著名院校结构动力学课件PPT185

结构力学第十章结结构动力学学结构动力学10.1概述10.2体系振动的自自由度10.3单自由度体系系运动方程的的建立10.4单自由度体系系的自由振动动10.5单自由度体系系的强迫振动动10.6多自由度体系系的自由振动动10.7主振型的正交交性10.8多自由度体系系的强迫振动动结构动力学§10.1概述1.1动荷载及其分分类一.动荷载的定义义大小、方向和和作用点随时时间变化;在其作用下，，结构上的惯惯性力与外荷比不可可忽视的荷载载。自重、缓慢变变化的荷载，，其惯性力与与外荷比很小小，分析时仍仍视作静荷载。静静荷只与作作用位置有关关，而动荷是坐标和和时间的函数数。二.动荷载的分类类动荷载确定不确定风荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载周期非周期简谐荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其他确定规律的动荷载概述概述概述概率与统计概述结构动力反应应概述1.2结构动动力学学的研研究内内容和和任务务结构动动力学学是研研究动动荷作作用下下结构构动力力反应应规律律的学学科。。输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第一类类问题题：反应分分析（（结构构动力力计算算）第二类类问题题：参数（（或称称系统统）识识别输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第三类类问题题：荷载识识别。输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）当前结结构动动力学学的研研究内内容为为:一.结构动动力学学的研研究内内容概述输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第一类问题：反应分析（结构动力计算）第二类问题：参数（或称系统）识别输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第三类问题：荷载识别。输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第四类类问题题：控制问问题输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）-----正问题题-----反问题题-----反问题题-----控制问问题结构动动力学学§10.2体系振振动的的自由由度一.自由度度的定定义确定体体系中中所有有质量量位置置所需需的独独立坐坐标数数，称称作体体系的的动力力自由由度数数。二.自由度度的简简化实际结结构都都是无无限自自由度度体系系，这这不仅仅导致致分析析困难难，而而且从从工程程角度也也没必必要。。常用用简化化方法法有：：1)集中质质量法法将实际际结构构的质质量看看成（（按一一定规规则）集中中在某些些几何何点上上，除除这些些点之之外物物体是无质量的的。这这样就就将无无限自自由度度系统统变成成一有限限自由度度系统统。概述概述确定体体系中中所有有质量量位置置所需需的独独立坐坐标数数，称称作体体系的的动力力自由由度数数。概述振动自自由度度数不一定定等于于集中质质量数数概述集中质质量法法自自由度度判定定方法增增加加刚性性约束束限制制质量量全部部运动动（对对于复复杂体体系））自由度度数=增加约约束数数42概述2)广义坐坐标法——用含参参数的的位移移函数数约束束位移移形态态---广义坐标---基函数广义坐坐标个个数即即为自由由度个个数基函数数三角函函数或或指数数函数数概述质体刚刚化减减少自自由度度——广义坐坐标法法的特特例适用条条件体体系系质量量所在在部位位刚度度相对对很大大质体刚刚化后后无无限限自由由度有限自自由度度弹性地地基上上设备备基础础，基基础刚刚度视视作无无穷大大概述3)有限元元法和静力力问题题一样样，可可通过过将实实际结结构离散化化为有有限个个单元元的集集合，，将无无限自自由度问题题化为为有限限自由由度来来解决决。结点位位移个个数即即为自由由度个个数自由度度为1的体系系称作作单自自由度度体系系；自由度度大于于1的体系系称作作多（（有限限）自自由度度体系系;自由度度无限限多的的体系系为无无限自自由度度体系系。注意区区分体系振动自由度6不计杆轴向变形时结构动动力学学§10.3单自由由度体体系运运动方方程的的建立立要了解解和掌掌握结结构动动力反反应的的规律律，必必须首首先建建立描描述结结构运运动的的（微微分））方程程。建建立运运动方方程的的方法法很多多，常常用的的有虚虚功法法、变变分法法等。。下面面介绍绍建立立在达达朗泊泊尔原原理基基础上上的““动静静法””。动静法法达达朗朗伯原原理质点的的达朗朗伯原原理叙叙述为为∶在在质点点运动动的任任一瞬瞬时，，作用用于质质点上上的主主动力力、约约束反反力和和虚拟拟的惯惯性力力组成成平衡衡力系系。F+N+Q=0哈密顿顿原理理能能量量泛函函变分分建建立运运动方方程刚度法力系平衡角度柔度法位移协调角度虚功法适宜于刚体系单自由由度体体系运运动方方程的的建立立10-3-1刚度法法——由隔离离体动动力平平衡条条件建立质质体运运动方方程（1）动力力荷载载FP(t)（2）弹性性恢复复力FS=-ky（3）阻尼力

(等效粘滞阻尼)（4）惯性力(达朗伯原理)动力平平衡方方程为为FI+FD+FS+FP(t)=0运动方程

二阶常常系数数线性性微分分方程程。单自由由度体体系运运动方方程的的建立立运动一一般方方程应应用注注意点点（1）一般方程

注意点点（1）所有力力均是是作用用在质质量上上，且且沿质质量运运动自自由度度的方方向动力荷荷载未未作用用在质质量上上时怎么办办？化为等等效动动荷载载或或用柔柔度法法单自由由度体体系运运动方方程的的建立立结论图图（c）质量量位移移与图图（a）相同同，杆杆件变变形及及内力力与图图（a）不同同单自由由度体体系运运动方方程的的建立立运动一一般方方程应应用注注意点点（2）一般方程

注意点点（2）质量量的位位移y是指由由静平平衡位位置起起算的的动位位移。。常量力力仅使使体系系产生生静位位移和和静内内力，，对体体系的的动位位移和和动内内力无无影响响。单自由由度体体系运运动方方程的的建立立单自由由度体体系运运动方方程的的建立立单自由由度体体系运运动方方程的的建立立10-3-2柔度法法——按照位位移协协调原原理导导出体体系的的运动动方程程y(t)=δ[FI+FD+FP(t)]代入上式注意：：动动荷载载不作作用在在质体体上时时相应的的柔度度系数数应该该为δ1212单自由由度体体系运运动方方程的的建立立B截面的的转角角是由动动力荷荷载FP(t)和惯性性力矩矩MI共同引引起的的。注注意到到FP(t)并非沿沿转角角方向作作用于于质量量上，，可将将表示为为运动方方程与刚度度法结结果相相同单自由由度体体系运运动方方程的的建立立10-3-3虚功法法——由动平平衡位位置的的虚功功方程程得运运动方方程适宜用用于刚刚体系系构构件刚刚体唯唯一变变形虚虚功为为零例10-3试用虚虚功法法建立立图10-18a所示体体系的的运动动方程程。设设横杆杆为无无限刚刚性且且质量量可忽忽略，，横杆杆上有有两处处各为为m的集中中质量量。B支座为为弹性性支承承，其其刚度度系数数为k；横杆F端装有阻尼器器，阻尼系数数为c。单自由度体系系虚功方程运动方程尝试用刚度法写出运动方程程？结构动力学§10.4单自由度体系系的自由振动动单自由度体系系运动一般方程程自由振动FP(t)=00振动起因质体初位移y0或初速度v0单自由度体系系的自由振动动重要性反映体系动力力特性——影响强迫振动动的动力响应应类型无阻尼自由振振动有阻阻尼自由振动动单自由度体系系的自由振动动10-4-1无阻尼自由振振动FP(t)=0=0运动方程令常系数齐次线线性微分方程程y(t)=C1cosωt+C2sinωt方程通解初始条件v(t)=y(t)=-ωC1sinωt+ωC2cosωt速度位移响应动位移构成由变化频率相相同的两部分分组成：y0引起的，并以y0为幅值按余弦规律的振动v0引起，并以

为幅值按正弦规律的振动相位差为单自由度体系系的自由振动动无阻尼自由振振动的y-t曲线动位移表达式式或表达为振幅初始相位角角速度为ω单自由度体系系的自由振动动无阻尼自由振振动的计算公公式动位移自振周期单位s振动频率（工程频率））单位s-1Hz自振频率（圆频率）W=mgΔst=Wδ结论（1）自振频率率为体系固有有属性与与激振因素无无关称固固有频率（2）刚度k愈大或质量m愈小自自振频率愈高高刚度k愈小或质量m愈大自自振频率愈愈低单自由度体系系的自由振动动体系特点单自由度弹弹簧串联联（受力力相同，变形形相加）串联弹簧刚度度柔度单自由度体系系的自由振动动单自由度体系系的自由振动动体系特点单自由度弹弹簧并联联（变形相同同，受力相加加）并联弹簧刚度度柔度单自由度体系系的自由振动动体系特点?单自由度超超静定采用方法?刚度法k比δ易求得如何求k?结合应用弯矩矩分配法单自由度体系系的自由振动动10-4-2有阻尼自由振振动基本特点能量耗散振振幅渐小直直至零运动方程常系数齐次线线性方程特征方程特征根动位移解ξ<1即低阻尼的情情况ksi有阻尼自由振振动的圆频率率引入初始条件件或单自由度体系系的自由振动动或主要特点（1）y含简谐振动因子ωdTd为常数振幅

随时间按指数规律减小衰减振动（2）一般结构构0.01<ξ<0.1，（3）对数递减率在经过n次波动后有实验应用！单自由度体系系的自由振动动常系数齐次线线性方程特征根运动方程即临界阻尼的情况临界阻尼系数数（ξ=1）阻尼比单自由度体系系的自由振动动常系数齐次线线性方程特征根运动方程过阻尼特征方程的根根是两个负实实数不含有简谐振振动的因子不发生振动单自由度体系系的自由振动动解：结构动力学§10.5单自由度体系系的强迫振动动结构动力学目目的研究强迫振动动的规律强迫振动方程程特点非齐次线性微微分方程通解齐次方程的通通解+非齐次方程的的特解（即自由振动动解）强迫振动分类类无阻尼或有阻尼或单自由度体体系的强迫迫振动10-5-1无阻尼强迫迫振动1.简谐荷载设特解为通解C1和C2可由初始条条件确定全解简谐荷载作作用下的动动力系数μ运动方程稳稳态解yst——动力荷载幅幅值F作为静力荷荷载作用于于体系时所所引起的静静位移动力系数μ取决于

的值μ取绝对值单自由度体体系的强迫迫振动简谐荷载作作用下无阻阻尼稳态振振动的特点点（1）振动频率率同荷载频频率速度、加速速度及内力力同时达到到幅值当θ<ωμ>0y与干扰力同同向当θ>ωμ<0y与干扰力反反向（2）θ《ωμ1相当于静力力作用（2）θ》ωμ0动位移趋于于零θωμ∞发生共振（3）时(共振前区)增大ω可减少振幅刚性方案柔性方案时(共振后区)减小ω可减少振幅单自由度体体系的强迫迫振动工程中应避免单自由度体体系的强迫迫振动解：简支支梁的自振振频率简谐荷载的的频率动力系数取绝对值强度满足刚度满足单自由度体系系的强迫振动动例10-8相关概念的讨讨论1、加大梁的截截面尺寸是是否一定能能减小应力和和挠度？不是！=60.73/44.89>1处于共振后区区设取128b工字梁I=7480cm4>4570cm4W=534cm3>381cm3则导致梁的最大大应力和挠度度都远超过允允许值动力系数过大大也容易引发发钢梁的疲劳破坏2、θ>ωθ由零加大经θ=ω时是否会引起起梁的破坏？？一般不会！只要θ加速较快共振现象的形形成有一个能能量积聚过程程单自由度体系系的强迫振动动特点动荷荷载未作用于于质体上对策需另另建立运动方方程（不能能套用一般方方程）方法采用用柔度法（1）求质体的动动位移幅值运动方程只需将视作动力荷载当时单自由度体系系的强迫振动动（2）求A支座处截面动动转角幅值按叠加原理表表示为总结：单自由由度体系强迫迫振动当动力力荷载不作用用在质量上时时μ≠μθ不能采用统一一的动力系数数单自由度体系系的强迫振动动对于一般的周周期荷载FP(t)，总可以按傅立立叶级数展开开为单自由度体系系的强迫振动动一般动力荷载载作用下的动力力响应基本思路视为一系列瞬瞬时冲量连续续作用下相应应的总和杜哈梅(Duhamel)积分全解单自由度体系系的强迫振动动(1)突加荷载——应用杜哈梅积积分式中以其静平衡位位置为中心做做简谐振动后果：绳子断断了！单自由度体系系的强迫振动动(2)突加短时荷载载第一阶段(0≤t≤t1)：与突加荷载载相同第二阶段(t≥t1)：质量是以t=t1时刻的位移和和速度为初位位移和初速度度作自由振动动或按照叠加原理理：看作是突加加荷载FP0和t=t1时刻开始作用用的反向突加加荷载-FP0当时ymax在第一阶段当时ymax在第二阶段单自由度体系系的强迫振动动(3)三角形冲击荷荷载——应用杜哈梅积积分作用时间较短短，荷载值较较大或单自由度体系系的强迫振动动位移响应谱速度响应谱和和加速度响应应谱单自由度体系系的强迫振动动支承动力作用用下的位移响响应地震作用起伏道路对车车辆作用设备基础受振振动特点:质量m的总总位移移为yg(t)+y(t)。绝对位移支承位移相对位移惯性力弹性恢复力和和阻尼力仍是是由其相对位位移和相对速速度决定的运动方程：支承运动对于体系的动力作用就相当于在质量上施加一动力荷载单自由度体系系的强迫振动动解：运动方程程：稳态振动总位移体系自振频率率质体位移动力力系数μ梁自由端的振振幅单自由度体系系的强迫振动动结构柔ω《θμ的绝对值将远远小于1质量的振幅远远小于支座运运动的振幅应用隔振措施汽车弹簧/地铁弹簧工作台底脚弹弹簧结构的内力动力系数μ’特点与μ不相同μ’取决于相对位位移质量m的相对位移与与支座位移的的方向相反，，其幅值放大大为支座位移移幅值的1.39倍单自由度体系系的强迫振动动10-5-2有阻尼强迫振振动运动方程或通解是由相应应齐次方程的的通解与非齐齐次方程的特特解之和构成成特解则仍可表表示为杜哈梅梅积分的形式式设仅由初速度v0所引起的有阻阻尼振动可表表示为在时刻的瞬时冲量所引起的微分位移响应为单自由度体系系的强迫振动动初位移y0和初速度v0总位移响应为为齐次解（自由振动））特解阻尼存在上式中由初始始条件所引起起的自由振动动部分将随时时间很快地衰衰减乃至消失失一般冲击荷载载因作用时间间短，所以结结构在很短的的时间内即达达到最大响应应。此时阻尼尼引起的能量量耗散作用不不明显，所以以在计算最大大响应值时可可以忽略阻尼尼的影响。单自由度体系系的强迫振动动突加荷载作用用下有阻尼位位移响应杜哈梅积分位移响应质量m的动位移是由由荷载引起的的静位移和以以静平衡位置置为中心的含含有简谐因子子的衰减振动动两部分组成成当动位移达到最大值动力系数单自由度体系系的强迫振动动简谐荷载作用用下有阻尼位位移响应运动方程特解为一般解C1和C2可由初始条件件确定因阻尼作用而而衰减稳态响应稳态响应其中动力系数结论：动力力系数μ不仅与频率比比θ/ω有关，而且还还与阻尼比ξ有关单自由度体系系的强迫振动动简谐荷载作用用下有阻尼稳稳态响应的主主要特点动力系数(1)μ随阻尼比ξ的增大而迅速速减小值趋近1时，μ峰值因阻

尼作用的下降最为显著（2）时(3)有阻尼时质量量的动位移比比动力荷载滞滞后一个相位位角单自由度体系系的强迫振动动简谐荷载作用用下有阻尼稳稳态响应的相相位角稳态响应当（θ《ω）y(t)和Fp(t)趋于同向体系因振动速速度慢，惯性性力和阻尼力力均不明显动力荷载主要要由恢复力平平衡，与静力力作用时的情情况相似当（θ》ω）y(t)和Fp(t)趋于反向由式(10-45)可知μ→0体系的动位移移趋向于零动力荷载主要要由惯性力平平衡，体系的动内内力趋向于零零当即（θ≈ω）动位移惯性力与恢复复力平衡动力荷载与阻阻尼力平衡结构动力学§10.6多自由度体系系的自由振动动因结构特征必必须简化为多多自由度体系系多层房屋不等高排架为满足计算精精度要求需简简化为多自由由度体系烟囱高耸构筑物建立运动方程程的基本方法柔度法按照位移协调调原理刚度法按照质体平衡衡条件多自由度体系系的自由振动动10-6-1柔度法基本思路质体动位移由由两惯性力引引起δij为体系的柔度度系数设特解两质量的位移移虽随时间变变化，但二者之间的的比值即位移移模态保持不不变振型特解代入运动动方程关于振幅A1和A2的齐次线性代代数方程组振型方程或特特征向量方程程多自由度体系系的自由振动动非零解条件频率方程或特特征方程小基频大第二频率其对应的振型型称为第一振振型或基本振振型多自由度体系系的自由振动动柔度法多自由由度体系振型型分析振型方程自振频率小大振型分析方法将ω1、ω2带入振型方程程特点方程组线性相相关只能求得振幅比值第一振型多自由度体系系的自由振动动质量m1、m2的振动方程分分别为一个特解第二振型质量m1、m2的振动方程分分别为另一个特解多自由度体系系的自由振动动振动方程方程通解——特解的线性组组合未知常数A11、A12（或A21、A22）和α1、α2的确定两质量的初位位移和初速度度共四个初始始条件确定振动特性(1)自振频率=自由度数(2)自振频率振振型——体系固有的动动力特性，与与外界因素无无关(3)振动是两种频频率下简谐振振动的叠加其其和非简谐谐振动（一般般情况）只有在质量的的初位移和初初速度与某个个主振型相一一致的前提下下，体系才会会按该主振型型作简谐振动动多自由度体系系的自由振动动例10-11图10-40a所示体系有集集中质量m1＝m、m2＝2m，试求其自振振频率和振型型。解体系具有两个个振动自由度度柔度系数代入式（10-48），得振型方方程为乘令可得频率方程程多自由度体系系的自由振动动展开，得自振频率求振型多自由度体系系的自由振动动例10-12试求图10-42a所示集中质量量对称布置的的对称刚架的的自振频率和和振型。解该体系是超静静定的，两个个集中质量可可分别沿垂直直于杆件方向向运动。柔度系数振型方程其中频率方程多自由度体系系的自由振动动自振频率代入振型方程程求振型结论（1）结构质质量对称振型必对称或或反对称（2）可取半边边结构计算振振动频率WHY？较低频率下的的振型对应体体系的应变能能相对较小多自由度体系系的自由振动动例.求图示体系的的频率、振型型解:令例.求图示体系的频率、振型解:令例.求图示体系的频率、振型解:令多自由度体系系的自由振动动一般多自由度度体系(柔度法)基本原理与解决两个自自由度体系自自由振动问题题相同运动方程δij为柔度系数多自由度体系系的自由振动动矩阵形式表达达或δ和M分别为体系的的柔度矩阵和和质量矩阵设方程（10-53）特解解形式式为多自由由度体体系的的自由由振动动振型方方程或写为为一组齐齐次线线性代代数方方程，，其取取得非非零解解的必必要和和充分分条件件是系系数行行列式式等于于零频率方方程（特征征方程程）或写为为关于1/ω2的n次代数数方程程。由由此可可解得得n个正实实根，，并进进而求求得n个自振振频率率多自由由度体体系的的自由由振动动全部自自振频频率ω1，ω2，…，ωn应按照照由小小到大大的顺顺序排排列，，称为为频率谱谱或频率向向量。其中中最小小的频频率称称为为第一频频率或基本频频率。振型方方程特点：：线性相相关仅n-1个独立立方程程得各质质量动动位移移（振振幅））之间间的一一组比比值主振型型向量量（振型型向量量）令A1i=1标准化化主振振型另一种标准化的做法是规定主振型满足条件多自由由度体体系的的自由由振动动方程特特解方程通通解n个特解解的线线性组组合——一般不不再是是简谐谐振动动多自由由度体体系的的自由由振动动例10-13图10-46a所示简简支梁梁的等等分点点上有有三个个相同同的集集中质质量m，试求求体系系的自自振频频率和和振型型。解该体系系有三三个振振动自自由度度。柔度矩矩阵质量矩矩阵振型方方程其中频率方方程自振频频率多自由由度体体系的的自由由振动动例10-13图10-46a所示简简支梁梁的等等分点点上有有三个个相同同的集集中质质量m，试求求体系系的自自振频频率和和振型型。振型方方程其中同理振型图对称对称反对称称对于较较低频频率所所对应应的振振动模模态，，体系系的应应变能能相对对较小小多自由由度体体系的的自由由振动动【例】试求图示结构的自振频率及主振型。各杆EI为常数，弹性支座的刚度系数。解(1)计算柔度系系数δij应考虑虑弹性性支座座变形形对位位移的的影响响。图多自由由度体体系的的自由由振动动图图(1)计算柔度系系数δij多自由由度体体系的的自由由振动动(2)求自振振频率ωi将m1=m2=m及已求求得的δij代入(3)求主振型ρi多自由由度体体系的的自由由振动动(4)作振型型曲线线第一主振型

第二主振型多自由由度体体系的的自由由振动动【例12-24】试求图图示等等截面面梁的的自振振频率率和主主振型型。质质量m1=m2=m＝1000kg。E＝200GPa，I＝2×104cm4，l=4m。

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图解:(1)求柔度系系数δij多自由由度体体系的的自由由振动动(2)求自振振频率ωi多自由由度体体系的的自由由振动动(3)求主振型ρi第一主振型第二主振型(4)作振型型曲线线第一主振型（反对称）第二主振型（对称）

多自由由度体体系的的自由由振动动如果结结构和和质量量布置置都是是对称称的，，体系系的振振型必必定是是对称称或反反对称称的,可以利利用对对称性性，取取半边边结构构计算算体系系的第第一频频率,第二频频率。。这这样，，就将将两个个自由由度体体系的的计算算问题题，简简化为为按两两个单单自由由度体体系分分别进进行计计算。。反对称半边结构对称半边结构第一主振型（反对称)

第二主振型（对称）多自由由度体体系的的自由由振动动【例】试计算算图示示刚架架的自自振频频率和和主振振型。。解：取集中中质量量m处竖向向位移移y和刚性性杆CD绕C点的转转角q作为独独立的的几何何位移移。由于本题是是由线线位移移和角角位移移耦合合组成成的振振动，，因此此，不不能简简单地地利用用前面面按柔柔度法法推出出的公公式计计算自自振频频率和和主振振型，，而应从考考虑结结构整整体平平衡，，建立立运动动方程程入手手。多自由由度体体系的的自由由振动动某一瞬瞬时t，刚架架上作作用的的惯性性力如如图所所示。。由分布布质量量所产产生的的惯性性力对对C点的合合力矩矩为(1)计算柔度系系数δij

图图惯性力多自由由度体体系的的自由由振动动建立运运动方方程:惯性力将及各柔度系数δij代入式(a)，经整理后，得(a)与运动动方程程对比比可知知：m1=m，多自由由度体体系的的自由由振动动(3)求自振振频率ωi(4)求主振型ρi多自由度体体系的自由由振动(5)作振型曲线线

第一主振型

第二主振型多自由度体体系的自由由振动【例】试求图示刚刚架的自振振频率和主主振型。已已知各杆EI＝常数。解：本刚架具有有三个自由由度(1)求柔度系数数

图

图

图多自由度体体系的自由由振动(2)求自振频率率体系的柔度度矩阵和质质量矩阵为为频率方程并解得故自振频率率为多自由度体体系的自由由振动(3)求主振型并并绘振型图图将li(i=1,2,3)分别代入振振型方程并令Y3i＝1，即可求得得各阶各振振型为:1)第一主振型型2)第二主振型型3)第三主振型型多自由度体体系的自由由振动主振型图第一主振型

第二主振型

第三主振型多自由度体体系的自由由振动【例】求图示刚架架的自振频频率和振型型。已知m1=m4=100kg，m2=m3=150kg，EI1=6MN··m2，EI2=3EI1。五个自由度的体系

正对称自由振动反对称自由振动多自由度体体系的自由由振动解：此刚架架具有五个个自由度。。利用对称称性，分解解为有两个个自由度的的正对称自自由振动和和有三个自自由度的反反对称自由由振动分别别进行计算算，其结果果列于下面面线框内。。从小到大重新排列正对称自由由振动反对称自由由振动多自由度体体系的自由由振动主振型型图第一主振型

第二主振型第三主振型

第四主振型第五主振型多自由度体体系的自由由振动10-6-2刚度法——根据隔离体体平衡条件件导出运动动方程FS1和FS2分别为体系系作用于质质量m1和m2上的弹性力力kij为体系的刚刚度系数根据达朗伯伯原理可列列出动力平平衡方程(惯性力+弹性力）多自由度体体系的自由由振动假设运动方程的特解解形式仍为为振型方程频率方程可求得体系系的自振频频率ω1和ω2。分别代入入振型方程程即可求得得相应的振振型，其结结果与采用用柔度法时时相同多自由度体体系的自由由振动例10-14试用刚度法法求图10-49a所示刚架的的自振频率率和振型。。设横梁为为无限刚性性，柱子的的线刚度如如图，体系系的质量全全部集中在在横梁上。。解该体系两横横梁处各有有一个水平平方向自由由度，其位位移分别记记为y1和y2刚度系数振型方程频率方程自振频率多自由度体体系的自由由振动振型方程多自由度体体系的自由由振动一般多自由由度体系的的刚度法运动方程多自由度体体系的自由由振动多自由度体体系刚度法法自振频率率运动方程（矩阵形式式）或特解形式代入方程消消去振型方程或频率方程自振频率主振型多自由度体体系的自由由振动多自由度体体系刚度阵阵K与柔度阵δ的关系将δ-1左乘比较K-δ关系特解形式(相同）振型方程频率方程自振频率(相同）由小到大排排列多自由度体体系的自由由振动例10-15试用刚度法法求图10-52a所示三层刚刚架的自振振频率和振振型。设横横梁为无限限刚性，体体系的质量量全部集中中在各横梁梁上，各层层间侧移刚刚度k1＝k2＝k3＝k。解：刚度矩阵质量矩阵振型方程频率方程多自由度体体系的自由由振动例10-15试用刚度法法求图10-52a所示三层刚刚架的自振振频率和振振型。设横横梁为无限限刚性，体体系的质量量全部集中中在各横梁梁上，各层层间侧移刚刚度k1＝k2＝k3＝k。多自由度体体系的自由由振动例10-15试用刚度法法求图10-52a所示三层刚刚架的自振振频率和振振型。设横横梁为无限限刚性，体体系的质量量全部集中中在各横梁梁上，各层层间侧移刚刚度k1＝k2＝k3＝k。【例】图示框架，，其横梁为为无限刚性性。设质量量集中在楼楼层上，试试计算其自自振频率和和主振型。。解：本例两两层框架为为两个自由由度体系，，用刚度法计算较为方方便。(1)求刚度系数数kij(2)求自振频率ωi将m1=2m和m2=m以及已求出出的kij代入所以由此得(3)求主振型（（振型常数ρi）第一主振型型第二主振型型(4)作振型曲线线，如图所所示。第一主振型

第二主振型

用柔度法可建立n个自由度体系的运动方程如下(1)写成矩阵形式——位移向量其中——加速度向量——柔度矩阵——质量矩阵单位矩阵运动方程(1)设，其中是振幅向量。则代入(1)，消除后，有即(2)振型方程因为，所以频率方程（或特征方程）频率方程是关于的n次代数方程，由此可求的n个的正实根，即为结构的n个自振频率，通常由小到大排列，称为频率谱。将求得的回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频率振动的形状是不变的，称之为振型。振型向量振型向量标准化方法一：令某自由度位移为1，例振型向量标准化方法二：令上述自振频频率和振型型的计算步步骤和方法法同样适用用于刚度法法。动力平衡方程振型方程频率方程多自由度体体系的自由由振动10-6-3多自由度体体系的弹性性耦合和惯惯性耦合弹性耦合柔度矩阵δ和刚度矩阵阵K其非对角元元素不等于于零或不全全为零其非对角矩矩阵弹性耦合某自由度方方向上的力力会引起其其它自由度度方向上的的位移；或者某自由由度方向上上的位移会会引起其它它自由度方方向上的弹弹性力对角矩阵阵不存在弹弹性耦合合运动方程程方程特点点不相耦联联相当于两两个独立立的自由由度问题题多自由度度体系的的自由振振动多自由度度体系的的惯性耦耦合（1）在集中质质量的体体系中，，M为对角矩矩阵，这这表明某某一自由由度方向向上的加加速度仅仅引起该该自由度度本身方方向上的的惯性力力惯性耦合某一自由度度方向上的的加速度会会引起其它它自由度方方向的惯性性力质量矩阵M的副元素不不全为零非非对角角矩阵两个自由度度惯性力+惯性力矩假设上述微微分方程的的特解为多自由度体体系的自由由振动振型方程自振频率有弹性耦合合；无惯惯性耦合多自由度体体系的自由由振动选择B点处的竖向向位移yB和转角θB作为位移坐坐标VS不变的：惯惯性力改变的：柔柔度系数注意到：多自由度体体系的自由由振动有弹性耦合合；有惯性性耦合结构动力学学§10.7主振型的正正交性相当于两个个不同的动动力平衡状状态功的互等定定理W1=W2因i振型惯性力力在j振型位移上上做的功j振型惯性力力在i振型位移上上做的功矩阵形式或第一正交性性（以质质量为权））主振型的正正交性主振型关于于刚度矩阵阵的正交性性第一正交性性振型方程频率ωj将左乘=0第二正交性性（以刚刚度为权））第一主振型型正交性的的物理意义义某一主振型型的惯性力不会在其它它主振型上上作功第二主振型型正交性的的物理意义义某一主振型型的弹性力不会在其它它主振型上上作功质体振动的的能量不会会从一种振振型转到另另一种振型型主振型的正正交性例10-16试验算例10-15所得主振型型的正交性性。验算第一正正交性结构动力学学§10.8多自由度体体系的受迫迫振动10-8-1简谐荷载作作用下的无无阻尼强迫迫振动柔度法受到若干个个同步的简简谐荷载F1sinθt，…，Fksinθt的作用，其其作用位置置任意位移方程δij为体系的柔柔度系数；；FIj为作用于各各质量上的的惯性力ΔiP表示简谐荷荷载的幅值值在质量mi处引起的静静位移多自由度体体系的受迫迫振动运动方程矩阵形式为简谐荷载幅值引起的静位移向量运动微分方方程的通解解：齐次方程的的通解+非齐次方程程的特解取特解的形形式为:位移幅值方方程多自由度体体系的受迫迫振动式中I为单位矩阵阵；A为振幅向量量注意：动荷荷载不一定定作用在质质量上解此方程即即可求得各各质体在纯纯受迫振动动中的动位位移幅值惯性力幅值值惯性力振动特点（1）θ=ωi→系数行列式式等于零→A→∞共振（2）质量的动动位移和惯惯性力与干干扰力同时时达到幅值值可同时作用用于体系上上，按照静静力方法计计算体系的的内力幅值值多自由度体体系的受迫迫振动位移幅值方方程或若以θ

2乘以上式各项并注意到惯性力幅值值方程多自由度体体系的受迫迫振动简谐荷载作作用下的无无阻尼强迫迫振动——刚度法在质量上作用有动力力荷载FP1(t)，FP2(t)，…，FPn(t)运动方程（质体平衡衡方程）当动力荷载载为同步简简谐荷载时时取特解的形形式为:多自由度体体系的受迫迫振动注意:当有简谐集集中荷载未未作用于质质量上时，，可假设该该处的质量量为零后再再套用上式式；当有简谐分分布荷载作作用时则需需先化为作作用于质量量处的等效效动力荷载载，或者是是采用柔度度法求解。。多自由度体体系的受迫迫振动解：柔度度系数易求求，且动力力荷载未作作用在质量量上惯性力幅值值方程（10-68a）惯性力幅值值动位移幅值值多自由度体体系的受迫迫振动惯性力幅值值动位移幅值值如何求动内内力？利用动内力力还是动位位移求?可以将惯性性力和动荷荷载幅值同同时作用多自由度体体系的受迫迫振动结构特点：：（1）超静定刚度法（2）竖向结构刚刚度突变刚度系数振幅方程静止5倍，动弯矩矩/剪力很大结论（1）刚度突变变顶层层动力响应应突增——应避免（2）鞭梢效应应明显——应采取措施施（3）小塔楼对二二层横梁有消消振作用——可利用多自由度体系系的受迫振动动例14-6图a为一等截面刚刚架，已知m1=1kN，m2=0.5kN，F=5kN，每分钟振动动300次，l=4m，EI=5×103kN·m2。试作刚架的的最大动力弯弯矩图。解：此对称刚刚架承受反对对称荷载，可可取图b所示半刚架计计算。三个自由度：：m1的水平位移m2的水平位移m3的竖向位移多自由度体系系的受迫振动动—m1的最大惯性力—m2沿水平、竖向最大惯性力则有(1)多自由度体系系的受迫振动动求系数和自由由项，作相应应弯矩图如图图c~f。由图乘法得多自由度体系系的受迫振动动集中质量的数数值为振动荷载的频频率为代入式(1)得解得由叠加法最大动力弯矩矩图如图g。多自由度体系系的受迫振动动多自由度体系系的受迫振动动10-8-2振型分解法运动方程柔度法刚度法特点方程互相耦联联原因δK（或M）非对角矩阵阵振型分解目的的使微分方程解解耦单自由度体系系振型分解方法法采用正则坐标标以主振型为基基底主振型矩阵权系数理论依据主振型关于质质量矩阵和刚刚度矩阵的正正交性多自由度体系系的受迫振动动正则坐标方程程——单自由度体系系运动方程刚度法建立有有阻尼强迫振振动方程（几几何坐标方程程）C称为阻尼矩阵阻尼系数雷利阻尼得到以正则坐坐标η表达的运动方方程多自由度体系系的受迫振动动用A(i)T左乘上式得同理：运动方程多自由度体系系的受迫振动动运动方程（（正则坐标））式中广义刚度广义动力荷载。广义粘滞阻尼系数广义质量这n个方程之间是是相互独立、、无耦联关系系的与单自由度方方程形式相同同！多自由度体系系的受迫振动动运动方程（（正则坐标））或写为式中方程特解（稳态解）式中无阻尼时几何坐标解多自由度体系系的受迫振动动的确定考虑到实验定出ξ1、ξ2a,bξ3、ξ4多自由度体系系的受迫振动动振型分解法求求动力响应的的步骤(1)求出体系的各各自振频率和和振型。当有有阻尼时先测测得ξ1和ξ2，再确定常数数a、b，再确定其它它各振型的阻阻尼比(2）计算各广广义质量和广广义荷载(3）求解以各正正则坐标表达达的振动微分分方程得η（t）(4）计算几何坐坐标y=Aη注意：由于这这一方法是基基于叠加原理理的，因而