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文档简介

利用向量法判断直线与平面的位置关系在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心．活动与探究求证：B1O⊥平面PAC．分析：欲证B1O⊥平面PAC，只需证明与平面PAC内的两条相交直线都垂直，即B1O与它们的方向向量的数量积均为0即可．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心．活动与探究求证：B1O⊥平面PAC．证明：如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心．活动与探究求证：B1O⊥平面PAC．证明：则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，2），O（1，1，0），在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心．活动与探究求证：B1O⊥平面PAC．证明：于是＝（1，1，2），＝（－2，2，0），＝（－2，0，1）．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心．活动与探究求证：B1O⊥平面PAC．∴OB1⊥AC，OB1⊥AP，证明：由于

＝－2＋2＝0，

＝－2＋2＝0，∴OB1⊥平面PAC．变式训练已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE．证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz．则有：D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），E（2，2，1），F（0，0，1），变式训练已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE．证明：所以有＝（0，2，1），＝（2，0，0），＝（0，2，1），变式训练已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE．证明：设

＝（x，y，z）是平面ADE的法向量．则

，

，即

＝2x＝0，

＝2y＋z＝0，得

，变式训练已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE．证明：令z＝2，又因为FC1⊊平面ADE，则y＝－1，所以

＝（0，－1，2）．∴FC1∥平面ADE．小结证明线面平行时，常用平面的法向量和直线垂直来判定．证明线面垂直时，常用直线和平面的两条相交直线垂直来证明．

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