高微第一章习题答案

成，整条曲线所表示的偏好集满足公理1、2、3、４’。O证在曲线上任取两点X1X2，它们是无差异集上两个不同点，皆与X0无差异，显然然会是这两点的凸组合，且它位于X0的东北方向，所以Xt≥X0。得证性部分”任选取两点X1和X3，其凸组给为XpX1和X3位于同一条直线，所以Xp≥X0,并不能得出Xp>X0的结论。故而破坏了公理５。如果是连续的，那么，定理1.1AB证明：依题意A{t0| x}为上优集，B{t0| 从Atm

m

取极限limtm

t0

t

A，t0e

得证。同理可得B1设1,

x2)与(x1,

))11)),))

x2)与(x1,

)均为rs(x1,x2）

,x2)+(x1,x2,))也为r的,))1u(x1,

x2)与(x1,

11,

11,

,x2),(x1,x211,

x2)与(x1,

))是r的)kr

,x)=u(kx，kx

krv(x，x

v(kx，kx s(kx1，kx2）u(kx1，kx2

v(kx1，kx2=kru(x,x)+krv(x，x =krs(xx （b）x1,x2u,v是拟

xt=tx1+(1t)x2u(xt）min[u(x1

u(x2）]，

v(x1

v(x211,

x2）意x1x2中取最小值同时m(xt）=min[u(xt），(xt不防设u(x1u(x2则，u(xtu(x2m(xtminm(x1m(x2v(xt)minm(x1m(x2m(xt）min[m(x1),m(x2m(也是拟凹的。得证（a）

x1)x2=(x2x2)

x2 ，但绝 ，但绝 骣骣x ，而桫骣2

证明：设u（·）可表示。则

1)驰 （1）

R。故总有

xx或 1并且假x2, 所以，由题意知 u(x3)成立¥（3）设¥

(u(x3)?

x3。传00下面证x蝁0"{xm¥蘗

(x)蕹

m)um=m) m)

u

所以， x。则x

(x)，即Y(x)是闭集。连续性得证R（1）y=0时，B={xR

n

0}={0}显然 +y0时，设xx +

B，则有px1＃y,px2 令则

tx1+

t)x2

t)x2=tpx1+

t)px2?

t)y=tt

B且 xmx

x0,则pxm?x由于px是连续函数，则lim mxm

y，即px0

y。所以，B

> 0,则0,则睚令R=max镲y,y,..., >睚 铪 则x

B有(RR

++综上，由BÌRn，并且为有界闭集，所以可得BRn上的紧集++证明：由1.15题证明可知，集B为凸紧集。Weierstrass（即定理A1.10）：该定理保证在非空凸紧集B用函数u(x)存在极值。根1.2，效用函数u(x)为假设极大值不唯一，即：存在x1,x2…,xn∈B，对于所有x∈B，xi（i=1,2,…n）均为最优选择，由题，p·x2=y;…p·xn=y;则：x1=x2xn也就是说，x*∈B,且对于所有x∈B,亦即：xy=p·x*①若偏好关系是严格凸

xhpux'hpu)xx，且u(xu'(x)取（0，1）， px"p[x1)x']px1pxpx

x"

；u(x")

，这与x'hpuhpu是单值，即唯一解②若偏好关系是凸xhpux'hppxpxu(x)uu(x') px"p[x1)x']px1pxpx∵∴u(x")u[x(1)x']

x"hp

亦即hpu图x y/px 如上图：消费者问题的解的特征是角点解。两物品的边际替代率不变，因而无差异曲线U（X）是一条向下证明：已 是Rn上得一个偏好关系，u(x)是 此偏好关系的效用函数。在Rn中取两 x1,x2，令x x2，u(x1)u(x2)。又f:R在u所确定的值集上是严格递增的f(u(x1f(u(x2v(xf(u(xv(x1v(x2v(x也代表偏好关系。 Cobb-Douglasu(xxAxx1表示，其中01和A0，假定一个内点解可以解决效用极大化问题， y解Lu(x1,x1)(yp1x1p2x2 yAxx1(ypxpx 1 2因

A

p11212

(1)Axx1p Lypxpx 1 2xyx(1) 解：拉格朗日函数为L(x1x2,lnAlnx11)lnx2(yp1x1p2x2 L

p1

1

p2

Lyp

px

1 2x1

x2

yp1x1p2

(1)px2p2

px1p1

px1p1

，x2

证明：如果uRnR可以表示偏好关系，则u(是严格递增的，当且仅当是严格单调的。u(是拟凹的，当且仅当是凸的u(是严格拟凹的，当且仅当是严格递凸的。x1，则，如果x1x2，依据u()是严格单调的，则有u(x1)u(x2)，再依据代x1，则 x2，如果

x2，则有u(x1)u(x2)，有

x2且

x1（u(x1)

x1u(是严格单调的，因此可推出是严格单调的2X如果x2x1则由偏好是严格单调的，x1x2由代表性可知u(x1)u(x)如果

x2，则由偏好的严格单调可知

x2，但

x1，故u(x1

)，但 u(x2)，知u(x1)u(x2，因此此时u()是严格单调的u(

X,

x2设xtt.x11t).x2t

x2知u(x1

，再由u(是拟凹的x2u(xtmin{u(x1),u(x2u(x2x22X,xtt.x1(1t).x2,t由“”的

x2,

x1两者因为由代表性u(xt)u(x2min{u(x1),u(x2所以u(是拟凹的

2,

x2,xtt.x1(1t)x2,tx2u(是严格拟凹的u(xt)min{u(x1),u(x2u(x2，故x2x1x2，下证u(xtmin{u(x1),u(x2tx2，x1x2，令 x2u(xt)u(x2)x2，因为

1x3在Rf(x)u(xu(x)3不行。比如且u(x1)3u(x2)f(x16f(x2不行。ux2)min(x1,x2

x2(2,u(x1)1

u(x2)

则u(x1)u(x2而f(x1)115 f(x2)2226f(x1)f(x21 2如果ux2 x1 2

请解释解：（a）由于偏好是凸的，则u应该是拟凹的，满足u(xz0zzTH(x)z1x1x1x(1)x

1212x (z1, 12 化简得(xz)21)(x

)2

2 1又因为偏好是单调的，则u关于x1x2的偏122所以02

0，

12 21并且在此条件下，（1）是成立的，故综上所述，的取值范围为[0,]2（b）略解：利用K-TLu(x1x2)(yp1x1p2x2)=x1(yp1x1p2x2

1p*

11Lp*

1 1

x1(1p1) x*(p*)

*(ypx*p*)

L

1 22

yp1x1p2x由（2）可知*0。再由（1）可知* p由（3）x20，进而由（4）x1p1 axax1ax2minx1x2，其中

x1x2时

0时的0，y0，y

p*

x*1p*（I）

1p2

*gpx*px*Lgpx*px*

1 2

1 21 2显然*0（否则不满足（I）），故ypx*1 2 px1x20，则x1p1 x*x*0

x*x*满足

x1x

,x21L(1)(

p)*

（Ⅱ） Ly(

p)x*

p)x*

1故：x* 1p x1x2时

,x2x22有：0 y,vp,y2 0x*x*时,ppvpyp p2

故，当0p

时 y

y，得x1

，x2 pp 时，x1,x2满足x1x2pp 21p时x1x2满足x2x121 22p时x10x222max

xiL(x,)u(x)[xi为求极值，将L(x,)分别关于,1,x2……求偏导，并分别令其等于L

1

1 L 0④L20④ 0Li0 由第2，3，4xi

1

()1 即：

1.1

（01，解得xi1i0,1 Fy0v0p,p

v(p,p,y) 任取(p,p)F(y0,v0)设在(p,p 对于vp,pyv0p,p全微 v(p,y)

v(p,y) dp v 2 1 Roy互等式10xx

v

v 22

p2，令vp2,p2,y

，vp1,p1,y 1x1是在p1，收入y则有yp1x1且ux1 1p2 vvp2,yyvp2,y 知道越往东北方面的效用越低，由vp,y拟凸知I(v)p,

则知价格无差异曲线凸向原点，但要记得v(p,y)在(p,y)上是拟凸函数。由于同一无差异曲线上 只需要选择不同的p，而固定y，选择(p1,y)，(p2,y)B。pttp1(1t)p2。由v(p,y)是拟凹函数知：(pt,y)t)(p1,y)(1t)(p2,y)B所以vptyp1,p2pvpyv可得ptpvpyv则知：pvpyv为凸 解：在例题1.2中，CES效用函数为：ux)(xx) 1 x2

x2 01

u(x1,x2 0时 0，意味着u(x,x)对于xu(x1,x2

递增的。同理可证明u(xx对于x0是连续且严格递增的。即u(xxR2是连续且严格递

的 由定理1.6：间接效用函数的性质。得出间接效用函数v(p,y)y(prpr)r(r )关于 p,y，在定理1.6的阐述中提出了u(x)必严格递增的要求，当简单地去掉对偏好的这种要求，性质，至性质6题会发生如下变化性质1题不会发生改变。因为性质1是由最大化定理推出，最大化定理告诉：如果目标函数与约束条件关于参数是连续的，并且如果定义域是一个紧集，那么，M(ax(a是参数a因此，性质1与u(x)是否严格递增没有关系，因此去掉对偏好的要求后，性质1题不会发生变化性质 题不会发生改变。因为在性质 题证明过程中 可以看到对于所有的t0(p,

(tp,

，但

(tp,

，这等价于[maxu(x),受约束于pxy]。由于在不影响满足它的消费束集合的条件下，用t0去除约与u(x)是否严格递增没有关系。性质3题会发生改变。在性质3的证明中，当u(x)严格递增时v(p,y)max

i对于(P.1)式的拉格朗日函数是L(x)u(x)ypx)……(P.2。现在，对于(p,y)>>0，令xxp,y为(P.1)的解。依附加的假设x0，因此，可应用拉格朗日定理得出存在一个R，使得如下式子成立的结论：iL(x*,*

*

由于根据u(x是严格递增的，可p与u(x*x是正的，故*0。依 A2.21，即最大值函数vp,y关于y数关y(x**v(p,

L(x*,*

，因此vp,y)y0是递增的，由于v是i续的，因此，它关于y0是严格递增的。但是当取消u(x)严格递增的条件时u(x*x的符号i能为正，也可能为负，因此的符号也不确定，故不能判断v(p,y)关于y0是递增还是递减的。性质4题会发生变化。与性质3的证明类似，对于(P.1)式的拉格朗日函数是iL(x)u(xypx)……(P.2)。现在，对于(p,y)>>0，令xxp,y)为(P.1)的解。依附加的假设x0，因此，可应用拉格朗日定理得出存在一个R，使得如下式子成立的结论iL(x*,*

*

由于根据u(x是严格递增的，可p与u(x*x是正的，故*0。依 A2.21，即最大值函数vp,y关于p数关p(x**v(p,y)L(x*,*)

，因此，当取

严格递增的条件时u(xxi的符号能为正，也可能为负，因此的符号也不确定，故不能判断vpy关于p否为递减的性质 B2与Bt是价格与收入分别为(p1,y1)、(p2,y2)与(pt,yt)的可利 集。这里pttp1(1t)p2与yty1(1t)y2。那么B1{xp1x

B2{xp2x

Bt{xptx假设消费者在Bt上获得的效用水平将不会大于在B1和B2两种效用水v(p,y)关于(p,y)是拟凸的。现在假设这些情况不存在。那么 可发现存在t(0,1)及一xBt，使得xB1xB2。如果xB1xB2，则p1xy1并且p2xy2t0,1 能给第一个不等式乘t，给第二个不等式乘(1t)，并保护这些不等式以便获得tp1xty1和(1t)p2x(1t)y2，将它们 (tp11tp2xty11t 或者ptx最后一个不等式表明xBt，这 先前的假设 。因此 得到：如x1xox1R2v(p,y)u(x)pv(p,y)/pv(p,y)/pixx(p,y)L(x*,*) v(p,y)/ ，那么对于所有t0,1，xB1或xB2依 能得到，v(p,y)关于(p,，是拟凸的。从证明过程中可以看到，性质5u(x严格递增的条件没有关系，因此当取消u(x)严格递增的要求时，性质5导数与其关于y的偏导数的比率—只不过改变了符 可以设xx(p,y)是(P.1)的严格为正的解(P.3)的

v(p,

L(x*,*

v(p,y)/

x(p,y)v(p,y)/

，因此可以得到性质6的得出u(x) 论断。在原公理4下，如果xox1，那么 xox1，有 条件，在R2中对所有组合的偏好是一致的，则此时论y与pvp,y总是v(x,y)是一些行为者的间接效用函数。表明，需求行为对v(x,y)的任意的、正单调转换不变。计算证明：根据定理1.2，效用函数对正单调转换具有不变性，即对于每个x，当且仅当v(xf(u(x，由uv(x也代表偏好关系。v(xy)

f[u(x,y，那么因为效用函u(x,y)是单调、严格拟凹的，所以存在反函数，即u(x,y)f1[v(x,y)]，即可视f1[v(x,y为v(x,y的转w(x,y)f[u(x,y，则w(x,y)为效用函数u(x,y)的正单调转换，也可以表示偏好关系，w(xy)ff1[v(xyv(xy)证明：由于u(x)是连续且严格递增的，并且p>>0，则约束条件必定是束紧的。因为如果u(x1)u，则存在一个t0,1充分地接近于1，使得u(tx1)u。此外uu(0)蕴含着u(x1)u(0,使x10。因此p(tx1p.x1。因为p.x10，因而当约束条件未束紧时，存在一个严格廉价的消费 e(p,u)min

受约束于

现在对于p>>0uu(0)x*xhp,u)0为（1）的解。因此依据拉格朗日定理，必在一个，使pL(x*,*p

*u(x*

0,i

pi

u(x*

为正值，从而>0epu关于uu（x*

e(p,u)L(x*,*)

上式表明对一切p>>0epu关于u递增的由于u(xu1，必存在u2u1。且由于epu关于u严格递增的，故有ep,u2)ep,u1)因此epu在u由证明性质5定理1.7明

ep,upxhp,u

e(tp,u)tpxh 考虑Hicksxh(tp,u为满足效用u的解pp是同 所 线束的斜率未变，为p1/

，根据图1.15可得xh(tp,u)=xhp,u)e(tp,utpxh(tp,utpxhp,utep,u)。（a

v(p,px0)maxU

pxp

，因此

maxU(x)U(x0)v(p0,p0x0即vp,px0vp0,p0x0因为 0，v(p,px0)v(p0,p0x0)，所以f(p)在pp0处最小化其梯度值必定为0fppp0处梯度值为0，dfvvx0 ypxypx)01和Ap1 2p20利用e的定义，证明：如果 0，并且x0xh(p0,u0)，那么，对于所有的0ep,u0px0，并且当pp0时，该不等式以等式成立得出这样的结论，即在pp0时fpep,upx0在

p0f是可微的，在p0处，其梯度取什么值设e(p,u)关于p是可微的，利用（a）至（c）部分证明引理根据e的定义，有ep,u)

px，约束条件为u(x)u，如果xhp,u为该问题的解那么在价格为p时获得效用u的最小支出为ep,u)pxhp,u0，并 x0xh(p0,u0)，因为x0为效用为u0时的最0，并以有ep,u0px0。当pp0时ep0,u0p0x0。得证由（a）pp0时ep0,u0p0x0，所f(p0)e(p0,u0)p0x0因此在0

f(p0)e(p0,u0)因为fp处可

由（a）（b）（c）可知，因为epu关于p是可微的，所以有epuxhpu，即谢 支出函数：e(p,u)u(prpr)1/r，(r/( ①当u值u=0ep，0)=0②对定义域上任意一点p0u0)，由

e(p,u) u(prpr)1/ru

)1/re(p,u(p,u)(p0,u0

(p,u)(p0,u0

因此e(p，u)在定义域上连续 e(p,u)(prpr)1/r 因此p0，e(p，u)严格递增且关于up④e(p,u)u1(prpr)1/r1rpr1=u(prpr)1/p

r

i

e(p，u)关于p的⑤对于任一正数e(p,u)u[(p)r(p)r]1/ru(prpr)1/re(p, 因此ep，u)关于p p,p为任意两个正价格向量，t[0，1ptp1t)p x最小化了价格为pui=1，2x最小化了价格为

2出。这样，对于任何其他可获得效用u的消费束x，由支出函数的定义，必有2p1x1

p1x,p2x2

p

p1x1

p1x,p2x2

p2x由此：tp1x1tp1x(1tp2x21t)p2ttp1x1(1t)p2x2tp1x(1t)p2xt

pt1即有：tepu1t)e1pp

,u)e(p,u),te(p,

r1

rpppuppp i

)2

i在是完xhp,uxpe证明xhxhp,u解决了在价格p效用uyepu，下面证明py约束下效用极大化问题。依以上假设有u(xhuypxh，且有vp,y)u，倘若vpyuu(xh，根据vpy关于y0，使得vp,y)u，这只要y的钱就足以达到效用水平u，这与yepu相vp,y)uxh解决了p,y严格凸的，即u凹的，解决效用最大化问题xhp,u)xpep,u。xp,yvxp,y由罗伊等式： vp,y/xtp,tyvxtp,ty则： vtp,ty/tvtp,ty/＝tvtp,ty/vtp,ty/＝vtp,ty/由定理A2.6ftxtk1fx（其中fx为k次 vtp,tyvtp,ty

t1vp,yt1vp,yvtp,ty/xitptyvtptyt1vtp,ty/i t1vtp,ty/vp,y/＝