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文档简介
2022年高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为().A. B. C. D.2.将一块边长为的正方形薄铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图(2)放置,若其正视图为等腰直角三角形,且该容器的容积为,则的值为()A.6 B.8 C.10 D.123.已知点(m,8)在幂函数的图象上,设,则()A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b4.已知复数(为虚数单位),则下列说法正确的是()A.的虚部为 B.复数在复平面内对应的点位于第三象限C.的共轭复数 D.5.已知正三角形的边长为2,为边的中点,、分别为边、上的动点,并满足,则的取值范围是()A. B. C. D.6.在直角坐标系中,已知A(1,0),B(4,0),若直线x+my﹣1=0上存在点P,使得|PA|=2|PB|,则正实数m的最小值是()A. B.3 C. D.7.1777年,法国科学家蒲丰在宴请客人时,在地上铺了一张白纸,上面画着一条条等距离的平行线,而他给每个客人发许多等质量的,长度等于相邻两平行线距离的一半的针,让他们随意投放.事后,蒲丰对针落地的位置进行统计,发现共投针2212枚,与直线相交的有704枚.根据这次统计数据,若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针,则针落地后与直线相交的概率约为()A. B. C. D.8.若数列为等差数列,且满足,为数列的前项和,则()A. B. C. D.9.已知是函数图象上的一点,过作圆的两条切线,切点分别为,则的最小值为()A. B. C.0 D.10.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“——”.如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦至少有2个阳爻的概率是()A. B. C. D.11.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为176,320,则输出的a为()A.16 B.18 C.20 D.1512.若函数(其中,图象的一个对称中心为,,其相邻一条对称轴方程为,该对称轴处所对应的函数值为,为了得到的图象,则只要将的图象()A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在△ABC中,∠BAC=,AD为∠BAC的角平分线,且,若AB=2,则BC=_______.14.将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像,则函数在区间上的值域为__________.15.若随机变量的分布列如表所示,则______,______.-10116.已知数列的各项均为正数,满足,.,若是等比数列,数列的通项公式_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知中心在原点的椭圆的左焦点为,与轴正半轴交点为,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明:当时,直线过定点.18.(12分)在极坐标系中,直线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为(为参数),求直线与曲线的交点的直角坐标.19.(12分)已知椭圆:()的离心率为,且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于,两点,为坐标原点.(1)若直线过椭圆的上顶点,求的面积;(2)若,分别为椭圆的左、右顶点,直线,,的斜率分别为,,,求的值.20.(12分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,已知曲线,曲线(为参数),求曲线交点的直角坐标.21.(12分)在中,内角的边长分别为,且.(1)若,,求的值;(2)若,且的面积,求和的值.22.(10分)已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以,解得,所以二项式中奇数项的二项式系数和为.考点:二项式系数,二项式系数和.2.D【解析】
推导出,且,,,设中点为,则平面,由此能表示出该容器的体积,从而求出参数的值.【详解】解:如图(4),为该四棱锥的正视图,由图(3)可知,,且,由为等腰直角三角形可知,,设中点为,则平面,∴,∴,解得.故选:D【点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用,属于中档题.3.B【解析】
先利用幂函数的定义求出m的值,得到幂函数解析式为f(x)=x3,在R上单调递增,再利用幂函数f(x)的单调性,即可得到a,b,c的大小关系.【详解】由幂函数的定义可知,m﹣1=1,∴m=2,∴点(2,8)在幂函数f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴幂函数解析式为f(x)=x3,在R上单调递增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故选:B.【点睛】本题主要考查了幂函数的性质,以及利用函数的单调性比较函数值大小,属于中档题.4.D【解析】
利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.【详解】因为,,,所以的周期为4,故,故的虚部为2,A错误;在复平面内对应的点为,在第二象限,B错误;的共轭复数为,C错误;,D正确.故选:D.【点睛】本题考查复数的四则运算,涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识,是一道基础题.5.A【解析】
建立平面直角坐标系,求出直线,设出点,通过,找出与的关系.通过数量积的坐标表示,将表示成与的关系式,消元,转化成或的二次函数,利用二次函数的相关知识,求出其值域,即为的取值范围.【详解】以D为原点,BC所在直线为轴,AD所在直线为轴建系,设,则直线,设点,所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函数的图像知,,所以的取值范围是.故选A.【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用,以及转化与化归思想的运用.6.D【解析】
设点,由,得关于的方程.由题意,该方程有解,则,求出正实数m的取值范围,即求正实数m的最小值.【详解】由题意,设点.,即,整理得,则,解得或..故选:.【点睛】本题考查直线与方程,考查平面内两点间距离公式,属于中档题.7.D【解析】
根据统计数据,求出频率,用以估计概率.【详解】.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景,考查利用频率估计概率,属于基础题.8.B【解析】
利用等差数列性质,若,则求出,再利用等差数列前项和公式得【详解】解:因为,由等差数列性质,若,则得,.为数列的前项和,则.故选:.【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前项和.(1)如果为等差数列,若,则.(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用,如.9.C【解析】
先画出函数图像和圆,可知,若设,则,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若设圆的圆心为,则,所以只要取得最小值,若设,则,然后构造函数,利用导数求其最小值即可.【详解】记圆的圆心为,设,则,设,记,则,令,因为在上单调递增,且,所以当时,;当时,,则在上单调递减,在上单调递增,所以,即,所以(当时等号成立).故选:C【点睛】此题考查的是两个向量的数量积的最小值,利用了导数求解,考查了转化思想和运算能力,属于难题.10.C【解析】
利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可.【详解】设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种;“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻(即6个全部是阴爻)的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是.故选:C【点睛】本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.11.A【解析】
根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a,b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数,按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16,故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.12.B【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得的解析式,再根据函数的图象变换规律,诱导公式,得出结论.【详解】根据已知函数其中,的图象过点,,可得,,解得:.再根据五点法作图可得,可得:,可得函数解析式为:故把的图象向左平移个单位长度,可得的图象,故选B.【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,函数的图象变换规律,诱导公式的应用,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由,求出长度关系,利用角平分线以及面积关系,求出边,再由余弦定理,即可求解.【详解】,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.14.【解析】
根据图像的平移变换得到函数的解析式,再利用整体思想求函数的值域.【详解】函数的图像向右平移个单位得,,,.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意整体思想的运用.15.【解析】
首先求得a的值,然后利用均值的性质计算均值,最后求得的值,由方差的性质计算的值即可.【详解】由题意可知,解得(舍去)或.则,则,由方差的计算性质得.【点睛】本题主要考查分布列的性质,均值的计算公式,方差的计算公式,方差的性质等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.【解析】
利用递推关系,等比数列的通项公式即可求得结果.【详解】因为,所以,因为是等比数列,所以数列的公比为1.又,所以当时,有.这说明在已知条件下,可以得到唯一的等比数列,所以,故答案为:.【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式,属于简单题目.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)见解析.【解析】
(1)在中,计算出的值,可得出的值,进而可得出的值,由此可得出椭圆的标准方程;(2)设点、,设直线的方程为,将该直线方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,根据已知条件得出,利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式,代入直线的方程,即可得出直线所过定点的坐标.【详解】(1)在中,,,,,,,,因此,椭圆的标准方程为;(2)由题不妨设,设点,联立,消去化简得,且,,,,,∴代入,化简得,化简得,,,,直线,因此,直线过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中直线过定点的问题,考查计算能力,属于中等题.18.【解析】
将直线的极坐标方程和曲线的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合的取值范围进行取舍即可.【详解】因为直线的极坐标方程为,所以直线的普通方程为,又因为曲线的参数方程为(为参数),所以曲线的直角坐标方程为,联立方程,解得或,因为,所以舍去,故点的直角坐标为.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.19.(1)(2)【解析】
(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点,由此求得,结合椭圆离心率求得,进而求得,从而求得椭圆的标准方程,求得椭圆上顶点的坐标,由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程,求得两点的纵坐标,由此求得的面积.(2)求得两点的坐标,设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,由此求得的值,根据在椭圆上求得的值,由此求得的值.【详解】(1)因为抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的右焦点的坐标为,所以,因为椭圆的离心率为,所以,解得,所以,故椭圆的标准方程为.其上顶点为,所以直线:,联立,消去整理得,解得,,所以的面积.(2)由题知,,,设,.由题还可知,直线的斜率不为0,故可设:.由,消去,得,所以所以,又因为点在椭圆上,所以,所以.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点,椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆,三角形的面积等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.20.【解析】
利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为,所以,所以曲线的直角坐标方程为.由,得,所以曲线的普通方程为.由,得,所以(舍),所以,所以曲线的交点坐标为.【点睛】本题考查极
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