。这个能描述体系微观运动状态的空间，被Gibbs称为相空间或相宇，或空间。2、系统微观运动状态的经典描述空间：系统在任一时刻t的微观2、系统微观运动状态的经典描述近独立的粒子组成的系统（组成系统的粒子间相互作用很弱，可以被忽略）

空间子相宇,维数2r，

N个全同粒子组成的系统的微观运动状态

同一空间N个代表点分布来表示。

变化，N点分布变化。组成系统的粒子间有相互作用的情况，不可以被忽略

空间相宇，维数2rN

N个全同粒子组成的系统的微观运动状态

可在空间中用一个代表点来表示。变化轨迹。2、系统微观运动状态的经典描述近独立的粒子组成的系统2、系统微观运动状态的经典描述由经典粒子构成的系统，粒子的运动状态是连续变化的，粒子可分辨。一个运动状态（qi,pi）只能有一个粒子。两个全同粒子位置交换，系统力学运动状态是不同的。可用空间中1个点，空间中N个点描述。经典系统2、系统微观运动状态的经典描述由经典粒子构成的系统，粒子的3、系统微观运动状态的量子描述微观粒子全同性原理：全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以交换，不改变整个系统的微观运动状态。3、系统微观运动状态的量子描述微观粒子全同性原理：3、系统微观运动状态的量子描述经典粒子及其系统：经典力学描述，轨道运动，原则上是可以被跟踪的，可以分辨。对于全同的经典粒子来说，当两个粒子位置交换后，可以认为系统的微观运动状态不同。量子粒子及其系统：量子力学描述，不是轨道运动，不可以被跟踪的，不可以分辨。在含有多个全同粒子的系统中，将任何一对全同粒子加以交换，不改变整个系统的微观运动状态。微观粒子及其系统的分类：从描述方法来区分3、系统微观运动状态的量子描述经典粒子及其系统：经典力学描3、系统微观运动状态的量子描述 当全同粒子的波函数完全不重叠时，全同粒子可区分（可分辨）。这时粒子叫定域粒子。由定域粒子组成的系统称为定域系统。对于定域系统，若要确定体系的微观状态数就要求确定每一个粒子处在哪些量子态。体系内任一个粒子量子态发生变化，就会导致体系微观运动状态的变化。定域系统从波动性（波函数）来区分3、系统微观运动状态的量子描述 当全同粒子的波函数完全不重3、系统微观运动状态的量子描述当全同粒子的波函数重叠时，全同粒子是不可分辨的。这时粒子叫非定域粒子。由非定域粒子组成的系统称为非定域系统。粒子不可分辨不能确切知道哪个粒子处在哪个量子态只能确定每个量子态上各有多少粒子。非定域系统从波动性（波函数）来区分3、系统微观运动状态的量子描述当全同粒子的波函数重叠时，全非定域粒子：玻色子：自旋量子数都是整数或0的基本粒子，或由玻色子构成的复合粒子。费米子：自旋量子数都是半整数的基本粒子。服从泡利不相容原理。

由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子。3、系统微观运动状态的量子描述非定域粒子：玻色子：自旋量子数都是整数或0的基本粒子，或由玻3、系统微观运动状态的量子描述定域系统：由定域粒子组成的系统。粒子的运动状态是量子化的。粒子是可分辨的（通过位置）且同一量子态可以允许有多个定域粒子。确定系统的微观运动状态是要确定每个粒子处于哪些量子态。玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。

量子系统3、系统微观运动状态的量子描述定域系统：由定域粒子组成的系3、系统微观运动状态的量子描述非定域系统：由非定域粒子组成的系统。粒子的运动状态是量子化的。粒子是不可分辨的。确定系统的微观运动状态是要确定每个量子态上有多少个粒子。玻色系统：由玻色子组成，一个量子态可允许有多个粒子。费米系统：由费米子组成，每个量子态最多容纳1个粒子。量子系统3、系统微观运动状态的量子描述非定域系统：由非定域粒子组成3、系统微观运动状态的量子描述玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。玻色系统：由玻色子组成，一个量子态可允许有多个粒子。费米系统：由费米子组成，每个量子态最多容纳1个粒子。3、系统微观运动状态的量子描述玻耳兹曼系统：由可分辨的全同假设系统由2个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果粒子是定域的，玻色子，费米子，则系统有多少可能的微观运动状态？例子假设系统由2个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果粒子是定例子定域子定域子属于玻耳兹曼系统，粒子可以分辨，每个个体量子态能容纳的粒子数不受限制，以A、B表示可以分辨的两个粒子，它们占据3个个体量子态的方式有9种：态1态2态31AB2AB3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA例子定域子态1态2态31AB2AB3AB4AB5BA6A例子玻色子对非定域玻色子，粒子不可分辨，每一个个体量子态所能容纳的粒子数不受限制，由于不可分辨，令A=B，两个粒子占据3个个体量子态有6种方式态1态2态31AA2AA3AA4AA5AA6AA例子玻色子态1态2态31AA2AA3AA4AA5AA6AA例子费米子对非定域费米子，粒子不可分辨，每个个体量子态最多能容纳一个粒子，两个粒子占据3个个体量子态有3种方式态1态2态31AA2AA3AA例子费米子态1态2态31AA2AA3AA4、统计物理学分类经典统计物理学：在经典力学基础上建立的统计物理学。量子统计物理学：在量子力学基础上建立的统计物理学。两者在原理上相同，区别在于对微观状态的描述。4、统计物理学分类经典统计物理学：本节重点：概念：全同粒子、近独立粒子、微观粒子全同性原理系统微观运动状态的量子描述：玻尔兹曼系统、玻色系统、费米系统本节重点：概念：1.4等概率原理等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。 统计物理的一个基本假设，也是平衡态统计物理的基础。1.4等概率原理等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统1.4等概率原理（1）宏观状态与微观运动状态区别与联系：宏观状态：热力学是宏观理论，它讨论的状态是宏观状态，由几个宏观参量表征。状态参量给定之后，处在平衡态的系统的所有宏观物理量就都具有确定值，系统就处在一个确定的平衡态。微观状态：是微观粒子的力学运动状态。在确定的宏观状态下，系统可能的微观状态是大量的，而且微观状态不断地发生着极其复杂的变化。1.4等概率原理（1）宏观状态与微观运动状态区别与联系：例子：理想气体例子：理想气体1.4等概率原理（2）统计物理基本原理统计物理认为：宏观物质系统的特性是大量微观粒子运动的集体表现；宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。统计物理的根本问题是确定各个微观状态出现的概率。1.4等概率原理（2）统计物理基本原理玻尔兹曼在19世纪70年代提出等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。 统计物理的一个基本假设，也是平衡态统计物理的基础。微观状态是平权的。1.4等概率原理玻尔兹曼在19世纪70年代提出1.4等概率原理统计物理（力学）是一个优美的科学体系。它从一个最简单的“各相同相空间状态具有相同概率”的假定出发，能推导出形形色色的物理现象。它自身构成一门独立的学科，又是其他学科如物理、化学、材料、生物研究中不可缺少的工具。统计物理StatisticalPhysics统计物理（力学）是一个优美的科学体系。它从一个最简单的“各相1.5分布和微观状态1、几个概念2、给定分布下的微观状态数

3、非简并性条件4、经典统计中的分布和微观状态数1.5分布和微观状态1、几个概念1、几个概念描述一个具有确定粒子数N，能量E与体积V的系统的微观状态数：能级：ε1,ε2,…εl,…简并度：ω1,ω2,…ωl,…粒子数：a1,a2,…al,…{al}1、几个概念描述一个具有确定粒子数N，能量E与体积V的系统用{al}表示N个粒子在各个能级上的分布用Ω表示与{al}分布对应的微观状态数。说明（1）在给定条件下，分布不是唯一的；与分布对应的系统的微观状态数也是大量的，每个微观态出现的概率为1/Ω.（2）分布和微观状态是两个不同的概念。微观状态是等概率的，分布不是等概率的。给定一个分布{al}，只确定了在每一个能级l上的粒子数al。1、几个概念用{al}表示N个粒子在各个能级上的分布1、几个概念玻色系统和费米系统：确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体量子态上的粒子数。即分布给定后，还必须对每一个能级l确定al个粒子占据其l个量子态的方式。玻耳兹曼系统：确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的个体量子态。即分布给定后，必须确定处在各能级l上的是哪al个粒子，以及每一个能级l上al个粒子占据其l个量子态的方式。2、给定分布下的微观状态数

玻色系统和费米系统：确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体(1)玻耳兹曼系统

al

个粒子占据能级l

上的l个量子态方式:

2、给定分布下的微观状态数

个编了号的粒子分别占据能级上的各个量子态的方式一共有：粒子可分辨，交换粒子的交换数为N！。在这交换数中应除去在同一能级上al个粒子的交换数。玻耳兹曼系统，与分布{al}相应的系统的微观状态数是：(1)玻耳兹曼系统2、给定分布下的微观状态数个编了号的(2)玻色系统：2、给定分布下的微观状态数

最左方为量子态1，其余量子态和粒子总数排列方式共有：粒子不可分辨，应除去粒子、量子态交换数。al

个粒子占据能级l上的l个量子态的方式有：

将各能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布{al}相应的微观状态数为：

(2)玻色系统：2、给定分布下的微观状态数最左方为量子2、给定分布下的微观状态数

(2)费米系统：计算al

个粒子占据能级l上的l个量子态有多少种可能的方式，相当于从l个量子态中挑出al个来为粒子所占据。将各能级的结果相乘，就得到费米系统与分布{al}相应的微观状态数为：注意：2、给定分布下的微观状态数(2)费米系统：计算al个Boltzmannsystem:BoseSystemFermisystem:2、给定分布下的微观状态数

Boltzmannsystem:BoseSystemFe3、非简并性条件

3、非简并性条件体积元简并度粒子数能量4、经典统计中的分布和微观状态数

体积元简并度粒子数能量44、经典统计中的分布和微观状态数

4、经典统计中的分布和微观状态数1.6玻耳兹曼分布等概率原理：对于处于平衡状态的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率是相等的。最概然分布：微观状态数最多的分布，出现的概率最大，称为最概然分布。玻耳兹曼分布：玻耳兹曼系统（定域系统）粒子的最概然分布。1.6玻耳兹曼分布等概率原理：对于处于平衡状态的孤立系统变分函数的函数－泛函例1：平面上两点之间的曲线长度作为因变数的I的自变数却是未定函数y(x).称I是y(x)的泛函变分函数的函数－泛函变分例2：求通过平面上A(x1y1)，B(x2y2)两点间的曲线，使得此曲线y(x)绕x轴旋转而成的筒状曲面面积最小。变分例2：求通过平面上A(x1y1)，B(x2y2)两点间的变分费马原理：光总是通过两点间耗时最短的路线传播过去。这个问题的复杂之处在于，光在非均匀介质中的传播速度v和其在真空中的传播速度c不同，v=c/n,n=n(x,y,z)为介质的折射率，是空间位置的函数，于是光通过A、B两点的耗时为

其中的线积分物理学上叫光程。是积分路径的泛函。变分费马原理：光总是通过两点间耗时最短的路线传播过去。这个问变分推广：一般形式的变分问题可表达为求泛函的极值曲线，其中f具有明确的给定表达式变分推广：一般形式的变分问题可表达为求泛函变分泛函极值问题的求解：设想某曲线即函数y(x)使达到了极值，那么，如果让该曲线稍微偏离一下原形而变成泛函I就应保持近似不变注意：微小偏离不是微分dy(x)！！！变分泛函极值问题的求解：变分的极限可通过0实现

由于y函数的改变（即“变分”），也引起导数函数y’的变分y’。但是y’显然与y有关

变分号与微分号可以交换变分的极限可通过0实现由于y函数的改变（即“变分”）变分欧拉－拉格朗日方程运算类似微分变分欧拉－拉格朗日方程运算类似微分1.6玻耳兹曼分布1.6玻耳兹曼分布1.6玻耳兹曼分布1.6玻耳兹曼分布为求得为极大的分布，使令al有的变化，则将因而有使为极大值的必要条件：的变化。1.6玻耳兹曼分布为求得为极大的分布，使令al有的变化，则将因而有使为极大值的1.6玻耳兹曼分布1.6玻耳兹曼分布拉格朗日未定乘子法求解

1.6玻耳兹曼分布拉格朗日未定乘子法求解1.6玻耳兹曼分布说明1

和由两个宏观条件确定

1.6玻耳兹曼分布说明1和由两个宏观条件确定1.6玻耳兹曼分布说明2

能级有个量子态，简并度为，处在其中任何一个量子态的平均粒子数应该是相同的。因此，处在能量为的量子态s上的平均粒子数fs为：相应的宏观量可表为：其中对粒子的所有量子态求和1.6玻耳兹曼分布说明2能级有个量子态，简并度为，处在其中任何一个量说明3

为极大值的充要条件

1.6玻耳兹曼分布说明3为极大值的充要条件1.6玻耳兹曼分布说明4

玻耳兹曼分布所对应的微观状态数与其他分布的微观状态数的关系：1.6玻耳兹曼分布说明4玻耳兹曼分布所对应的微观状态数与其他分布的微观状态数说明4

对于N1023，

1.6玻耳兹曼分布说明4对于N1023，1.6玻耳兹曼分布说明5

在前面的推导中，应用了近似式这要求对所有的al都远大于1。这个条件实际上往往并不满足。这是推导过程中的一个严重缺点。在第九章系综理论中习题21将讲述玻耳兹曼分布的另一推导。证明不严格，系综理论将给出严格证明。1.6玻耳兹曼分布说明5在前面的推导中，应用了近似式这要求对所有的al都远大说明6

推广：多元系

1.6玻耳兹曼分布说明6推广：多元系1.6玻耳兹曼分布说明7

经典统计中boltzmann分布的表达式

1.6玻耳兹曼分布说明7经典统计中boltzmann分布的表达式1.6玻1.7玻色分布和费米分布1、玻色分布2、费米分布1.7玻色分布和费米分布1、玻色分布1.7玻色分布和费米分布

TheDifferenceBetweenBosonsandFermions1.7玻色分布和费米分布TheDifferenceB1、玻色分布

1、玻色分布1、玻色分布变分：令al有的变化，则将有变化极值条件：1、玻色分布变分：令al有的变化，则将有拉格朗日未定乘子法：（每一个系数等于零）1、玻色分布

拉格朗日未定乘子法：（每一个系数等于零）1、玻色分布1、玻色分布

玻色－爱因斯坦分布1、玻色分布玻色－爱因斯坦分布