小升初复习重难点一几何五大模型

几何五大模型一、五大模型简介等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S[sub]AACD[/sub]=S[sub]ABCD[/sub]；反之，如果S[sub]AACD[/sub]=S[sub]ABCD[/sub]，则可知直线AB平行于CD。例、如图，三角形ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。【详解】簸拗口，S^=-S^sq=-x24=12^lLD卫="JSnJDf=3X"=W'Sj^EF=N$：LA^E==3（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S[sub]^ABC[/sub]：S[sub]^ADE[/sub]=(ABXAC)：(ADXAE)我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理!如图连接BE,根据等积变化模型知，S[sub]^ADE[/sub]：S[sub]AABE[/sub]=AD：AB>S[sub]AABE[/sub]：S[sub]ACBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]AABE[/sub]：S[sub]AABC[/sub]=S[sub]AABE[/sub]：(S[sub]AABE[/sub]+S[sub]ACBE[/sub])=AE：AC，因此S[sub]^ADE[/sub]：S[sub]AABC[/sub]=CS[sub]AADE[/sub]：S[sub]AABE[/sub])X(S[sub]AABE[/sub]：S[sub]AABC[/sub])=(AD：AB)X(AE：AC)。例、如图在AABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2,AE：EC=3:2,△ADE的面积为12平方厘米，求AABC的面积。1详解】根据鸟买模型可知：5^:=[ABxAC）:{,ADxAE）,所以5=碧务5=村血2，平方哩料（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）5：禺二/若S：禺：&：，“=疽芳:品-"梯形s的对应价数为3+6）气例、如图，梯形ABCD,AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O,已知AAOB^ABOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。DC【详解】由梯形锄蝶定理的性质郁.瞬，代=奇（站CD）="3八所以电CD二5:7；所以二如"8’二5"7七此49、即心暨二49平方厘米，而5朝*林=35平方厘米，所以梯形ABCD的面楸:25+35+35+49=1^4（平方厘米L2、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：B①&禺=脆&或者§发禺=S［漆Sp®AO.OC=（"1七品工（昆+禺）例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3,求CO的长度是DO长度的几倍。HC1详解】由任意四边形蝴蝶定理的性质知,=京=1：&所以0C二3A0次X2二6,所玖醵m二&:3二么:"蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。（4）相似模型1、相似三角形：形状相同，大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形性质：相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线!eJDAEDEAFABACBCAG②5心国=AF2:ACF*例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多少?【详解】根据平行四边形的性质知，起平行TCD,所以由沙漏模理知,BF.FC=BE:CD=A:16=1A,所UlFC=10x——二私144（5）燕尾模型gUL___cE由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型，看一下它都有哪些性质：S[sub]AABG[/sub]：S[sub]AACG[/sub]=S[sub]ABGE[/sub]：S[sub]ACGE[/sub]=BE：CES[sub]ABGA[/sub]：S[sub]ABGC[/sub]=S[sub]AGAF[/sub]：S[sub]AGCF[/sub]=AF：CFS[sub]AAGC[/sub]：S[sub]ABGC[/sub]=S[sub]AAGD[/sub]：S[sub]ABGD[/sub]=AD：BD例、如图，E、D分别在AC、BC上，且AE：EC=2:3,BD：DC=1:2,AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。AAAA［详解】如图所示，连接CF构造燕尾模型。根据燕尾模型性质可知：，里_2D_2，_AE_?2SjhCBF五。3现设疆广1份,则临二2份危皿K价、％如制粉、Ssf=4乂上二L・.§份、SCEF—4x---.二24份。所以4=4.4粉■、$^广2+3+4二勺份口5^D...=22^4.4X9=45(平方厘米"1*1q侦二五大模型经典例题详解等积变换模型例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？［祥解】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边提、耽、⑴就被分成了相等的三段，把点H和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个寿状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记m这9个三角形的底边都是正方形询长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。根据等积变换模型可知，CD边上的阴影三角形的面积与第1,0个三角形相等，既边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等，AB边上的阴影三角形与第5.£■个三角形相等.因此，阴戢面积是空白面积的二分之一，是正方形面和.的三分之一，即；12X12-3=43.例2、如图所示，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形PQM的面积。【详解】如图所示，连接CE、口E,由于DQrME平行，根据同底等高知，，I理根据及'平1J，~apvjf，所SiFgAT=^^CDE°由于四边形ABCD为直角梯形，所以腿e=*皿弟一$皿一％«=牛5+7）（5+»?跄5-?沁7二［5,即阴最三角形PQM的面积为25o（2）鸟头（共角）定理模型例1、如图所示，平行四边形ABCD,BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD,平行四边形ABCD的面积为2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。t详解】如图所示，连ftAC.BD,由于在△ABC、^EEF中，匕招。与ZEBF互补，所成根据鸟头定理有金些二坐竺二丝二'因为S皿BESF1脂3二顼平有8皿.二1，所以，咐二3;同理可得览皿二4履二85皿『=4x】="$过湖=5'定=15*8+8+15+3+2361is例2、如图所示，AABC的面积为1,BC=5BD、AC=4EC8+8+15+3+2361is【祥解】首先根据等积变换模型知，所以S—45根据鸟头定理有*C—.根据鸟头定理有*C—.A£'GEg=L所以』=吼西兰詈=WIW£=g=''所认膈卸=喝艰所以％功莓算由ADBD1X11-lAJJ心———_SgADBD1X11-lAJJ心———_SgADDC1x44AIlXJ所以.SajZU=若5所认膈乳*5即【详解】如图所示，连接阴髯四边形的对角线，此时正六边形被平分成两半.设M的面积为1份，根据正六诃形的特殊性质知"C二如,再根据梯形蝴蝶定理，标出各个三角形所占份数，所以整个正六边形被分成了鬟份，阴影部分站其中的8粉，即阴影部分面耘为：-xl=l.189例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。1详解】如图所示，连接D"CR在梯形EICT中，根据梯形蝴蝶定理知,5还幽反5空此='赤邸鬼5亚如=2xS=16,即S邸函=Wrjc=」，所以,皿?d=8+4=12f5芸方尊=12X2=24，S求嚎口皿=24-二-2-8=9。例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。

【详解】设BD与CE的交点为。，连接BE.DF,在梯形BCDE中,由梯形蝴蝶定理知，EO-.CO=S^ed:而s皿9=qS正、^ABCD=?所以E0-C0=\2.又因为F为郭的中点，所^E0:F0=2~A.在四辿形BFBE中，由蝴蝶定理知，£。空。=膈皿5空四=、'所以任E>—昏S]E游顼58。所以'皿g二=T7Elc正方％况科二二乂1。心。=6.25(平方厘米)16相似模型例1、如图，正方形的面积为1,E、F分别为AB所以'皿g二=T7Elcr详解】如图所示，作FH垂直昭于点H,GI垂直旺于点L根据金字塔模型知，CI：CH=CG：CF=1:3；因为F■是E□的中点，所以CH二BH,CI：CB=1:6,即BI：BC=(6T\6二5:6,所以S冲仁二2xJ二三。皿&22624

例2、如图，长方形ABCD,E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H,OE垂直于AD，交AD于E点，交AF于。点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。r详解】根据长方形的性庙知，提平行于df,再根据沙漏模型知AB-.DF=AH-RF=5-3又因为互为的中点0E:朋=1;23AB:OE=5:-=10:32利用相似三角形性质可得：AG:DO=AB:OE=\0:3•.或=Z"F=【(5+3)=422…mW401313（5）燕尾模型例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。t详解刘口图，连接BHo由于旺与CD平行，根据沙漏模型知,BG；GD=BE：CD=l:2o现设$球邓,根据燕尾模型知，豪战云伤、&胞二2份｝因此整个正方形ABC口就是：（1+2+2）X2=10（份，四边形BGHF占！-xl+-xl=-（份），所236以喝惊蜘=1匙刁"=14（平方J1米L归业」莎UJJX1m例2、如图，在AABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么^ABC的面积是阴影AGHI面积的几倍？D【详解】如图，连接AL根据燕尾模型知，$皿广』$御=龄醯=21，所加yW：』=l：2：L那么吏_2宜_2V，邓口=;~;5」时=—Sa3C■>14-2-1-4同I理可知，$36=y$jsc'%明=y旦皿:。所以快网=（1—亍*3），乳=—^±bc，即AABC的面积是阴影AGHI面积的7倍。例3、如图，在AABC中，点D是AC的中点，点E、F是BC的三等分点，若^ABC的面积是1，求四边形CDMF的面积。AA【详解】如图，连接CMsCDL根据燕尾模型如，:Sy二RF:CF二2:1,而电m=2膈『所以$皿甘=2邕”=1电顷即BN=4DNo所以根据鸟头模型S%_vf_BAfxBF_4x2_8即勺_s1_SqwED"C5x3151515215所以S四泓四y=S普W_邕KWF=—4_7

15-30三、巩固练习1、如图，在角MON的两边上分别有a、C、E、B、D、F六个点，并且△OAB'AABC、22、如下图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米，求三所以S四泓四y=S普W_邕KWF=—4_7

15-304、如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB、CB=BF、DC=CG、HD=DA，求四边形E5、边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC、FC=DF，求三角形AGE的面积。6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积为11，三7、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC=120毫米，高AD=80毫米。现在要$AC上，这个正方形零件的边长是多少？8、如图，已知正方形ABCD的面积为120平方厘米，E是AB边的中点，F是BC边的中9、如图，正方形ABCD的边长是12厘米，E、F分别是AB、BC的中点，AF与CE交于j10、如图，在四边形ABCD中，AB=3BE、AD=3AF，四边形AEOF的面积是12,求平行四四,巩固练习详解1、如图，在角KN的两边上分别有LC*E.B.D.F六个点，并且A0福.△ABC、△BCD,ACDE.ADEF的面积都等于1,求ADCF的面积.［样解耽个题我们可以用等积变换来解,由于三角形OCD的面积是可以求出的，所以.只要求出。队DF就能京出乙DCF的面积"113因为QD：DF=S葛胡：=4：1,所以$£仃=;&jcd=二*3=;。。-1-442.如下虱ABCD为平行四诃形，EF平行虹如果△ADE的面硼4平方厘米,求三角形CDF的面料。［详解】如图所示，连接曲、CE,因为平行四访形对辿平行，所以根据同底等高知，Sq三二$心、公时=S*F0同理，根据虻、EF平行，所以公*=S皿F,所以，&酣—二4平方JB米03、如下图，在三角形ABC中，BD=2AD,AG-20G,BE=EF二FC,求四边形DGFE面积占三角形ABC的几分之几？11详解】根据鸟头模型的性质有：-——x——；%如=5$3C^±BAC33-921同王里:，对DE=、^kCffF=—%NSCr一厂。C\G4、如图，四ifiJKEFGH的面智是66平方米，EA^=AB.CBFLDC=CG.HD=DA,求四边形ABCD的ffiffiof|CJ>,GD'i-\

K详解】如警接町由鸟头模型知案=黠=岩专即同理可得膈=2%由所以C\G同理可得膈=2%由所以2Sgs」日如连接AC同理可衍，，皿f+，i期v=2%老』日£。；所L以扁^凝西疗二会四韶JEW，即乩^皿「=66—5=13.2〔平万米）。5、边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC、FC=DF,求三角形AGE的面积。DCDC・.・BS=2EC,CF=FD'■乩班f='项2七”'也踊砂仙此=—喝缨剪--7-X7-。函E_2正ri^ABGD由蝴蝶定理可得:AG-.GF=-：—=€-A2126613■-Ld衣二焚MDF-—氐*F二亍茂云牌正弁磨心国二百S正犯施中^SlAGE=^£lASD一£i曲莉=走nA£CD

如图，THfc方形被一些直线分成了若干个』谀，已知三角形ADG的面积为11,三角形BCH的面积为23,求四边形EGFH的面积”ABHCDEBHEABHCDEBHE【详解】连接EF,显然四边形ADEF$□BCEF都是梯形于是三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形ECR的面积等于三角形康H的面积；所以,四边形EGFH的面积为11+23=34h如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC=120毫米，高AD=8Q毫米。现在要把它加工成f正方形零件，是正方形的一ii在BC上，其余两个顶点分别在期、AC上，这个正方形零件的边长是多少？HQGHQGt详解】仔细观察我们会发现，图中有五个金字塔模型，我们利用与已知边又关系的两个金字塔模型，知：兰二兰、骂二竺』现设正方形的边长为工蔓米,方形的边长为48毫米。