高数-bit7-2偏导数第二节

定义

设函数

z

f

(

x,

y)

在点(

x

,

y

)的某0

0一邻域内有定义，当y

固定在y0

而x

在x0

处有增

量

x

时，相应地函数有增量f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)，lim

f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)如果x0x存在，则称此极限为函数

z

f

(

x,

y)

在点(x0

,y0

)处对x的偏导数，记为一、偏导数的定义及其计算法(x0

,y0

)处对同理可定义函数 在点的偏导数，为yylim

f

(

x0

,

y0

y)

f

(

x0

,

y0

)y0记为y

x

x0zx

x0fyy

y0

，

y

y0

，00y

yx

xyz或f

y

(x0

,y0

)0yyz，0z

f

(

x,

y)fyy

，0

或fx

(x0

,y0

).z偏导数的实质：偏增量比的极限如果函数z

f

(

x,

y)在区域D

内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、

y

的函数，它就称为函数z

f

(

x,

y)对自变量x的偏导数，zf记作x

，x

，zx

或f

x

(x,y).同理可以定义函数

z

f

(

x,

y)

对自变量

y

的z

f偏导数，记作

y

，

y

，

z

或

f

(

x,

y).y

y偏导数的概念可以推广到二元以上函数如

u

f

(

x,

y,

z)

在

(

x,

y,

z)

处f

(

x,

y,

z)

lim

f

(

x

x,

y,

z)

f

(

x,

y,

z)

,x0xxf

(

x,

y,

z)

lim

f

(

x,

y

y,

z)

f

(

x,

y,

z)

,y0yyf

(

x,

y,

z)

lim

f

(

x,

y,

z

z)

f

(

x,

y,

z)

.z0zz例1求

z

x2

3xy

y2在点(1,2)处的偏导数．解z

x2

x

3

y

;yz

3

x

2

y

.

2

1

3

2

8

,zxzx1y2

3

1

2

2

7

.yx1y2例2设z

x

y

(x

0,x

1)，求证z

2zy

x

ln

x

yx

z

1.证z

yxy1

,x

x

y

ln

x,yzx

z

1

zy

x

ln

x

yx

yx

y1

1y

ln

x

y

x

y

2z.原结论成立．例3.

设解zx2

y2z

arcsinxzz,求x

,y

.x

xx

2

y2xx

2

y2

x

21

1(

x2

y2

)3y2x2

y2|

y

|2

.|

y

|2x

yy2(

|

y

|)yz

y

y2xx

2

y2

x

2x

21

1(

x2

y2

)3x2

y2(

xy)|

y

|

x

sgn

1x2

y2

y(

y

0)y

0y

x

0z不存在．例

4

已知理想气体的状态方程

pV

RT（

R为常数），求证：Vp

V

T

1T

p.证V

2V

Vp

RT

p

RT

;V

RT

V

R

;p

T

pT

pV

T

V

;Rp

Rp

V

T

RT

R

V

RT

1.V

T

pV

2Rp

pV有关偏导数的几点说明：u１、偏导数

x

是一个整体记号，不能拆分;２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；例如,

设z

f

(

x,

y)

xy

,求fx

(0,

0),

f

y

(0,

0).解xxf

(0,0)

limx0y|

x

0

|

0

0

f

(0,0).求f

(x,y)的偏导数.(

x,

y)

(0,0)(

x,

y)

(0,0)设f

(x,y)220xyx

y例5解当(x,y)

(0,0)时,(

x

2

y2

)2y(

x

2

y2

)

2

x

xyf

x

(

x,

y)

,y(

y2

x2

)(

x

2

y2

)2f

y

(

x,

y)

x(

x2

y2

)

2

y

xy

x(

x

2

y2

)(

x2

y2

)2

(

x2

y2

)2,当(x,

y)

(0,0)时,

按定义可知：xx0x0

0,f

(0,0)

lim

f

(x,0)

f

(0,0)

limx0

xyyy0f

(0,0)

lim

f

(0,

y)

f

(0,0)

lim

0

0,y0

y,(

x,

y)

(0,0)(

x,

y)

(0,0)

y(

y2

x2

)2

2

20

y

)

(

xf

(

x,

y)

x

x(

x2

y2

).(

x,

y)

(0,0)(

x,

y)

(0,0)2

2

20

y

)

(

xf

(

x,

y)

y３、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在例如,函数0,

x2

y2

0

,,

x2

y2

0f

(

x,

y)

22x

yxy依定义知在(0,0)处，

f

x

(0,0)

f

y

(0,0)

0.连续，22limx0y0x

yxy但函数在该点处并不连续.取y

kx2x2

k

2

xkx

2

limx0ykx1

k

2k其值随k

的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．偏导数存在

连续.4、偏导数的几何意义设

M0

(

x0

,

y0

,

f

(

x0

,

y0

))

为曲面z

f

(

x,

y)

上一点,如图偏导数fx

(x0

,y0

)就是曲面被平面y

y0所截得的曲线在点M0

处的切线M0Tx

对x轴的斜率.偏导数f

y

(x0

,y0

)就是曲面被平面x

x0所截得的曲线在点M0

处的切线M

0Ty

对y

轴的斜率.几何意义:,(yx),

z

2

z2

f

yy

(

x,

y)y

y

y

z

2

zf

xy

(

x,

y),

z

2

z

y

x

xy

xyx

f

(

x,

y)

y

yx

z

2

z函数z

f

(

x,

y)的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数设z

x3

y2

3xy3

xy

1

，例6

2

z求

x

2

、

yx

、

xy

、

y

2

2

z

2

z

2

z

3

z及x

3

.解xz

3x2

y2

3

y3

y,

z

2x3

y

9xy2

x;x

226xy

,

2

z

y

2

zy

23

2x

18xy;3x

3

z2

6

y

,

2

z2

2xy22

1,

yx

6x y

9

y

1.

2

z

6x y

9

y原始函数图形偏导函数图形偏导函数图形导二函阶数混图合形偏上例中原始函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：例7

设u

eax

cos

by，求二阶偏导数.x解u

aeaxcosby,yu

be

ax

sin

by;

a2eax

cosby,x2

2u

b2eax

cos

by,y2

2u

2u

abeax

sin

by,

abeax

sin

by.xy

yx

2u问题：混合偏导数都相等吗？(

x,

y)

(0,0)(

x,

y)

(0,0)220x

3

y

y例

8

设

f

(

x,

y)

x求f

(x,y)在原点的二阶混合偏导数.解当(x,y)

(0,0)时,(

x2

y2

)23

x2

y(

x

2

y2

)

2

x

x

3

yf

x

(

x,

y)

x

23

x2

y

2

x4

y2

x3

y2

y2

(

x2

y2

)2

,x3

y2

(

x2

y2

)2

,f

y

(

x,

y)

x2当(x,y)

(0,0)时,按定义可知：xxx0f

(0,0)

lim

f

(x,0)

f

(0,0)

lim

0

0,x0

xyyy0f

(0,0)

lim

f

(0,

y)

f

(0,0)

lim

0

0,y0

yy(0,0)

lim

f

x

(0,

y)

f

x

(0,0)

0,fy0xyx(0,0)

lim

f

y

(x,0)

f

y

(0,0)

1.fx0yx显然

f

xy

(0,0)

f

yx

(0,0).定理

如果函数

z

f

(

x,

y)

的两个二阶混合偏

2

z

2

z导数yx及xy在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．例9验证函数u(x,y)

lnx2

y2

满足拉普拉斯方程0.

2

u

2

u

x

2

y2问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解ln2x2

y2

1

ln(

x2

y2

),(

x2

y2

)2

y2x2,

u

xx

x2

y2

y

x2

y2,u

yy2(

x2

y2

)2

,(

x

2

y2

)2

.x

2

y2

2u

(

x2

y2

)

x

2

x

x2x2

(

x2

y2

)2

2

u

(

x

2

y2

)

y

2

y

y2

(

x2

y2

)2

2

u

2

u

y2

x2x

2

y

2

(

x

2

y2

)2

0.证毕．偏导数的定义（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义

纯偏导高阶偏导数

混合偏导（相等的条件）三、小结作业P69,1,P704，5，7，8若函数f

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)连续，能否断定f

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)的偏导数必定存在？思考题思考题解答不能.f

(

x,

y)

x2

y2

,在(0,0)处连续,但

f

x

(0,0)

f

y

(0,0)不存在.例如,y1、设z

ln

tan

x

,则

xz

练习题一、填空题:;z

.yx2、设z

e

xy

(x

y),则z

;z

y.3、设u

x

z

,则yxuyu

;

;u

z.y4、设z

arctan

x

,则2x

2

z2y

2

z

;

;

2

z

xy

.zx5、设u

(

)

,则y

zy

.

2

u二、求下列函数的偏导数:

1、z

(1

xy)y

；2、u

arctan(x

y)z

.三、曲线

y

24z

x

2,在点(2,4,5)处的切线与正向x

y

4轴所成的倾角是多少?四、设z

y

x

2

z

2

z

2

z,求x

2

,y

2

和xy

.五、设z

x

ln(

xy)

3

z

3

z,求

和

.x

2

y

xy

2六、验证:(

1

1

)x

yyzz,满足x

2

y

2

2z

；x

2

y

2

z

21、z

e2、r

x满足

2

r

2

r

2

r

z.rx

2

y

2

z

2七、设

x

2

arctan

y

y

2

arctan

x

,

xy

0f

(

x,

y)

x

y0,

xy

0求f

x

,f

xy

.y

y

yy

2一、1、2

csc

2

x

,

2

x

csc

2

x

；2、e

xy

(xy

y

2

1),e

xy

(xy

x

2

1)；3、1zyz,y

1x

zyz

2y

yx

z

ln