【教学课件】环节一 双曲线及其标准方程

双曲线环节一双曲线及其标准方程引入新课椭圆的学习路径椭圆的现实背景与几何情境椭圆的几何特征与概念椭圆的标准方程椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）应用引入新课思考我们知道，平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹是椭圆．平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？为了研究这个问题，我们先来探究一下．问题1在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果，两圆不相交，不存在交点轨迹．在的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆的交点M的轨迹是什么形状？探究新知问题1在的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆的交点M的轨迹是什么形状？探究新知答案：在的条件下，点P在线段AB外运动时，当点M靠近定点时，；当点M靠近定点时，．总之，点M与两个定点距离的差的绝对值是一个常数().这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支．探究新知双曲线的定义

平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．探究新知双曲线的定义追问1

若将定义中的“绝对值”去掉，动点的轨迹会发生什么变化？答案：动点的轨迹是双曲线的一支．

平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．探究新知双曲线的定义追问2

平面内到两个定点的距离之差的绝对值为非零常数(等于)的点的轨迹是什么？答案：动点在线段的延长线和反向延长线上，其轨迹是两条射线．

平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．xyOF2F1探究新知双曲线的定义追问3

平面内到两个定点的距离之差的绝对值为非零常数(大于)的点的轨迹是什么？答案：动点的轨迹不存在．

平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．探究新知双曲线的定义追问4

平面内到两个定点的距离之差为零的点的轨迹是什么？答案：动点轨迹为线段的垂直平分线．

平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．探究新知问题2回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？

答案：根据椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系明确椭圆上的点满足的几何条件将几何条件转化为代数表示列出方程化简方程检验方程探究新知问题2追问1

如何建立适当的平面直角坐标系？答案：根据双曲线具有对称性，类比椭圆，建立以点F1和F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴的平面直角坐标系Oxy．

回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？探究新知问题2追问2

双曲线上的点满足什么条件呢？你能用集合语言表示出来吗？答案：根据双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合.回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？探究新知问题2追问3

上面集合中的等式，如何用坐标表示？回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？根据两点间距离公式，得所以答案：设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么焦点的坐标分别是．探究新知问题2追问4

如何化简上述方程？答案：将上式绝对值去掉，变形为.①

类比椭圆标准方程的化简过程，将①式移项，然后左右同时平方得化简得回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？探究新知问题2两边同除以

，得类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中，代入上式，得②探究新知问题2②从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标(x，y)都是上述方程②的解，反过来，以上述方程②的解为坐标的点(x，y)与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程．它表示焦点在x轴，焦点分别是的双曲线，这里．探究新知问题2追问5

类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？答案：以的中垂线为x轴，所在直线为y轴建系．类比椭圆，我们可得焦点在y轴上的双曲线的标准方程：

其中．

回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？探究新知问题2回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？追问6

从焦点位置和方程中x，y与a，b的对应位置两方面，比较和你发现了什么？答案：若项的系数是正数，则双曲线的焦点在x轴上；若项的系数是正数，则双曲线的焦点在y轴上．探究新知问题2回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？追问7

双曲线中a一定比b大吗？还能通过比较分母大小判断焦点在哪一条坐标轴上吗？答案：对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小判断焦点在哪一条坐标轴上．知识应用例1设双曲线的两个焦点分别为F1(5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2距离差的绝对值等于6，求双曲线标准方程．解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，由2c=10，2a=6，得c=5，a=3．因此，．所以，双曲线的标准方程为．

知识应用例2已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合．设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，则，即．知识应用例2已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声