大学毕业论文--求异面直线距离的几种方法

学士学位论文求异面直线距离的几种方法学士学位论文BACHELORSTHESIS学士学位论文BACHELORSTHESIS引言求异面直线之间的距离是中学数学中的重要概念之一，也是空间距离问题的难点，弄清异面直线距离的有关概念和性质是求异面直线距离的前提。求异面直线之间的距离在中学数学中没有具体讲解，所以本论文利用定义法（直接法），转化法，极值法，射影法，公式法，平移法，垂面法，向量法及行列式法和实际例题来解决关于求异面直线之间的距离问题。求异面直线间的是中学数学的一个难点，难就难在不知怎样找异面直线的公垂线段，也不会将所求的问题进行转化。解答此类问题，主要的方法有将两条异面直线的距离转化为直线与平面的距离，或转化为平面与平面的距离，或转化为一元二次函数的最值问题，或转化为用等体积的方法等来求解。特点：即不平行也不相交，两直线永远不可能在同一平面内。定义和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分叫做异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离。性质1任意两条异面直线有且只有一条公垂线。性质2两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连接两条异面直线上两点线段中最短的长度下面我将求两条异面直线的距离的几种方法作一归纳总结。1.定义法（直接法）定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线段，然后求出公垂线段长即异面直线之间的距离。E-D例1：如图所示，边长均为a的两个正方形ABCD和CDEF成120°的二面角。求异面直线CD与AE间的距离。E-D解：如图中，四边形ABCD^CDEF是正方形得,CD_AD=cd_平面aedCD_DE过点D作D^AE,垂足为H又CD平面AED，得CD_DH又因为DH—AE得DH是CD与AE的公垂线（异面直线AE

与CD间的距离）在占ADE中，NADE=120,AD=AEa,DH_AE1 1 a得DH=AD=DE=2 2即异面直线CD与AE的距离为-;22.转化法转化法将两条异面直线的距离转化为直线与平面距离或转化为平面与平面的距离求解。2.1转化为线面距离法线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，因此直线与平面的距离即为所求异面直线的距离。例2.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求异面直线BD与ECP'Br之间的距离。P'Br解：连接CD,DB和BD因为BD//BD，得BD//平面BDC而BC平面BDC从而BD与BC的距离就是BD与平面BDC的距离为h;用体积法，Vb-BBC"VD-BBC1VB_BBC=3hS：BDC1 1 1 11 1Vb_bbc■hS：BDC=—.DC—BB.BC a2a—a3b_bbc 3 3 2 32 6因为BC=BD'丄DC=；』2，所以BDC是等边三角形_V32即S.bdc二牙a

从而1h「3a?=1a3得h3a;2 6 32.2转化为面面距离法面面距离法就是所求异面直线的距离转化为求分别过两条异面直线的两个平行的平面间的距离。例3.如图所示，正方体ABCD-ABCD•的棱长为1,求异面直线BD与BC的距离。解：如图，分别连接AB,AD,DC,BD；AC因为BD//BD,AB//BCDB,BC平面DBC,AB,BD平面ABD得平面BDC〃平面ABD且对角线AC•为两个平面的公垂线，由体积法可以得出A到平面ABD的距离等于C•到平面晶BDC的距离为一3因为AC鼻S：AB2AD2AA1 1L</3从而ABD与BDC平面的距离等于-AC'-「3 3,3 3 3两平面间的距离就是BD与BC之间的的距离，丿3即BD与BC之间的的距离为—；33.极值法极值法就是把两条异面直线间的距离表示成某一个变量的函数， 从而通过求函数的最小值来求异面直线间的距离。

例4,如图，棱长为4的正三棱柱ABC—ABC•中，D是AB的中的，求CD与AC间的距离。解：AC'在上任取一点M作MN丄AC垂足为N,则MN丄平面ABC即CD与AC•间的距离为4^；4.射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条异面直线，那么点和直线两条平行线的距离就是这两条异面直线射影间的距离。例5.如图在正方体ABCD-ABCD•中，AB=1,M,N分别是棱AB,CC•的中点，E是BD的中点，求异面直线DM,EN间的距离。解：把异面直线DM,EN的射影到同一平面内，两射影间的距离就是所求异面直线之间的距离。取BC的中点Q,连接EQ,EN因为E,Q是中点，得EQ//DC,EQ_BC,DC_平面BCC

得EQ_平面BCC'又因为EQ_QN得，EN的射影为QN。再取DC•的中点F,同理，MF是DM的射影，MF//BC得BC■是DM的射影。从而QM,BC是EN和DM在平面BCCB上的射影。QN与BC•间的距离就是两条异面直线的距离1因为Q是BC的中点，得QC二QB二2

又NCBQ=45°设QN与BC的距离为h，从而2h2=BQ2=丄得h=辺，即异面直线DM,EN间的距离为即异面直线DM,EN间的距离为.245.公式法求异面直线之间的距离，我们还可以用下面两个公式来求。公式1如图⑴，三棱锥A-BCD中，若AB和CD所成的角为二，三棱锥A-BCD的体积为Va_bcd，则异面直线AB与CD间的距离6VA-BCDABCDsiD公式2 .已知面积，--?,二面角：.-a-■的平面角为,如图（2）,直线b与平面分别交与A,E到棱a的距离为n,m,则异面直线a与b之间的距离, mnsinOd= ——,m2n22mncost例6.如图，已知正方体ABCD—ABCD•，其边长为a,P是BC•的中点,求AC与BP间的距离解：（公式1）设异面直线AC与BP所成的角为-取AD的中点N,连接AN因为P是BC的中点，得BP//AN，贝U.ACD二二很容易解能求出sy欝AC二2a,BP二112Vp」Bk3a__2a6VP丄BC=25 310 3ad二ACBPsin£ :-V5 --v2a——a■''~210即AC与PB之间的距离为2a；3（用公式2）解：设B到AC的距离为mP到AC的距离为n.2a,n二设二面角P-AC-B的平面角为二C用面积的射影公式得COST-13因为sin$—cos?v-1得sin，二亘3TOC\o"1-5"\h\z、2 3、2 23mnsinvm2mnsinvm2n?2mncos^2 2 3292门2 32 1一a打一a-2a a8 2 4 3即AC与PB之间的距离为2a；36.平移法找出一条直线，使两条直线都垂直，但这条直线不是公垂线，这时把这条直线设法平移到这两异面直线相交然后求出这两异面直线的公垂线。例7.已知正方体ABCD-ABCD；其边长为a,求AC与AD间的距离解：如图，由正方体的性质B»_AD,BD_AC,BD与AC交与0在DBD冲，将BD•平移到ON处，连接AN，可知N为DD的中点设AN与AD交点为Q,将DN平移到PQ,可知，PQ是设AN与AD交点为Q,将DN平移到PQ,可知，PQ是AC与AD的垂线由平面几何知识，~AQ=2则"AQ二—on//pqQN1AN3PQ_AQ得MNAN则PQ二3

a23PQ.3即AC和AD间的距离为上3a3C'7.垂面法若两条直线是异面直线，过其中一条做平面，使这条直线与平面垂直，在平面内，过这条直线垂足点作另一条直线的垂线，垂足和前一个垂足的连线就是公垂线。例8.ABCD-ABCD，其边长为1求BD与AC之间的距离解：连接AC，AC与BD交与P点解：连接AC，AC与BD交与P点AA_BDAC_BDBD_平面AAC又PQ_AC,所以PQ为BD与AC的公垂线AC..;3RMAAC中，沁AXACp因为AAC..;3RMAAC中，沁AXACpRtPQC中,PQSinZQC^PC，则PQ"nZQCPPC•、6即BD与AC之间的距离为——68.向量法向量法又叫做法向量投影法，一般步骤是:

⑴建立空间直角坐标系，求异面直线a,b的方向向量a,b在求出a,b的法向量n（向量n均与向量a,b垂直）⑵分别在直线a,b上各取一点A,B，求做向量ABABn求向量ABn求向量ab在法向量n上的投影d= 「|例9,如图，已知正方形ABCD—ABCD•，其棱长为1,求异面直线AD与AC之间的距离。解：建立空间直角坐标系D-xyz设n=x,y,z是过直线DA且平行于AC的平面的法向量因为n-AD,所以n竺n_AAnAA因为n-AD,所以n竺n_AAnAA=0又DA二1,0,1,AC；：=[—1,1,0xz=0 z=—x所以 即-xy=0 y=x4令x=1得，n=：i1,1,—1因为A在AD上且AA=0,0,1AAn所以d_1_2_3=茁T即AD与AC之间的距离为与-A3xB3yC3Z—0A4xB4yC4zD4=0异面的充分必要条件是M=AAA3AB1B2与-A3xB3yC3Z—0A4xB4yC4zD4=0异面的充分必要条件是M=AAA3AB1B2B3B4GC2C3C4D1D2D3D4定理2.异面直线:AxByGzD^i=0h:A2XB2yC2zD2=0l2:A3xB3yC3zD^0得距离为,A^xB4yC4zD4=0M其中,ni,n3,n4n2-n2,g,n°nd=A1A2A3A4B1B2B3B4C1C2C3C4D1D2D3D4,(i72,3,4)fx—y—z亠2=0例10.已知两直线方程为h：2x-Jz"0与'2:x_2yz=02y4z「5=0证明它们是异面直线.⑵解：⑴求出它们之间的距离.由两直线异面的充要条件可知,这两直线的一般方程的条数构成四阶_1-12_314—21024_5T5=(1,-1,行列式M==-25⑵由已知方程,-1），1210=0n2=（2， -3， 1），n3= （1， -2， 1），9•行列式法-0定理1两直线i1：!Ax+B1y+GZ+D1=-0Ax+B2y+C2Z+D2n4=(1， -1， -1)，T T T1-1-1TTT2-315， n3，n4)=1-21=-8，（n2，n3，n4)=1-21024024(ni, n3,TTTn4)n2-(n2,Tn3,TTn4)ni=-8■(2,-3,1)+6■(1,-6-1,-1)=(-10,18,-14)mm,n阳-Hmm='-10IT82亠［14 =2155由定理2中的公式得，两条异面直线的距离为|-25d一2.155总结异面直线间的距离是立体几何的核心概念，位于知识网络的交汇处和思想方法的结合部，是立体几何的学习的难点。求异面直线的距离不仅考察空间想象力逻辑思维能力。综上可知，求异面直线间的距离要如下三种意识；定义意识，转化意识和函数意识，同时要注意向量方法和坐标法在解题中的重要作用参考文献［1］ 王成岩（牡丹江教育学院黑龙江 牡丹江157005）［文章编号］1009-2323（2001）04-068-03［2］ 薛金星主编 中学教学解题方法与技巧（上旬）北京教育出版社2011.3出版［M］（62-63）［3］ 同济大学数学系编 高等数学（第五版）上册 高等教育出版社2002［4］ 单壿著编中学数学研究上海教育出版社2012年第4期［M］ （37-39）⑸数理化解题研究2012年（15-17）⑹朱洪亮编数理化学习（高中版）天津科学技术出版社 2012年第6期［M］（2-4）［7］ 杨天林编中学生数理化（高中版）南京大学出版社 2