高代高代一、分块矩阵概念

一、分块矩阵的概念定义设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块．用这种

方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵.每一个分块的方法叫做A一种分法.第四章矩阵4.5分块矩阵第四章矩阵4.5分块矩阵特殊分法按行分块

A1

A

2

,A

s

⁝

A

1

2

nj

a1

j

a

2

j

,按列分块

A

A

,

A

,,

A

，其中

A

anj

⁝

设矩阵A

(aij

)sn

,j

1,

2,,

n.i

2in其中

Ai

(ai1

,a

,,a

),i

1,

2,,

s.sr

sr

B

AA

B

AB1

r

B11s

1

s

1

A11

A1

r

,B

1、加法设A,B

是两个m

n

矩阵，对它们二、分块矩阵的运算srsrs

1

AA1

r

A11A

B

Bs

1

A

B

B11

B1

r

.用同样的分法分块:第四章矩阵4.5分块矩阵其中子块Aij与Bij

为同型矩阵，则第四章矩阵4.5分块矩阵2、数量乘法sr

A1r

.s1A

AA11A

A11A1r

A

s1sr

设分块矩阵A

,

P,

A则第四章矩阵4.5分块矩阵

st

s

1

t

1

trB1

r

A

B

A1

t

B11

A11A

,

A

B

,B

其中Ai1

,Ai

2

,

,Ait的列数分别等于B1

j

,B2

j

,

,Bij的行数,那末sr

CAB

C

C

Cs

11

r

11ti

1,

,

s;

j

1,

,

r

.

Aik

Bkjk

1其中C

ij3、乘法把矩阵A

(aik

)mn

,B

(bkj

)n

p

分块成第四章矩阵4.5分块矩阵122t

A11As1

AA21AA

s

2

.A

AAA

1tst

⁝22⁝

⁝

⁝

设分块矩阵A

A21s

2A12

A11

A

s1st

A

1t

A

A

A22 2t

,

A

则4、转置第四章矩阵4.5分块矩阵例1

设0

1

0

0

01

0

0,

1

2

1

1

1

0

1

A

0,010201

041

120

1

1

1B

1求AB.解把A,B分块成0

1

0 1

1

01A

0

E

,

E

10

4

1

1

201B

1

0

1

0

1

2

0

1

第四章矩阵4.5分块矩阵11BEB21

B22第四章矩阵4.5分块矩阵则

AB

.

A1

B22

A1B11

B21E

E

O

B11

E

A1

E

B21

B22

B11又A

B1

11

B210

1

0

2

1

1

1

2

1

1

1

14

1

30

2

4,

1

1221A

B2

41

21

30

3

0

2

1

1

1

13,1

于是A1

B22

A1B11

B21EB11AB

3

1

1

3

1

1

0

1

04

0

1

.

2

4

3

1第四章矩阵4.5分块矩阵例2

设

,A

0C

BD

其中A,B

分别为k

级和r

级可逆矩阵，C为r

k证明：D

可逆，并求其逆．证C

BD

A

0

A

B

0,第四章矩阵4.5分块矩阵∴D

可逆.设逆阵12,XXD1

X

11

X

21 22

第四章矩阵4.5分块矩阵

0

,A

0

C

BXX

X

011

X

12

Ek

21 22

Er

于是111121k即

AX

E

AX12

0

CX

BX

0

BX

22

ErB1

0

.

D1

B1CA1A11121X

A1

XX12

0

B1CA1X

22

0第四章矩阵4.5分块矩阵三、准对角矩阵2,As

A

A1A

OO形式如的分块矩阵，其中Ai

为ni

级方阵(i

1,2,,s),称为准对角矩阵.定义第四章矩阵4.5分块矩阵性质A

A

s

⋱OOA2

,

A1

B1

B2

,B

B

s

⋱OO(1)

设准对角矩阵A,B

级数相同，并且分法相同,则则s

A1

B1A2

B2A

B

A

B

S

⋱OOA

B2

2

A1B1AB

A

B

s

S

O⋱.OO可逆A2

A1(2)

准对角矩阵A

A

s

O⋱i

1,,s

Ai

0，i

1,,s

Ai可逆12A1

A1A1

第四章矩阵4.5分块矩阵A1

s

⋱且OO

5

0 0

01

例

3

A

0

3 1

，求A12解：1

1

5

,

5第四章矩阵4.5分块矩阵

03

1

5

0 0

A1

0

1

1

.2

311

1

1

2

13

2

第四章矩阵4.5分块矩阵附：一些特殊分块乘积①一般线性方程组AX

，A

1,2,,n

x11

xnn

.即n,,

1

2

x1

x

x

n

2

⁝

则有第四章矩阵4.5分块矩阵

(1A1,2A2

,,n

An)D

diag(1,2,,n)Amn

=

(

A1,

A2

,,

An

),②若21

2

nmn1

n

⋱

A

D

=(

A

,

A

,

A

)

O则O第四章矩阵4.5分块矩阵

A2

2

1A1.

A

m m

⁝

Amn

A1

A

2

,

A

m

D

diag(1,2,,m

),=

若2DAmn1

A1

2

A

m

m

⋱

⁝

则O

A

O第四章矩阵4.5分块矩阵若把矩阵B,C按行分块，则③设矩阵A

(aij

)nm

,B

(bij

)ms

,AB

C

(cij

)ns

,于是有21

22a1m

B1

C1

a11

a12

a

B

C

2

AB

2m

2

B

n2

n1

nm

m

n

aaaa

a

⁝

⁝

C

ai1

B1

ai

2

B2

aim

Bm

Ci

,

i

1,

2,,

n即C的行向量组可由B的行向量组线性表出.

R(C

)

R(B)第四章矩阵4.5分块矩阵若把矩阵A,C按列分块，则211

22

s1

2

ms

b11

b12

b22b1s

m1AB

A

,

A

,,

A

C

,C

,,C

bb

b

b

m

2bms

于是有b1

j

A1

b2

j

A2

bmj

Am

C

j

,

j

1,

2,,s即C的列向量组可由A的列向量组线性表出.

R(C

)

R(

A).第四章矩阵4.5分块矩阵例4

A、B为n级方阵，证明，若AB

0，则R(

A)

R(B)

n

.iB

为B

的列向量，证：AB

0,

AB1

,

B2

,,

Bn

0,

AB1

,

AB2

,,

ABn

0,

ABi

0,

i

1,

2,,

n,即B的每一列向量皆为齐次线性方程组

AX

0的解向量.第四章矩阵4.5分块矩阵

B1

,

B2

,

Bn

可由

AX

0

的基础解系线性表出，故

R{B1

,

B2

,

Bn

}

n

R(

A),即

R(B)