二重积分的应用

§9.3二重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：1、 所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性（即：当闭区域D分成许多小闭区域此时，所求量U相应地分成许多部分量AU，且U=zA"）。2、 在D内任取一个直径充分小的小闭区域dc时，相应的部分量AU可近似地表示为f（兀yydd,其中（兀y）&d,称f（兀刃力为所求量AU的元素，并记作dU。（注：f（X，y）dG的选择标准为：lAU-f（X，y）daI是dc直径趋于零时较dc更高阶的无穷小量）U二口f（x,y）db3、 所求量U可表示成积分形式 D一、曲面的面积设曲面S由方程Z—f（%，y）给出，"xy为曲面S在XOy面上的投影区f（x,y）D f（x,y）f（x,y）域，函数丿' 在xy上具有连续偏导数丿和y ，现计算曲面的面积A。在闭区域Dxy上任取一直径很小的闭区域dC（它的面积也记作dC），在dc内取一点P（x,y）,对应着曲面S上一点M（x,y,f（x,y））,曲面S在点M处的切平面设为T。以小区域dc的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，该柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面，由于dc的直径很小，那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。

曲面S在点M处的法线向量(指向朝上的那个)为它与Z轴正向所成夹角丫的方向余弦为dA—dA—docosy所以dA-尸TRPR-弘这就是曲面S的面积元素，故dxdyDxy内部的x2+y2+z2—a2人亠「、”x2+y2—axza>0、【例1】求球面丿 含在柱面丿 (a>0)内部的面积。解:所求曲面在xoy面的投影区域Dy—{(x'y)lx2+y2-ax}解:所求曲面在xoy曲面方程应取为z曲面方程应取为z-a2-x2-y2L ，-x -yz— z—x 、：'a2-x2-y2 y "a2-x2-y2r，'曲面在xOy面上的投影区域Dxy为yoz据曲面的对称性，有yoz若曲面的方程为x=g(y'z)或y—h(z'x)，可分别将曲面投影到zox DD面或zOx面,设所得到的投影区域分别为yz或zx，类似地有或二、平面薄片的重心1、平面上的质点系的重心

其质点系的重心坐标为nLnLmyii

=i=1 Lmii=1Lm.x.M iix=」=旦 mnLmii=12、平面薄片的重心设有一平面薄片，占有XOy面上的闭区域D,在点（%'y）处的面密度为P"%'刃，假定P"%'刃在D上连续，如何确定该薄片的重心坐标（X'刃。这就是力矩元素，于是m=口p（x,y）dc又平面薄片的总质量D从而，薄片的重心坐标为特别地，如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则十分显然，这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定，因此，习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。【例2】设薄片所占的闭区域D为介于两个圆r=aC0S°，丫=bC0S°（0<a<b）之间的闭区域，且面密度均匀,求此均匀薄片的重心（形心）。解：由D的对称性可知：歹=0M=JJxdo=jddbcfr2cosOdryD 九 acos0而 2b2+ba+a22(b+a)三、平面薄片的转动惯量1、平面质点系对坐标轴的转动惯量设平面上有“个质点，它们分别位于点（儿），（込y2）, ,（Xn'yn）mm…m处，质量分别为1’2’ 'n。设质点系对于x轴以及对于y轴的转动惯量依次为2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量设有一薄片，占有xoy面上的闭区域D,在点（X’y）处的面密度为P（Xxy）,假定P（Xy）在D上连续。现要求该薄片对于x轴、y轴的转动惯量Ix,'y。与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为y=x2 y=1 p【例3】求由抛物线 及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）y=—1对于直线 的转动惯量。解:转动惯量元素为四、平面薄片对质点的引力设有一平面薄片，占有XOy面上的闭区域D,在点（Xy）处的面密度为P（X,