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文档简介
19/19常考考点,小题练习不等式(建议用时:40分钟)一、选择题1.若a>b>0,则().A.a2c>b2c(c∈R) B.eq\f(b,a)>1C.lg(a-b)>0 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b2.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于(A.eq\f(5,2) B.eq\f(7,2)C.eq\f(15,4) D.eq\f(15,2)3.“x>y>0”是“eq\f(x,y)>1”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.若实数x,y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+2y-2≥0,,x-y-1≤0,,x-2y+2≥0,))则x+y的最大值为().A.4 B.5C.6 D.75.若x∈(e-1,1),a=lnx,b=(eq\f(1,2))lnx,c=elnx,则a,b,c的大小关系是().A.c>b>a B.b>c>aC.a>b>c D.b>a>c6.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是().A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2\r(3),3)7.若存在x使不等式eq\f(x-m,ex)>eq\r(x)成立,则实数m的取值范围为().A.(-∞,-eq\f(1,e)) B.(-eq\f(1,e),e)C.(-∞,0) D.(0,+∞)8.已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+y-2≥0,,x-2y+4≥0,,3x-y-3≤0))上的一个动点,则|AM|的最小值是().A.eq\f(3\r(5),5) B.eq\r(2)C.eq\r(5) D.eq\r(13)9.已知不等式eq\f(x+2,x+1)<0的解集为{x|a<x<b},点A(a,b)在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则eq\f(2,m)+eq\f(1,n)的最小值为().A.4eq\r(2) B.8C.9 D.1210.已知函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x),x>0,,-x2+4x,x≤0,))若|f(x)|≥ax-1恒成立,则实数a的取值范围是().A.(-∞,-6] B.[-6,0]C.(-∞,-1] D.[-1,0]二、填空题11.不等式eq\f(x+5,x-12)≥2的解集是__________.12.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是________.13.已知实数x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+y-2≥0,,x-2y+4≥0,,3x-y-3≤0,))且目标函数z=kx+y的最大值为11,则实数k=________.14.已知直线ax+by+c-1=0(bc>0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则eq\f(4,b)+eq\f(1,c)的最小值是________.15.已知O是坐标原点,点M的坐标为(2,1),若点N(x,y)为平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y≤2,,x≥\f(1,2),,y≥x))上的一个动点,则eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的最大值是__________.参考答案一、选择题1.解析取a=2,b=1,c=0验证可得D正确.答案D2.解析由题意知x1,x2为方程x2-2ax-8a2∴x1+x2=2a,x1·x2=-8a2,∴|x2-x1|=eq\r(x2+x12-4x1x2)=eq\r(4a2+32a2)=15.又a>0,解得a=eq\f(5,2). 答案A3.解析eq\f(x,y)>1⇔(x-y)y>0,由x>y>0,得(x-y)>0,y>0,所以x>y>0⇒eq\f(x,y)>1,具有充分性.由eq\f(x,y)>1,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>y,,y>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<y,,y<0,))所以eq\f(x,y)>1⇒/x>y>0,不具有必要性,故选A.答案A4.解析画出可行域(如图),目标函数向上平移至点A时,取得最大值,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y-1=0,x-2y+2=0))得A(4,3),∴(x+y)max=4+3=7. 答案D5.解析∵x∈(e-1,1),∴-1<lnx<0,1<(eq\f(1,2))lnx<2,eq\f(1,e)<elnx<1,∴b>c>a. 答案B6.解析对于x2+3xy-1=0可得y=eq\f(1,3)(eq\f(1,x)-x),∴x+y=eq\f(2x,3)+eq\f(1,3x)≥2eq\r(\f(2,9))=eq\f(2\r(2),3)(当且仅当eq\f(2x,3)=eq\f(1,3x),即x=eq\f(\r(2),2)时等号成立). 答案B7.解析依题意得,关于x的不等式eq\f(x-m,ex)>eq\r(x),即-m>exeq\r(x)-x有解.记f(x)=exeq\r(x)-x(x≥0),则f′(x)=exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)+\f(1,2\r(x))))-1≥ex×2eq\r(\r(x)×\f(1,2\r(x)))-1=eq\r(2)ex-1>eq\r(2)-1>0(x>0),因此函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,f(x)的最小值是f(0)=0,于是有-m>0,m<0,实数m的取值范围是(-∞,0). 答案C8.解析依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,结合图形可知,|AM|的最小值等于点A(-1,1)到直线2x+y-2=0的距离,即等于eq\f(|2×-1+1-2|,\r(22+12))=eq\f(3\r(5),5).答案A9.解析易知不等式eq\f(x+2,x+1)<0的解集为(-2,-1),所以a=-2,b=-1,2m+n=1,eq\f(2,m)+eq\f(1,n)=(2m+n)(eq\f(2,m)+eq\f(1,n))=5+eq\f(2m,n)+eq\f(2n,m)≥5+4=9(当且仅当m=n=eq\f(1,3)时取等号),所以eq\f(2,m)+eq\f(1,n)的最小值为9. 答案C10.解析在同一直角坐标系下作出y=|f(x)|和y=ax-1的图象如图所示,由图象可知当y=ax-1与y=x2-4x相切时符合题意,由x2-4x=ax-1有且只有一负根,则Δ=0且eq\f(a+4,2)<0,得a=-6,绕点(0,-1)逆时针旋转,转到水平位置时都符合题意,所以a∈[-6,0].答案B二、填空题11.解析∵(x-1)2≥0且x≠1,∴eq\f(x+5,x-12)≥2⇔x+5≥2(x-1)2且x≠1⇔2x2-5x-3≤0且x≠1,解得-eq\f(1,2)≤x<1或1<x≤3. 答案[-eq\f(1,2),1)∪(1,3]12.解析x2+y2+xy=1⇔(x+y)2-xy=1⇔(x+y)2-1=xy≤(eq\f(x+y,2))2,解得eq\f(-2\r(3),3)≤x+y≤eq\f(2\r(3),3). 答案eq\f(2\r(3),3)13.解析画图后易知,目标函数在点(2,3)处取到最大值11,所以2k+3=11,即k=4.答案414.解析依题意得,题中的圆心坐标是(0,1),于是有b+c=1,eq\f(4,b)+eq\f(1,c)=(eq\f(4,b)+eq\f(1,c))(b+c)=5+eq\f(4c,b)+eq\f(b,c)≥5+2eq\r(\f(4c,b)×\f(b,c))=9,当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b+c=1bc>0,,\f(4c,b)=\f(b,c),))即b=2c=eq\f(2,3)时取等号,因此eq\f(4,b)+eq\f(1,c)的最小值是9.答案915.解析eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))=2x+y,如图:当直线2x+y=z经过点(1,1)时,达到最大值,zmax=3. 答案3三角函数与三角恒等变换(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知cos(eq\f(π,2)+α)=eq\f(3,5),且α∈(eq\f(π,2),eq\f(3π,2)),则tanα=().A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C.-eq\f(3,4) D.±eq\f(3,4)2.已知α是第四象限的角,若cosα=eq\f(3,5),则tan2α=().A.eq\f(15,7) B.eq\f(16,7)C.eq\f(20,7) D.eq\f(24,7)3.已知sin2α=eq\f(1,3),则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))=().A.-eq\f(1,3) B.-eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)4.函数f(x)=eq\r(3)sin2x+cos2x图象的一条对称轴方程是().A.x=-eq\f(π,12) B.x=eq\f(π,3)C.x=eq\f(5π,12) D.x=eq\f(2π,3)5.将函数f(x)=eq\f(\r(2),2)sin2x+eq\f(\r(6),2)cos2x的图象向右平移eq\f(π,4)个单位得到函数g(x)的图象,则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))=().A.eq\f(\r(6),2) B.-1C.eq\r(2) D.26.函数f(x)=2sin(ωx+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0,-\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是().A.2,-eq\f(π,3) B.2,-eq\f(π,6)C.4,-eq\f(π,6) D.4,eq\f(π,3)7.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<eq\f(π,2))的最小正周期为π,若其图象向右平移eq\f(π,3)个单位后关于y轴对称,则().A.ω=2,φ=eq\f(π,3) B.ω=2,φ=eq\f(π,6)C.ω=4,φ=eq\f(π,6) D.ω=2,φ=-eq\f(π,6)8.已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的最小正周期为2,且f(eq\f(1,6))=1,则函数y=f(x)的图象向左平移eq\f(1,3)个单位后所得图象的函数解析式为().A.y=2sin(πx+eq\f(π,3)) B.y=eq\f(1,2)sin(πx-eq\f(π,3))C.y=2sin(πx+eq\f(1,3)) D.y=eq\f(1,2)sin(πx-eq\f(1,3))9.设函数f(x)=eq\r(3)sin(2x+φ)+cos(2x+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2))),且其图象关于直线x=0对称,则().A.y=f(x)的最小正周期为π,且在(0,eq\f(π,2))上为增函数B.y=f(x)的最小正周期为π,且在(0,eq\f(π,2))上为减函数C.y=f(x)的最小正周期为eq\f(π,2),且在(0,eq\f(π,4))上为增函数D.y=f(x)的最小正周期为eq\f(π,2),且在(0,eq\f(π,4))上为减函数10.关于函数f(x)=2(sinx-cosx)cosx的四个结论:P1:最大值为eq\r(2);P2:把函数f(x)=eq\r(2)sin(2x)-1的图象向右平移eq\f(π,4)个单位后可得到函数f(x)=2(sinx-cosx)cosx的图象;P3:单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ+\f(7π,8),kπ+\f(11π,8)))(k∈Z);P4:图象的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)π+\f(π,8),-1))(k∈Z).其中正确的结论有().A.1个 B.2个C.3个 D.4个二、填空题11.若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)-α))=eq\f(1,4),则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)+2α))=________.12.已知角2α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(\r(3),2))),2α∈[0,2π),则tanα=________.13.函数y=tanωx(ω>0)与直线y=a相交于A,B两点,且|AB|最小值为π,则函数f(x)=eq\r(3)sinωx-cosωx的单调增区间是__________.14.已知eq\f(1-cos2α,sinαcosα)=1,tan(β-α)=-eq\f(1,3),则tan(β-2α)=________.15.设函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,-eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的图象关于直线x=eq\f(2π,3)对称,它的周期是π,则下列说法正确的是______.(填序号)①f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(3,2)));②f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12),\f(2π,3)))上是减函数;③f(x)的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12),0));④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象.参考答案一、选择题1.解析因为cos(eq\f(π,2)+α)=eq\f(3,5),所以sinα=-eq\f(3,5),显然α在第三象限,所以cosα=-eq\f(4,5),故tanα=eq\f(3,4). 答案B2.解析由cosα=eq\f(3,5),α在第四象限得tanα=-eq\f(4,3),从而tan2α=eq\f(2tanα,1-tan2α)=eq\f(2×-\f(4,3),1--\f(4,3)2)=eq\f(24,7).答案D3.解析∵cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))=eq\f(1+cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α-\f(π,2))),2)=eq\f(1+sin2α,2),∴cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))=eq\f(2,3). 答案D4.解析f(x)=2(eq\f(\r(3),2)sin2x+eq\f(1,2)cos2x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6))),由2x+eq\f(π,6)=kπ+eq\f(π,2),k∈Z,得x=eq\f(kπ,2)+eq\f(π,6),k∈Z,令k=1,得x=eq\f(2π,3). 答案D5.解析由于f(x)=eq\f(\r(2),2)sin2x+eq\f(\r(6),2)cos2x=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3))),其图象向右平移eq\f(π,4)个单位后得到g(x)=eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4)))+\f(π,3)))的图象,∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))=eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-\f(π,4)))+\f(π,3)))=eq\r(2)sineq\f(π,3)=eq\f(\r(6),2). 答案A6.解析由图知eq\f(3,4)T=eq\f(5π,12)-(-eq\f(π,3))=eq\f(3π,4),T=π,则ω=eq\f(2π,T)=2.注意到函数f(x)在x=eq\f(5π,12)时取到最大值,则有2×eq\f(5π,12)+φ=2kπ+eq\f(π,2),k∈Z,而-eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2),故φ=-eq\f(π,3). 答案A7.解析由eq\f(2π,ω)=π,得ω=2,因为将f(x)的图象向右平移eq\f(π,3)个单位后得g(x)=sin(2x-eq\f(2π,3)+φ)的图象,又g(x)为偶函数,所以-eq\f(2π,3)+φ=kπ+eq\f(π,2),(k∈Z),又|φ|<eq\f(π,2),取k=-1,得φ=eq\f(π,6).答案B8.解析由最小正周期为2,得eq\f(2π,ω)=2,则ω=π,又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))=1,所以Asineq\f(π,6)=1,A=2,所以f(x)=2sinπx,将函数y=f(x)的图象向左平移eq\f(1,3)个单位后得到y=2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,3)))))=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx+\f(π,3)))的图象. 答案A9.解析f(x)=eq\r(3)sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)+φ)),∵图象关于x=0对称,∴eq\f(π,6)+φ=eq\f(π,2)+kπ(k∈Z),φ=eq\f(π,3)+kπ(k∈Z),又∵|φ|<eq\f(π,2),∴φ=eq\f(π,3),f(x)=2cos2x.其最小正周期T=eq\f(2π,2)=π,且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上单调递减. 答案B10.解析因为f(x)=2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,4)))-1.所以最大值为eq\r(2)-1,故P1错误.将f(x)=eq\r(2)sin2x-1的图象向右平移eq\f(π,4)个单位后得到f(x)=eq\r(2)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4)))-1=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,2)))-1的图象,故P2错误.由-eq\f(π,2)+2kπ≤2x-eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)+2kπ,得-eq\f(π,8)+kπ≤x≤eq\f(3π,8)+kπ,k∈Z,即增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,8)+kπ,\f(3π,8)+kπ))(k∈Z),故P3正确.由2x-eq\f(π,4)=kπ,k∈Z,得x=eq\f(kπ,2)+eq\f(π,8),k∈Z,所以函数的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)+\f(π,8),-1)),k∈Z,故P4正确. 答案B二、填空题11.解析由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)-α))=eq\f(1,4)得sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)+α))))=eq\f(1,4),即cos(eq\f(π,6)+α)=eq\f(1,4),∴cos(eq\f(π,3)+2α)=cos[2(eq\f(π,6)+α)]=2cos2(eq\f(π,6)+α)-1=2×(eq\f(1,4))2-1=-eq\f(7,8). 答案-eq\f(7,8)12.解析由三角函数定义可知sin2α=eq\f(\r(3),2),cos2α=-eq\f(1,2),∴tan2α=eq\f(sin2α,cos2α)=-eq\r(3).又2α∈[0,2π),∴2α=eq\f(2π,3),∴α=eq\f(π,3),∴tanα=eq\r(3). 答案eq\r(3)13.解析由函数y=tanωx(ω>0)的图象可知,函数的最小正周期为π,则ω=1,故f(x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,6))).由2kπ-eq\f(π,2)≤x-eq\f(π,6)≤2kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),得2kπ-eq\f(π,3)≤x≤2kπ+eq\f(2π,3)(k∈Z).答案[2kπ-eq\f(π,3),2kπ+eq\f(2π,3)](k∈Z)14.解析由eq\f(1-cos2α,sinαcosα)=eq\f(2sin2α,sinαcosα)=2tanα=1,得tanα=eq\f(1,2),∴tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]=eq\f(tanβ-α-tanα,1+tanβ-αtanα)=eq\f(-\f(1,3)-\f(1,2),1-\f(1,6))=eq\f(-\f(5,6),\f(5,6))=-1. 答案-115.解析∵周期为π,∴eq\f(2π,ω)=π⇒ω=2,∴f(x)=3sin(2x+φ),feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π))=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)+φ)),则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)+φ))=1或-1,∵φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(π,2))),∴eq\f(4π,3)+φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6),\f(11,6)π)),∴eq\f(4π,3)+φ=eq\f(3π,2)⇒φ=eq\f(π,6),∴f(x)=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6))).①:令x=0⇒f(x)=eq\f(3,2),正确.②:令2kπ+eq\f(π,2)<2x+eq\f(π,6)<2kπ+eq\f(3π,2),k∈Z⇒kπ+eq\f(π,6)<x<kπ+eq\f(2π,3),k∈Z.令k=0⇒eq\f(π,6)<x<eq\f(2π,3),即f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(2,3)π))上单调递减,而在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12),\f(π,6)))上单调递增,错误.③:令x=eq\f(5π,12)⇒f(x)=3sinπ=0,正确.④:应平移eq\f(π,12)个单位,错误.答案①③平面向量与解三角形(建议用时:40分钟)一、选择题1.在平面直角坐标系xOy中,点A(1,3),B(-2,k),若向量eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)),则实数k= ().A.4 B.3C.2 D.12.已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量λa+b与c共线,则实数λ的值为().A.-2 B.-eq\f(1,3)C.-1 D.-eq\f(2,3)3.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则eq\o(OP,\s\up6(→))+eq\o(OQ,\s\up6(→))=().A.eq\o(OH,\s\up6(→)) B.eq\o(OG,\s\up6(→))C.eq\o(EO,\s\up6(→)) D.eq\o(FO,\s\up6(→))4.在平面四边形ABCD中,满足eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=0,(eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))=0,则四边形ABCD是().A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形5.在△ABC中,若a=2b,面积记作S,则下列结论中一定成立的是().A.B>30°B.A=2BC.c<bD.S≤b26.已知直角坐标系内的两个向量a=(1,3),b=(m,2m-3),使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb,则mA.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(-∞,-3)∪(-3,+∞)C.(-∞,3)∪(3,+∞) D.[-3,3)7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acosB+bcosA=csinC,S=eq\f(1,4)(b2+c2-a2),则角B等于().A.90° B.60°C.45° D.30°8.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tanC等于().A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,3)C.-eq\f(4,3) D.-eq\f(3,4)9.已知△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若3eq\o(OA,\s\up6(→))+4eq\o(OB,\s\up6(→))+5eq\o(OC,\s\up6(→))=0,则△AOC的面积为().A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,10) D.eq\f(6,5)10.已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量,则对任意的正实数t,|ta-b|的最小值是().A.0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.1二、填空题11.若向量m=(1,2),n=(x,1)满足m⊥n,则|n|=__________.12.在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面积为eq\f(\r(3),2),则BC的长为________.13.在不等边△ABC(三边均不相等)中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且有eq\f(cosA,cosB)=eq\f(b,a),则角C的大小为________.14.在边长为1的正方形ABCD中,E,F分别为BC,DC的中点,则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))=________.15.给出以下结论:①在三角形ABC中,若a=5,b=8,C=60°,则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))=20;②已知正方形ABCD的边长为1,则|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))|=2eq\r(2);③已知eq\o(AB,\s\up6(→))=a+5b,eq\o(BC,\s\up6(→))=-2a+8b,eq\o(CD,\s\up6(→))=3(a-b),则A,B,D三点共线.其中正确结论的序号为__________.参考答案一、选择题1.解析因为A(1,3),B(-2,k),所以eq\o(AB,\s\up6(→))=(-3,k-3),因为eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)),所以-3+3k-9=0,解得k=4. 答案A2.解析由题知λa+b=(λ+2,2λ),又λa+b与c共线,∴-2(λ+2)-2λ=0,∴λ=-1. 答案C3.解析以F为坐标原点,FP,FG所在直线为x,y轴建系,假设一个方格长为单位长,则F(0,0),O(3,2),P(5,0),Q(4,6),则eq\o(OP,\s\up6(→))=(2,-2),eq\o(OQ,\s\up6(→))=(1,4),所以eq\o(OP,\s\up6(→))+eq\o(OQ,\s\up6(→))=(3,2),而恰好eq\o(FO,\s\up6(→))=(3,2),故eq\o(OP,\s\up6(→))+eq\o(OQ,\s\up6(→))=eq\o(FO,\s\up6(→)). 答案D4.解析因为eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=0,所以eq\o(AB,\s\up6(→))=-eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→)),所以四边形ABCD是平行四边形,又(eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=0,所以四边形的对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.答案C5.解析由三角形的面积公式知S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)2b·bsinC=b2sinC,因为0<sinC≤1,所以b2sinC≤b2,即S≤b2. 答案D6.解析由题意可知向量a与b为基底,所以不共线,eq\f(m,1)≠eq\f(2m-3,3),得m≠-3.答案B7.解析由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC,即sin(B+A)=sinCsinC,因为sin(B+A)=sinC,所以sinC=1,C=90°,根据三角形面积公式和余弦定理得,S=eq\f(1,2)bcsinA,b2+c2-a2=2bccosA,代入已知得eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(1,4)·2bccosA,所以tanA=1,A=45°,因此B=45°. 答案C8.解析由2S=(a+b)2-c2,得2S=a2+b2+2ab-c2,即2×eq\f(1,2)absinC=a2+b2+2ab-c2,所以absinC-2ab=a2+b2-c2,又cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)=eq\f(absinC-2ab,2ab)=eq\f(sinC,2)-1,所以cosC+1=eq\f(sinC,2),即2cos2eq\f(C,2)=sineq\f(C,2)coseq\f(C,2),所以taneq\f(C,2)=2,即tanC=eq\f(2tan\f(C,2),1-tan2\f(C,2))=eq\f(2×2,1-22)=-eq\f(4,3). 答案C9.解析依题意得,(3eq\o(OA,\s\up6(→))+5eq\o(OC,\s\up6(→)))2=(-4eq\o(OB,\s\up6(→)))2,9eq\o(OA,\s\up6(→))2+25eq\o(OC,\s\up6(→))2+30eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))=16eq\o(OB,\s\up6(→))2,即34+30cos∠AOC=16,cos∠AOC=-eq\f(3,5),sin∠AOC=eq\r(1-cos2∠AOC)=eq\f(4,5),△AOC的面积为eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|sin∠AOC=eq\f(2,5). 答案A10.解析∵a与b的夹角为60°,且b为单位向量,∴a·b=eq\f(|a|,2),|ta-b|=eq\r(ta-b2)=eq\r(|a|2t2-|a|t+1)=eq\r(|a|2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t-\f(1,2|a|)))2+\f(3,4))≥eq\f(\r(3),2). 答案C二、填空题11.解析∵m⊥n,∴m·n=0,即x+2=0,∴x=-2,∴|n|=eq\r(-22+12)=eq\r(5). 答案eq\r(5)12.解析S=eq\f(1,2)×AB·ACsin60°=eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC=eq\f(\r(3),2),所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=3,所以BC=eq\r(3). 答案eq\r(3)13.解析依题意得acosA=bcosB,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,则2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=eq\f(π,2),又△ABC是不等边三角形,因此A+B=eq\f(π,2),C=eq\f(π,2).答案eq\f(π,2)14.解析因为eq\o(AE,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)),eq\o(AF,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=0,所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))=(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))2=1. 答案115.解析对于①,Beq\o(C,\s\up6(→))·Ceq\o(A,\s\up6(→))=abcos(π-C)=-abcosC=-20;对于②,|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))|=|2eq\o(AC,\s\up6(→))|=2|eq\o(AC,\s\up6(→))|=2eq\r(2);对于③,因为eq\o(AB,\s\up6(→))=a+5b,eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=a+5b,所以eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(BD,\s\up6(→)),则A,B,D三点共线.综上可得,②③正确.答案②③数列(建议用时:40分钟)一、选择题1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35,则a4等于().A.8 B.7C.6 D.52.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=().A.4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n B.4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n-1C.4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n D.4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n-13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为().A.an=2n-3 B.an=2n+3C.an=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,n=1,2n-3,n≥2)) D.an=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,n=1,2n+3,n≥2))4.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a8=13,S7=35,则a8=().A.8 B.9C.10 D.115.在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2-3x+2=0的两根,则a6的值是().A.±eq\r(2) B.-eq\r(2)C.eq\r(2) D.±26.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2aeq\o\al(2,5),a2=2,则a1=().A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D.27.设数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5A.eq\f(15,2) B.eq\f(31,4)C.eq\f(33,4) D.eq\f(17,2)8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数nA.6 B.7C.12 D.139.已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2aeq\o\al(2,7)+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于().A.1 B.2C.4 D.810.已知函数f(x)=(1-3m)x+10(m为常数),若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且a1=2,则数列{anA.39400 B.-39400C.78800 D.-78800二、填空题11.等差数列{an}中,若a1+a2=2,a5+a6=4,则a9+a10=__________.12.设等比数列{an}的公比q=2,前n项的和为Sn,则eq\f(S4,a3)的值为________.13.已知正数a,b的等比中项是2,且m=b+eq\f(1,a),n=a+eq\f(1,b),则m+n的最小值是________.14.已知数列{an}满足an=eq\f(1+2+3+…+n,n),则数列{eq\f(1,anan+1)}的前n项和为__________.15.整数数列{an}满足an+2=an+1-an(n∈N*),若此数列的前800项的和是2013,前813项的和是2000,则其前2014项的和为________.参考答案一、选择题1.解析由题意,eq\f(7a1+a7,2)=eq\f(7×2a4,2)=35,所以a4=5.答案D2.解析由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,故a1=4,a2=6,所以an=4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,4)))n-1=4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n-1.答案B3.解析当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3.由于当n=1时,a1的值不适合n≥2的解析式,故选C.答案C4.解析设an=a1+(n-1)d,依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1+9d=13,,7a1+21d=35,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=2,,d=1,))所以a8=9. 答案B5.解析依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4+a8=3>0,,a4a8=2>0,))因此a4>0,a8>0,a6=eq\r(a4a8)=eq\r(2). 答案C6.解析因为等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2aeq\o\al(2,5),a2=2,所以由等比数列的性质得aeq\o\al(2,6)=2aeq\o\al(2,5),∴a6=eq\r(2)a5,公比q=eq\f(a6,a5)=eq\r(2),a1=eq\f(a2,q)=eq\r(2). 答案C7.解析设此数列的公比为q(q>0),由已知a2a4=1,得aeq\o\al(2,3)=1,所以a3=1.由S3=7,知a3+eq\f(a3,q)+eq\f(a3,q2)=7,即6q2-q-1=0,解得q=eq\f(1,2),进而a1=4,所以S5=eq\f(4[1-\f(1,2)5],1-\f(1,2))=eq\f(31,4).答案B8.解析∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零,又a3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0,∴S12>0,S13<0,∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.9.解析设等差数列的公差为d,由a4-2aeq\o\al(2,7)+3a8=0,得a7-3d-2aeq\o\al(2,7)+3(a7+d)=0,从而有a7=2或a7=0(a7=b7,而{bn}是等比数列,故舍去),设{bn}的公比为q,则b7=a7=2,∴b2b8b11=eq\f(b7,q5)·b7q·b7q4=(b7)3=23=8. 答案D10.解析∵a1=f(1)=(1-3m)+10=2,∴m=3,∴an=f(n)=-8n+10,∴S100=-8(1+2…+100)+10×100=-8×eq\f(101×100,2)+10×100=-39400. 答案B二、填空题11.解析根据等差数列的性质,a5-a1=a9-a5=4d,a6-a2=a10-a6=4d,∴(a5+a6)-(a1+a2)=8d,而a1+a2=2,a5+a6=4,∴8d=2,a9+a10=a5+a6+8d=4+2=6. 答案612.解析∵S4=eq\f(a11-q4,1-q),a3=a1q2,∴eq\f(S4,a3)=eq\f(15,4). 答案eq\f(15,4)13.解析由已知正数a,b的等比中项是2,可得ab=4,又m=b+eq\f(1,a),n=a+eq\f(1,b),∴m+n=(a+b)+(eq\f(1,a)+eq\f(1,b))≥2eq\r(ab)+eq\f(2,\r(ab))=5,当且仅当a=b=2时取“=”,故m+n的最小值为5. 答案514.解析an=eq\f(1+2+3+…+n,n)=eq\f(n+1,2),eq\f(1,anan+1)=eq\f(4,n+1n+2)=4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n+1)-\f(1,n+2))),所求的前n项和为4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-\f(1,3)+\f(1,3)-\f(1,4)+…+\f(1,n+1)-\f(1,n+2)))=4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-\f(1,n+2)))=eq\f(2n,n+2). 答案eq\f(2n,n+2)15.解析a3=a2-a1,a4=a3-a2,a5=a4-a3,a6=a5-a4,a7=a6-a5,…,∴a1=a7,a2=a8,a3=a9,a4=a10,a5=a11,…,{an}是以6为周期的数列,且有a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,S800=a1+a2=2013,S813=a1+a2+a3=2000,a3=-13,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1-a2=13,,a1+a2=2013,))∴a2=1000,S2014=a1+a2+a3+a4=a2+a3=1000+(-13)=987.答案987立体几何(建议用时:40分钟)一、选择题1.如图为几何体的三视图,根据三视图可以判断这个几何体为().A.圆锥 B.三棱锥C.三棱柱 D.三棱台2.关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是().A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥αD.若a⊥α,a∥β,则α⊥β3.已知两条直线a,b与两个平面α,β,b⊥α,则下列命题中正确的是().①若a∥α,则a⊥b;②若a⊥b,则a∥α;③若b⊥β,则α∥β;④若α⊥β,则b∥β.A.①③ B.②④C.①④ D.②③4.已知α,β,γ是三个不同的平面,α∩γ=m,β∩γ=n,则().A.若m⊥n,α⊥β B.若α⊥β,则m⊥nC.若m∥n,则α∥β D.若α∥β,则m∥n5.如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的表面积为().A.15+3eq\r(3) B.9eq\r(3)C.30+6eq\r(3) D.18eq\r(3)6.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是().A.1440 B.1200C.960 D.7207.如图所示是一个几何体的三视图,其侧视图是一个边长为a的等边三角形,俯视图是两个正三角形拼成的菱形,则该几何体的体积为(). A.a3 B.eq\f(a3,2)C.eq\f(a3,3) D.eq\f(a3,4)8.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是().A.l⊂α,m⊂β,且l⊥m B.l⊂α,m⊂β,n⊂β且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m D.l⊂α,l∥m,且m⊥β9.一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形,则该机器零件的体积为().A.8+eq\f(π,3) B.8+eq\f(
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