2017年高考常考考点小题练习VIP

19/19常考考点，小题练习不等式(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a＞b＞0，则()．A．a2c＞b2c(c∈R) B.eq\f(b,a)＞1C．lg(a－b)＞0 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b2．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于(A.eq\f(5,2) B.eq\f(7,2)C.eq\f(15,4) D.eq\f(15,2)3．“x＞y＞0”是“eq\f(x,y)＞1”的()．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．若实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2≥0，,x－y－1≤0，,x－2y＋2≥0，))则x＋y的最大值为()．A．4 B．5C．6 D．75．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝(eq\f(1,2))lnx，c＝elnx，则a，b，c的大小关系是()．A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞b＞c D．b＞a＞c6．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是()．A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2\r(3),3)7．若存在x使不等式eq\f(x－m,ex)＞eq\r(x)成立，则实数m的取值范围为()．A．(－∞，－eq\f(1,e)) B．(－eq\f(1,e)，e)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)8．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,3x－y－3≤0))上的一个动点，则|AM|的最小值是()．A.eq\f(3\r(5),5) B.eq\r(2)C.eq\r(5) D.eq\r(13)9．已知不等式eq\f(x＋2,x＋1)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A(a，b)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)的最小值为()．A．4eq\r(2) B．8C．9 D．1210．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，x＞0，,－x2＋4x，x≤0，))若|f(x)|≥ax－1恒成立，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，－6] B．[－6,0]C．(－∞，－1] D．[－1,0]二、填空题11．不等式eq\f(x＋5,x－12)≥2的解集是__________．12．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．13．已知实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,3x－y－3≤0，))且目标函数z＝kx＋y的最大值为11，则实数k＝________.14．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc＞0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是________．15．已知O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)为平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x≥\f(1,2)，,y≥x))上的一个动点，则eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的最大值是__________．参考答案一、选择题1．解析取a＝2，b＝1，c＝0验证可得D正确．答案D2．解析由题意知x1，x2为方程x2－2ax－8a2∴x1＋x2＝2a，x1·x2＝－8a2，∴|x2－x1|＝eq\r(x2＋x12－4x1x2)＝eq\r(4a2＋32a2)＝15.又a＞0，解得a＝eq\f(5,2). 答案A3．解析eq\f(x,y)＞1⇔(x－y)y＞0，由x＞y＞0，得(x－y)＞0，y＞0，所以x＞y＞0⇒eq\f(x,y)＞1，具有充分性．由eq\f(x,y)＞1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞y，,y＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜y，,y＜0，))所以eq\f(x,y)＞1⇒/x＞y＞0，不具有必要性，故选A.答案A4．解析画出可行域(如图)，目标函数向上平移至点A时，取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0,x－2y＋2＝0))得A(4,3)，∴(x＋y)max＝4＋3＝7. 答案D5．解析∵x∈(e－1,1)，∴－1＜lnx＜0,1＜(eq\f(1,2))lnx＜2，eq\f(1,e)＜elnx＜1，∴b＞c＞a. 答案B6．解析对于x2＋3xy－1＝0可得y＝eq\f(1,3)(eq\f(1,x)－x)，∴x＋y＝eq\f(2x,3)＋eq\f(1,3x)≥2eq\r(\f(2,9))＝eq\f(2\r(2),3)(当且仅当eq\f(2x,3)＝eq\f(1,3x)，即x＝eq\f(\r(2),2)时等号成立)． 答案B7．解析依题意得，关于x的不等式eq\f(x－m,ex)＞eq\r(x)，即－m＞exeq\r(x)－x有解．记f(x)＝exeq\r(x)－x(x≥0)，则f′(x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(x))))－1≥ex×2eq\r(\r(x)×\f(1,2\r(x)))－1＝eq\r(2)ex－1＞eq\r(2)－1＞0(x＞0)，因此函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(x)的最小值是f(0)＝0，于是有－m＞0，m＜0，实数m的取值范围是(－∞，0)． 答案C8．解析依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，|AM|的最小值等于点A(－1,1)到直线2x＋y－2＝0的距离，即等于eq\f(|2×－1＋1－2|,\r(22＋12))＝eq\f(3\r(5),5).答案A9．解析易知不等式eq\f(x＋2,x＋1)＜0的解集为(－2，－1)，所以a＝－2，b＝－1,2m＋n＝1，eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝(2m＋n)(eq\f(2,m)＋eq\f(1,n))＝5＋eq\f(2m,n)＋eq\f(2n,m)≥5＋4＝9(当且仅当m＝n＝eq\f(1,3)时取等号)，所以eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)的最小值为9. 答案C10．解析在同一直角坐标系下作出y＝|f(x)|和y＝ax－1的图象如图所示，由图象可知当y＝ax－1与y＝x2－4x相切时符合题意，由x2－4x＝ax－1有且只有一负根，则Δ＝0且eq\f(a＋4,2)<0，得a＝－6，绕点(0，－1)逆时针旋转，转到水平位置时都符合题意，所以a∈[－6,0]．答案B二、填空题11．解析∵(x－1)2≥0且x≠1，∴eq\f(x＋5,x－12)≥2⇔x＋5≥2(x－1)2且x≠1⇔2x2－5x－3≤0且x≠1，解得－eq\f(1,2)≤x＜1或1＜x≤3. 答案[－eq\f(1,2)，1)∪(1,3]12．解析x2＋y2＋xy＝1⇔(x＋y)2－xy＝1⇔(x＋y)2－1＝xy≤(eq\f(x＋y,2))2，解得eq\f(－2\r(3),3)≤x＋y≤eq\f(2\r(3),3). 答案eq\f(2\r(3),3)13．解析画图后易知，目标函数在点(2,3)处取到最大值11，所以2k＋3＝11，即k＝4.答案414．解析依题意得，题中的圆心坐标是(0,1)，于是有b＋c＝1，eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)＝(eq\f(4,b)＋eq\f(1,c))(b＋c)＝5＋eq\f(4c,b)＋eq\f(b,c)≥5＋2eq\r(\f(4c,b)×\f(b,c))＝9，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝1bc＞0，,\f(4c,b)＝\f(b,c)，))即b＝2c＝eq\f(2,3)时取等号，因此eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是9.答案915．解析eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝2x＋y，如图：当直线2x＋y＝z经过点(1,1)时，达到最大值，zmax＝3. 答案3三角函数与三角恒等变换(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知cos(eq\f(π,2)＋α)＝eq\f(3,5)，且α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，则tanα＝()．A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．±eq\f(3,4)2．已知α是第四象限的角，若cosα＝eq\f(3,5)，则tan2α＝()．A.eq\f(15,7) B.eq\f(16,7)C.eq\f(20,7) D.eq\f(24,7)3．已知sin2α＝eq\f(1,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()．A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)4．函数f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x图象的一条对称轴方程是()．A．x＝－eq\f(π,12) B．x＝eq\f(π,3)C．x＝eq\f(5π,12) D．x＝eq\f(2π,3)5．将函数f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(6),2)cos2x的图象向右平移eq\f(π,4)个单位得到函数g(x)的图象，则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝()．A.eq\f(\r(6),2) B．－1C.eq\r(2) D．26．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)<φ＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()．A．2，－eq\f(π,3) B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6) D．4，eq\f(π,3)7．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的最小正周期为π，若其图象向右平移eq\f(π,3)个单位后关于y轴对称，则()．A．ω＝2，φ＝eq\f(π,3) B．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)C．ω＝4，φ＝eq\f(π,6) D．ω＝2，φ＝－eq\f(π,6)8．已知函数f(x)＝Asinωx(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且f(eq\f(1,6))＝1，则函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(1,3)个单位后所得图象的函数解析式为()．A．y＝2sin(πx＋eq\f(π,3)) B．y＝eq\f(1,2)sin(πx－eq\f(π,3))C．y＝2sin(πx＋eq\f(1,3)) D．y＝eq\f(1,2)sin(πx－eq\f(1,3))9．设函数f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))，且其图象关于直线x＝0对称，则()．A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在(0，eq\f(π,2))上为增函数B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在(0，eq\f(π,2))上为减函数C．y＝f(x)的最小正周期为eq\f(π,2)，且在(0，eq\f(π,4))上为增函数D．y＝f(x)的最小正周期为eq\f(π,2)，且在(0，eq\f(π,4))上为减函数10．关于函数f(x)＝2(sinx－cosx)cosx的四个结论：P1：最大值为eq\r(2)；P2：把函数f(x)＝eq\r(2)sin(2x)－1的图象向右平移eq\f(π,4)个单位后可得到函数f(x)＝2(sinx－cosx)cosx的图象；P3：单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(7π,8)，kπ＋\f(11π,8)))(k∈Z)；P4：图象的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)π＋\f(π,8)，－1))(k∈Z)．其中正确的结论有()．A．1个 B．2个C．3个 D．4个二、填空题11．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝________.12．已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，2α∈[0,2π)，则tanα＝________.13．函数y＝tanωx(ω＞0)与直线y＝a相交于A，B两点，且|AB|最小值为π，则函数f(x)＝eq\r(3)sinωx－cosωx的单调增区间是__________．14．已知eq\f(1－cos2α,sinαcosα)＝1，tan(β－α)＝－eq\f(1,3)，则tan(β－2α)＝________.15．设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω＞0，－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2))的图象关于直线x＝eq\f(2π,3)对称，它的周期是π，则下列说法正确的是______．(填序号)①f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))；②f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(2π,3)))上是减函数；③f(x)的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))；④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y＝3sinωx的图象．参考答案一、选择题1．解析因为cos(eq\f(π,2)＋α)＝eq\f(3,5)，所以sinα＝－eq\f(3,5)，显然α在第三象限，所以cosα＝－eq\f(4,5)，故tanα＝eq\f(3,4). 答案B2．解析由cosα＝eq\f(3,5)，α在第四象限得tanα＝－eq\f(4,3)，从而tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×－\f(4,3),1－－\f(4,3)2)＝eq\f(24,7).答案D3．解析∵cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2))),2)＝eq\f(1＋sin2α,2)，∴cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(2,3). 答案D4．解析f(x)＝2(eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，由2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z，令k＝1，得x＝eq\f(2π,3). 答案D5．解析由于f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(6),2)cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，其图象向右平移eq\f(π,4)个单位后得到g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,3)))的图象，∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,4)))＋\f(π,3)))＝eq\r(2)sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(6),2). 答案A6．解析由图知eq\f(3,4)T＝eq\f(5π,12)－(－eq\f(π,3))＝eq\f(3π,4)，T＝π，则ω＝eq\f(2π,T)＝2.注意到函数f(x)在x＝eq\f(5π,12)时取到最大值，则有2×eq\f(5π,12)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，而－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2)，故φ＝－eq\f(π,3). 答案A7．解析由eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2，因为将f(x)的图象向右平移eq\f(π,3)个单位后得g(x)＝sin(2x－eq\f(2π,3)＋φ)的图象，又g(x)为偶函数，所以－eq\f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，(k∈Z)，又|φ|＜eq\f(π,2)，取k＝－1，得φ＝eq\f(π,6).答案B8．解析由最小正周期为2，得eq\f(2π,ω)＝2，则ω＝π，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))＝1，所以Asineq\f(π,6)＝1，A＝2，所以f(x)＝2sinπx，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(1,3)个单位后得到y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,3)))的图象． 答案A9．解析f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)＋φ))，∵图象关于x＝0对称，∴eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，φ＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)，又∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，f(x)＝2cos2x.其最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减． 答案B10．解析因为f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－1.所以最大值为eq\r(2)－1，故P1错误．将f(x)＝eq\r(2)sin2x－1的图象向右平移eq\f(π,4)个单位后得到f(x)＝eq\r(2)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))－1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))－1的图象，故P2错误．由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f(3π,8)＋kπ，k∈Z，即增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋kπ，\f(3π,8)＋kπ))(k∈Z)，故P3正确．由2x－eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)，k∈Z，所以函数的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,8)，－1))，k∈Z，故P4正确． 答案B二、填空题11．解析由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)得sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝eq\f(1,4)，即cos(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(1,4)，∴cos(eq\f(π,3)＋2α)＝cos[2(eq\f(π,6)＋α)]＝2cos2(eq\f(π,6)＋α)－1＝2×(eq\f(1,4))2－1＝－eq\f(7,8). 答案－eq\f(7,8)12．解析由三角函数定义可知sin2α＝eq\f(\r(3),2)，cos2α＝－eq\f(1,2)，∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\r(3).又2α∈[0,2π)，∴2α＝eq\f(2π,3)，∴α＝eq\f(π,3)，∴tanα＝eq\r(3). 答案eq\r(3)13．解析由函数y＝tanωx(ω＞0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))).由2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．答案[2kπ－eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)14．解析由eq\f(1－cos2α,sinαcosα)＝eq\f(2sin2α,sinαcosα)＝2tanα＝1，得tanα＝eq\f(1,2)，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝eq\f(tanβ－α－tanα,1＋tanβ－αtanα)＝eq\f(－\f(1,3)－\f(1,2),1－\f(1,6))＝eq\f(－\f(5,6),\f(5,6))＝－1. 答案－115．解析∵周期为π，∴eq\f(2π,ω)＝π⇒ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝1或－1，∵φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴eq\f(4π,3)＋φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，\f(11,6)π))，∴eq\f(4π,3)＋φ＝eq\f(3π,2)⇒φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).①：令x＝0⇒f(x)＝eq\f(3,2)，正确．②：令2kπ＋eq\f(π,2)＜2x＋eq\f(π,6)＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z⇒kπ＋eq\f(π,6)＜x＜kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.令k＝0⇒eq\f(π,6)＜x＜eq\f(2π,3)，即f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2,3)π))上单调递减，而在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))上单调递增，错误．③：令x＝eq\f(5π,12)⇒f(x)＝3sinπ＝0，正确．④：应平移eq\f(π,12)个单位，错误．答案①③平面向量与解三角形(建议用时：40分钟)一、选择题1．在平面直角坐标系xOy中，点A(1,3)，B(－2，k)，若向量eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，则实数k＝ ()．A．4 B．3C．2 D．12．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，c＝(1，－2)，若向量λa＋b与c共线，则实数λ的值为()．A．－2 B．－eq\f(1,3)C．－1 D．－eq\f(2,3)3.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝()．A.eq\o(OH,\s\up6(→)) B.eq\o(OG,\s\up6(→))C.eq\o(EO,\s\up6(→)) D.eq\o(FO,\s\up6(→))4．在平面四边形ABCD中，满足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD是()．A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形5．在△ABC中，若a＝2b，面积记作S，则下列结论中一定成立的是()．A．B＞30°B．A＝2BC．c＜bD．S≤b26．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则mA．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．[－3,3)7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)，则角B等于()．A．90° B．60°C．45° D．30°8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()．A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)9．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△AOC的面积为()．A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,10) D.eq\f(6,5)10．已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是()．A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．1二、填空题11．若向量m＝(1,2)，n＝(x,1)满足m⊥n，则|n|＝__________.12．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则BC的长为________．13．在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，则角C的大小为________．14.在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝________.15．给出以下结论：①在三角形ABC中，若a＝5，b＝8，C＝60°，则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝20；②已知正方形ABCD的边长为1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)；③已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，则A，B，D三点共线．其中正确结论的序号为__________．参考答案一、选择题1．解析因为A(1,3)，B(－2，k)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，k－3)，因为eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以－3＋3k－9＝0，解得k＝4. 答案A2．解析由题知λa＋b＝(λ＋2,2λ)，又λa＋b与c共线，∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1. 答案C3.解析以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x，y轴建系，假设一个方格长为单位长，则F(0,0)，O(3,2)，P(5,0)，Q(4,6)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(1,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(3,2)，而恰好eq\o(FO,\s\up6(→))＝(3,2)，故eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→)). 答案D4．解析因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD是平行四边形，又(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．答案C5．解析由三角形的面积公式知S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)2b·bsinC＝b2sinC，因为0＜sinC≤1，所以b2sinC≤b2，即S≤b2. 答案D6．解析由题意可知向量a与b为基底，所以不共线，eq\f(m,1)≠eq\f(2m－3,3)，得m≠－3.答案B7．解析由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，即sin(B＋A)＝sinCsinC，因为sin(B＋A)＝sinC，所以sinC＝1，C＝90°，根据三角形面积公式和余弦定理得，S＝eq\f(1,2)bcsinA，b2＋c2－a2＝2bccosA，代入已知得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,4)·2bccosA，所以tanA＝1，A＝45°，因此B＝45°. 答案C8．解析由2S＝(a＋b)2－c2，得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×eq\f(1,2)absinC＝a2＋b2＋2ab－c2，所以absinC－2ab＝a2＋b2－c2，又cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(absinC－2ab,2ab)＝eq\f(sinC,2)－1，所以cosC＋1＝eq\f(sinC,2)，即2cos2eq\f(C,2)＝sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)，所以taneq\f(C,2)＝2，即tanC＝eq\f(2tan\f(C,2),1－tan2\f(C,2))＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3). 答案C9．解析依题意得，(3eq\o(OA,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→)))2＝(－4eq\o(OB,\s\up6(→)))2,9eq\o(OA,\s\up6(→))2＋25eq\o(OC,\s\up6(→))2＋30eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝16eq\o(OB,\s\up6(→))2，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－eq\f(3,5)，sin∠AOC＝eq\r(1－cos2∠AOC)＝eq\f(4,5)，△AOC的面积为eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|sin∠AOC＝eq\f(2,5). 答案A10．解析∵a与b的夹角为60°，且b为单位向量，∴a·b＝eq\f(|a|,2)，|ta－b|＝eq\r(ta－b2)＝eq\r(|a|2t2－|a|t＋1)＝eq\r(|a|2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2|a|)))2＋\f(3,4))≥eq\f(\r(3),2). 答案C二、填空题11．解析∵m⊥n，∴m·n＝0，即x＋2＝0，∴x＝－2，∴|n|＝eq\r(－22＋12)＝eq\r(5). 答案eq\r(5)12．解析S＝eq\f(1,2)×AB·ACsin60°＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝eq\r(3). 答案eq\r(3)13．解析依题意得acosA＝bcosB，sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，又△ABC是不等边三角形，因此A＋B＝eq\f(π,2)，C＝eq\f(π,2).答案eq\f(π,2)14.解析因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))2＝1. 答案115．解析对于①，Beq\o(C,\s\up6(→))·Ceq\o(A,\s\up6(→))＝abcos(π－C)＝－abcosC＝－20；对于②，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|2eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)；对于③，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋5b，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，则A，B，D三点共线．综上可得，②③正确．答案②③数列(建议用时：40分钟)一、选择题1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4等于()．A．8 B．7C．6 D．52．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝()．A．4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n B．4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1C．4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n D．4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－13．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为()．A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3C．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1,2n－3，n≥2)) D．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1,2n＋3，n≥2))4．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a8＝()．A．8 B．9C．10 D．115．在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a6的值是()．A．±eq\r(2) B．－eq\r(2)C.eq\r(2) D．±26．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝2，则a1＝()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．27．设数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5A.eq\f(15,2) B.eq\f(31,4)C.eq\f(33,4) D.eq\f(17,2)8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数nA．6 B．7C．12 D．139．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2aeq\o\al(2,7)＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11等于()．A．1 B．2C．4 D．810．已知函数f(x)＝(1－3m)x＋10(m为常数)，若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{anA．39400 B．－39400C．78800 D．－78800二、填空题11．等差数列{an}中，若a1＋a2＝2，a5＋a6＝4，则a9＋a10＝__________.12．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项的和为Sn，则eq\f(S4,a3)的值为________．13．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋eq\f(1,a)，n＝a＋eq\f(1,b)，则m＋n的最小值是________．14．已知数列{an}满足an＝eq\f(1＋2＋3＋…＋n,n)，则数列{eq\f(1,anan＋1)}的前n项和为__________．15．整数数列{an}满足an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，若此数列的前800项的和是2013，前813项的和是2000，则其前2014项的和为________．参考答案一、选择题1．解析由题意，eq\f(7a1＋a7,2)＝eq\f(7×2a4,2)＝35，所以a4＝5.答案D2．解析由题意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a1＝4，a2＝6，所以an＝4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,4)))n－1＝4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1.答案B3．解析当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3.由于当n＝1时，a1的值不适合n≥2的解析式，故选C.答案C4．解析设an＝a1＋(n－1)d，依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋9d＝13，,7a1＋21d＝35，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝1，))所以a8＝9. 答案B5．解析依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a8＝3＞0，,a4a8＝2＞0，))因此a4＞0，a8＞0，a6＝eq\r(a4a8)＝eq\r(2). 答案C6．解析因为等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝2，所以由等比数列的性质得aeq\o\al(2,6)＝2aeq\o\al(2,5)，∴a6＝eq\r(2)a5，公比q＝eq\f(a6,a5)＝eq\r(2)，a1＝eq\f(a2,q)＝eq\r(2). 答案C7．解析设此数列的公比为q(q＞0)，由已知a2a4＝1，得aeq\o\al(2,3)＝1，所以a3＝1.由S3＝7，知a3＋eq\f(a3,q)＋eq\f(a3,q2)＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝eq\f(1,2)，进而a1＝4，所以S5＝eq\f(4[1－\f(1,2)5],1－\f(1,2))＝eq\f(31,4).答案B8．解析∵a1＞0，a6a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，∴S12＞0，S13＜0，∴满足Sn＞0的最大自然数n的值为12.9．解析设等差数列的公差为d，由a4－2aeq\o\al(2,7)＋3a8＝0，得a7－3d－2aeq\o\al(2,7)＋3(a7＋d)＝0，从而有a7＝2或a7＝0(a7＝b7，而{bn}是等比数列，故舍去)，设{bn}的公比为q，则b7＝a7＝2，∴b2b8b11＝eq\f(b7,q5)·b7q·b7q4＝(b7)3＝23＝8. 答案D10．解析∵a1＝f(1)＝(1－3m)＋10＝2，∴m＝3，∴an＝f(n)＝－8n＋10，∴S100＝－8(1＋2…＋100)＋10×100＝－8×eq\f(101×100,2)＋10×100＝－39400. 答案B二、填空题11．解析根据等差数列的性质，a5－a1＝a9－a5＝4d，a6－a2＝a10－a6＝4d，∴(a5＋a6)－(a1＋a2)＝8d，而a1＋a2＝2，a5＋a6＝4，∴8d＝2，a9＋a10＝a5＋a6＋8d＝4＋2＝6. 答案612．解析∵S4＝eq\f(a11－q4,1－q)，a3＝a1q2，∴eq\f(S4,a3)＝eq\f(15,4). 答案eq\f(15,4)13．解析由已知正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋eq\f(1,a)，n＝a＋eq\f(1,b)，∴m＋n＝(a＋b)＋(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥2eq\r(ab)＋eq\f(2,\r(ab))＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故m＋n的最小值为5. 答案514．解析an＝eq\f(1＋2＋3＋…＋n,n)＝eq\f(n＋1,2)，eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(4,n＋1n＋2)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))，所求的前n项和为4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(2n,n＋2). 答案eq\f(2n,n＋2)15．解析a3＝a2－a1，a4＝a3－a2，a5＝a4－a3，a6＝a5－a4，a7＝a6－a5，…，∴a1＝a7，a2＝a8，a3＝a9，a4＝a10，a5＝a11，…，{an}是以6为周期的数列，且有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，S800＝a1＋a2＝2013，S813＝a1＋a2＋a3＝2000，a3＝－13，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1－a2＝13，,a1＋a2＝2013，))∴a2＝1000，S2014＝a1＋a2＋a3＋a4＝a2＋a3＝1000＋(－13)＝987.答案987立体几何(建议用时：40分钟)一、选择题1．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()．A．圆锥 B．三棱锥C．三棱柱 D．三棱台2．关于直线a，b，l及平面α，β，下列命题中正确的是()．A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β3．已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③ B．②④C．①④ D．②③4．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则()．A．若m⊥n，α⊥β B．若α⊥β，则m⊥nC．若m∥n，则α∥β D．若α∥β，则m∥n5.如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为()．A．15＋3eq\r(3) B．9eq\r(3)C．30＋6eq\r(3) D．18eq\r(3)6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()．A．1440 B．1200C．960 D．7207．如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为()． A．a3 B.eq\f(a3,2)C.eq\f(a3,3) D.eq\f(a3,4)8．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()．A．l⊂α，m⊂β，且l⊥m B．l⊂α，m⊂β，n⊂β且l⊥m，l⊥nC．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥m D．l⊂α，l∥m，且m⊥β9．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为()．A．8＋eq\f(π,3) B．8＋eq\f(