高中数学第三章不等式31不等关系与不等式学案(含解析)-9882

学必求其心得，业必贵于专精3.1不等关系与不等式不等关系与不等式[提出问题]在平常生活中，我们经常看到以下标志：问题1:你知道各图中的标志有何作用吗？其含义是什么？提示:①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里;②限制重量:装载总重量G不得高出10t;③限制高度：装载高度h不得高出3。5m；④限制宽度：装载宽度a不得高出3m；⑤时间范围：t∈[7.5，10］．问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？怎样表示？提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3。5；④a≤3；⑤7。5≤t≤10。[导入新知]不等式的看法我们用数学符号“≠”“＞"“＜”“≥”或“≤"连接两个数或两个代数式,以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．[化解疑难]1．不等关系重申的是关系，可用符号“＞”“＜"“≠"“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b"等式子表示,不等关系是能够经过不等式来表现的．2．不等式中文字语言与符号语言之间的变换文字大于等于,最少,不小于等于,至多，不大于,高于,高出小于，低于，少于语言低于多于，不高出符号＞＜≥≤语言1学必求其心得，业必贵于专精两实数大小的比较[提出问题]实数能够用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．问题1：怎样判断两个实数a,b的大小？提示：若a－b是正数，则a＞b;若a－b是负数，则a〈b；若a－b是零，则a＝b。问题2：你可否由问题1得出两个实数比较大小的方法？提示：能．经过两个实数作差,判断差的正负比较大小．［导入新知］比较两个实数a,b大小的依照文字语言符号表示若是a＞b，那么a－b是正数；?>0a〉－若是a＜b,那么a－b是负数；a〈b?a－b<0若是＝，那么－等于0,ababa＝b?a－b＝0反之亦然[化解疑难］1．上面的“?”表示“等价于”，即能够互相推出．2．“?"右边的式子反响了实数的运算性质，左边的式子反响的是实数的大小序次,二者结合起来就是实数的运算性质与大小序次之间的关系．不等式的基本性质［提出问题］问题1：若a>b，b>c，则a〉c,对吗？为什么？提示：正确．∵a>b，b>c，∴a－b〉0，b－c〉0.∴（a－b)＋(b－c)>0,即a－c〉0.a〉c.问题2:若a＞b，则a＋c＞b＋c,对吗？为什么？提示：正确．∵a＞b,a－b＞0,a＋c－b－c＞0，2学必求其心得，业必贵于专精即a＋c＞b＋c。问题3:若a＞b，则ac＞bc，对吗?试举例说明．提示:不用然正确．若a＝2，b＝1，c＝2时正确．c＝－2时不正确．[导入新知]不等式的性质(1)对称性:a>b?b<a;（2）传达性：a〉b，b>c?a>c；可加性：a>b?a＋c〉b＋c。推论（同向可加性)：错误!?a＋c〉b＋d。（4)可乘性：错误!?ac>bc;错误!?ac〈bc。推论(同向同正可乘性)：错误!?ac>bd。（5）正数乘方性：a>b>0?nn*a〉b(n∈N，n≥1）．（6)正数开方性：a>b〉0?错误!>错误!(n∈N＊,n≥2）．［化解疑难]1．在应用不等式时,必然要搞清它们成立的前提条件．不能增强或弱化成立的条件．2．要注意“箭头"是单向的还是双向的，也就是说每条性质可否拥有可逆性．用不等式（组)表示不等关系[例1］某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车,有9名驾驶员．此车队每天最少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式．［解]设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．由题意得错误!即错误![类题通法]用不等式表示不等关系的方法1)认真审题，设出所求量,并确认所求量满足的不等关系．2）找出表现不等关系的要点词：“最少”“至多"“很多于”“不多于”“超过”“不高出”等．用代数式表示相应各量,并用要点词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝"可否取到．[活学活用］3学必求其心得，业必贵于专精用不等式(组)表示以下问题中的不等关系：(1）限速80km/h的路标；桥头上限重10吨的标志;(3）某酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不多于2。5％，蛋白质的含量p不少于2.3%。解：(1)设汽车行驶的速度为vkm/h,则v≤80.(2）设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.错误!比较两数（式）的大小［例2]比较以下各组中两个代数式的大小:1)x2＋3与2x；2)已知a，b为正数，且a≠b,比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．［解］(1）（x2＋3）－2x＝x2－2x＋3＝错误!2＋2≥2＞0，x2＋3＞2x.2)（a3＋b3）－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b）－b2（a－b）＝（a－b）（a2b2）＝(a－b)2（a＋b)．a＞0，b＞0，且a≠b，∴(a－b）2＞0，a＋b＞0。3322∴（a＋b）－（ab＋ab)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2。［类题通法］比较两个代数式大小的步骤(1）作差：对要比较大小的两个数（或式子)作差；2)变形：对差进行变形;3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4）作出结论．这种比较大小的方法平常称为作差比较法．其思想过程是作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．［活学活用］试判断以下各对整式的大小:2(1）m－2m＋5与－2m＋5；2)x3＋6x与x2＋6.2解：（1)(m－2m＋5）－(－2m＋5）4学必求其心得，业必贵于专精22＝m－2m＋5＋2m－5＝m.22∵m≥0，∴（m－2m＋5）－（－2m＋5)≥0，2∴m－2m＋5≥－2m＋5.2)(x3＋6x)－(x2＋6）＝x3－x2＋6x－6x2(x－1）＋6（x－1)(x－1）（x2＋6)．∵x2＋6＞0,∴当x＞1时，（x－1)（x2＋6）＞0，即x3＋6x＞x2＋6。当x＝1时，(x－1）(x2＋6)＝0，即x3＋6x＝x2＋6.当x＜1时，(x－1）（x2＋6)＜0,即x3＋6x＜x2＋6。不等式的性质［例3]已知a＞b＞0，c＜d＜0,e＜0,求证：错误!＞错误!.证明:∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0。又∵a＞b＞0，a＋（－c）＞b＋（－d）＞0，即a－c＞b－d＞0，10＜a－c＜错误!。又∵e＜0，错误!＞错误!.［类题通法]利用不等式的性质证明不等式的注意事项（1)利用不等式的性质及其推论能够证明一些不等式．解决此类问题必然要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵便正确地加以应用．(2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不能省略条件或跳步推导，更不能够随意构造性质与法规。[活学活用]已知a＞b,m＞n，p＞0,求证:n－ap＜m－bp。证明：∵a＞b,又p＞0，5学必求其心得，业必贵于专精ap＞bp.∴－ap＜－bp。又∵m＞n,即n＜m。n－ap＜m－bp。错误!［典例］已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．[解]∵1＜a＜4,2＜b＜8，2＜2a＜8,6＜3b＜24.8＜2a＋3b＜32。2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.又∵1＜a＜4,1＋（－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2），即－7＜a－b＜2。故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是（－7,2)．【研究一】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边能够相加(相乘)，这种转变不是等价变形,若是在解题过程中多次使用这种转变，就有可能扩大其取值范围．【研究二】同向不等式拥有可加性与可乘性,但是不能够相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行合适变形来求范围，注意变形的等价性．在本例条件下,求错误!的取值范围．[解]∵2＜b＜8，∴错误!＜错误!＜错误!，而1＜a＜4，∴1×错误!＜a·错误!＜4×错误!，即错误!＜错误!＜2.a故b的取值范围是错误!.【研究三】不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变；同乘一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．6学必求其心得，业必贵于专精例:已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求错误!的取值范围．［解］∵－6＜a＜8，2＜b＜3,∴错误!＜错误!＜错误!。①当0≤a＜8时，0≤错误!＜4；②当－6＜a＜0时,－3＜错误!＜0。由①②得：－3＜错误!＜4。【研究四】利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数．例：已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3,求a＋3b的取值范围．［解]设a＋3b＝λ1（a＋b)＋λ2（a－2b）＝(λ1＋λ2)a＋（λ1－2λ2）b,解得λ1＝错误!，λ2＝－错误!。5又－3≤错误!(a＋b）≤错误!,2≤－错误!(a－2b）≤－错误!，因此－错误!≤a＋3b≤1.(注：本题能够利用本章第三节内容求解)[随堂即时演练]1．完成一项装修工程，请木工共需付薪水每人500元，请瓦工共需付薪水每人400元，现有工人薪水估量20000元，设木工x人，瓦工y人,则工人满足的关系式是（）A．5x＋4y＜200B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200D．5x＋4y≤200剖析:选D据题意知，500x＋400y≤20000,即5x＋4y≤200，应选D。2．(四川高考)若a〉b〉0，c＜d＜0,则必然有（）A.错误!〉错误!B。错误!<错误!C。错误!>错误!D。错误!<错误!剖析:选B∵c＜d＜0,∴错误!＜错误!＜0，∴－错误!＞－错误!＞0,而a＞b＞0，ab∴－d＞－c＞0，∴错误!＜错误!，应选B。3．比较大小：x2－x________x－2。7学必求其心得，业必贵于专精剖析:（x2－x)－（x－2）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1.由于（x－1)2≥0,因此(x－1）2＋1>0,即x2－x>x－2。答案:〉4．若－10＜a＜b＜8,则|a｜＋b的取值范围是________．剖析:∵－10＜a＜8，∴0≤｜a|＜10，又－10＜b＜8，∴－10＜|a｜＋b＜18。答案：(－10,18）5．（1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；（2)若－1＜a＜b＜0，试比较错误!，错误!，a2，b2的大小．解：（1）3x3－(3x2－x＋1）＝(3x3－3x2)＋（x－1）＝3x2(x－1)＋（x－1）＝（x－1）3x2＋1)．x≤1，∴x－1≤0.又3x2＋1＞0，(x－1）（3x2＋1）≤0，3x3≤3x2－x＋1.∵－1＜a＜b＜0,∴－a＞－b＞0，a2＞b2＞0。∵a＜b＜0，a·错误!＜b·错误!＜0，即0＞错误!＞错误!,∴a2＞b2＞错误!＞错误!。[课时达标检测]一、选择题2)1．设M＝x,N＝－x－1,则M与N的大小关系是（A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．与x有关剖析：选A－＝2＋＋1＝错误!2＋错误!＞0。∴＞。MNxxMN2．某校订高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z高出45分,用不等式（组）表示就是（）A。错误!B。错误!C.错误!D。错误!8学必求其心得，业必贵于专精剖析：选D由题中x不低于95即x≥95,y高于380即y〉380，z高出45即z〉45。3．若＜0,且＞0，＞,d＜0，则（)abcdabcA．b＜0，c＜0B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0D．0＜c＜b或c＜b＜0剖析：选D由＞0，＜0，且＜0,知bc＞0，adabcd又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0。4．设α∈错误!，β∈错误!,则2α－错误!的范围是(）A.错误!B.错误!C。错误!D。错误!剖析：选D∵0＜2α＜π，0≤错误!≤错误!，∴－错误!≤－错误!≤0，由同向不等式相加获取－错误!＜2α－错误!＜π.5．已知：a，b，c，d∈R,则以下命题中必成立的是（）A．若a＞b,c＞b，则a＞cB．若a＞－b,则c－a＜c＋bC．若a＞b,c＜d，则错误!＞错误!22D．若a＞b，则－a＜－b剖析:选B选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D，只有a＞b＞0时才能够，否则如a＝－1，b＝0时不成立，应选B。二、填空题6．比较大小：a2＋b2＋c2________2（a＋b＋c）－4.剖析:a2＋b2＋c2－［2(a＋b＋c)－4]a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4(a－1）2＋（b－1）2＋(c－1）2＋1≥1＞0，故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c）－4。答案：＞7．已知|a|＜1，则错误!与1－a的大小关系为________．剖析：由｜a|＜1，得－1＜a＜1.1＋a＞0,1－a＞0。即错误!＝错误!。∵0＜1－a2≤1，∴错误!≥1,∴错误!≥1－a.答案:错误!≥1－a9学必求其心得，业必贵于专精8．某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件，每类每件所需人员数和预计产值以下：产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A类17.52B类错误!6今拟订计划欲使总产值最高，则A类产品应开发________件,最高产值为________万元．剖析：设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件（50－x）件,则错误!＋错误!20，解得x≤20。由题意，得总产值y＝7.5x＋6×（50－x）＝300＋1。5x≤330，当且仅当x＝20时,y取最大值330。因此应开发A类电子器件20件,能使产值最高，为330万元．答案:20330三、解答题b9．（1）a＜b＜0，求证：a＜错误!;1（2)已知a＞b，a＜错误!,求证：ab＞0.证明：(1)由于错误!－错误!＝错误!＝错误!,∵a＜b＜0，b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，错误!＜0，故错误!＜错误!。∵错误!＜错误!，∴错误!－错误!＜0，即错误!＜0，而a＞b，∴b－a＜0,∴ab＞0.10．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属集体票，按原价的8折优惠．"这两车队的收费标准、车型都是相同的，试依照此单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n人（n∈N*）,全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋错误!x·（n－1）＝错误!x＋错误!xn，y2＝错误!