不定积分-分部积分法

问题

xe

x

dx

?解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数u

u(x)和v

v(x)具有连续导数,uv

uv

uv,

uv

uv

uv,

uvdx

uv

uvdx,

udv

uv

vdu.分部积分公式一、基本内容

xex

exdx

xe

x

e

x

C

.例1

求积分

x

cos

xdx

.解（一）

x

cos

xdx

xd

sin

x

C

.cos

xd

cos2

2

2

2x22显然，u,v

选择不当，积分更难进行.

sinsxindx2解（二）

x

cos

xdx

cos

xd

2例2哪个

哪个选作u.求积分

x2ex

dx.解

x

2e

xdx

x2dexdx2e

xe2

（再次使用分部积分法）u

x,

exdx

dv选择u的有效方法:指数函数反三角函数----对数函数----幂函数三角函数

udv

uv

vdu

x2e

(

x2

2x

2)ex

C.例3解

原式

xd)arctan

arctan

求积分

arctan

xdx.

1

d(1

x2

)x

arctan

x

2 1

x22

x

arctan

x

1

ln(1

x2

)

C.例4求积分

x

arctan

xdx.2x2xd)22arctan

xd2解

原式=122 1

x2

dx22

xarctan2)

C

.2arctan22

x例6求积分

x3

ln

xdx.4x4解原式=

ln

xd1414

ln

141614

ln44C

ln

xdx

x

ln

x

xd

ln

x

C.例5ln

例7求积分

e

x

sin

xdx.解

e

x

sin

xdx

sin

xdex

e

x

sin

x

e

xd

(sin

x)

exsin

x

ex

cos

xdxxd)

e

x

(sin

x

cos

x)

e

x

sin

xdx2x

e

x

sin

xdx

e

(sin

x

cos

x)

C

.注意循环形式例8

求积分

sin(ln

x)dx.解

sin(ln

x)dx

x

sin(ln

x)

xd[sin(ln

x)]

xs(xlnd)[scions((llnn

x)]

cos(ln)2

sin(ln

x)dx

x

[sin(ln

x)

cos(ln

x)]

C

.2例

9

已知

f

(

x)

的一个原函数是

e

x

,

求

xf

(

x)dx

.解

xf

(

x)dx

xdf

(

x)

xf

(

x)

f

(

x)dx,

C

,是

f

(

x)

的原函数,

f

(

x)dx

e

x2两边同时对x求导,得2f

(

x)

2xe

x

,

xf

(

x)dx

xf

(

x)

f

(

x)dx2

2

2x2e

x

e

x

C.2

e

x例10求积分

x

arctan

x

dx.1

x2解,1

x2x

1

x2

x

arctan

x

dx

arctan

xd1

x21

x21

2

arctanxd)1

2

1

注意多种积分方法的结合使用.

1

x2

arctan

x

1

dx1

x2令x

tan

t1

x2dx

11

tan2

tsec2

tdt

1sec

tdt

ln

|

sect

tan

t

|

C

ln

|

x

1

x

2

|

C

x

arctan

x

dx1

x2

1

x2arctan

x

ln

|

x

1

x

2

|

C

.例11

求

arctan

xdx令x

t,得到原式

2

t

arctan

tdt

arctan

tdt2

例12

求

dxxexxe

2ex令

2

t,得到原式

2

ln(2

t

2

)dt,

再用分部积分.例13

求类似于上例先用分部积分，再用换元法.x2

a2

dx21.2t2t1,dt例14

求

令tx

2

,得到原式先用分部积分，再用换元法.

ln(dx

1x2ln(1

x

x

ln(1

x

)dx222

2

ln(1

x)d

x

ln(1

x)d

x

1

exxexdx

2

xd

1

exdxe

dxe

x

1

x2

1

x

2

22dx

1

x

1

x

22xdx1

x

(1

x2

)2(dx1

arctan

x

C)1

x2

e d(arctan

x

2

)1

x1x

e

(arctan

x

121

x1x)

e

arctan

xdx

21

xexdxx1

x2

ex

(arctan

x

1

x2e

x

dx)

ex

arctan

x

1

x2e

x

dxex1

x2

C

.合理选择u,v

，正确使用分部积分公式

uvdx

uv

uvdx

udv

uv

vdu.二、小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？思考题解答注意前后几次所选的u

应为同类型函数.例

e

x

cos

xdx第一次时若选u1

cos

x

e

x

cos

xdx

e

x

cos

x

e

x

sin

xdx第二次时仍应选u2

sin

x练习题一、填空题：1、

x

sin

xdx

；2、arcsin

xdx

；3、计算

x

2

ln

xdx

，

可设

u

,dv

4、计算

e

x

cos

xdx

，可设

u

,dv

5、计算

x

2

arctan

xdx

，可设

u

,dv

6、计算

xe

xdx

，可设

u

,dv

.二、求下列不定积分：21、

； 2、dx

；x

2(ln

x)33、

eax

cos

nxdx

；5、cos(ln

x)dx

；4、

e

3x

dx；6、(1

x

2

)2xearctan

x3

dx

.x三、已知sin

x

是fx()的原函数，求.四、设

fx函数dx

(())

Cx，F

fx()可微，且fx()的反1

()xf

存在，则

FC.xxfxf

xfdx11

(()1())一、1、2、sincosCC4、e

x

,21arcsin3、ln

,5、；cos

xdx

；,n；6、,ex

x

dx

.二、1、cos

x

sin

x

C

；x

3

16

22、

1

[(ln

6]

C

；xeax3、(a

cos

nx

n

sin

nx)

Ca

2

n2x