结构动力学第七章-多自由度系统振动(二)

第七章多多自由由度系统统振动(二)§7-1瑞利能量量法(Rayleigh)运动微分分方程介绍几种种求解多多度系统统振动问问题的近近似方法法两边前乘{x}的转置，得得RI({x})称为第一一瑞利商商。当{x}取系统的的各阶主主振型{u}i时，瑞利利商就相相应地给给出各阶阶固有频频率ωi的平方：：如果{x}只是某阶阶主振型型{u}i的近似假假设，则则可求出出相应阶阶的固有有频率的的近似值值。由于实际际系统低低阶振型型{u}i的近似假假设，高高阶振型型难以作作出合理理假设，，因此，，第一瑞瑞利商往往往用于于估算系系统的基基频ω1。另外，由由于系统统在主振振型振动动中的最最大动能能与势能能分别为为：故又称瑞瑞利能量量法。若采用柔柔度矩阵阵[A]，则有：：RII({x})称为第二二瑞利商商。对任意假假设振型型{x}，可以证证明：证：设n个特征值值λ1<λ2<···<λn，则{u}1，{u}2，···,{u}n构成n维线性空空间的一一个完备备基，即即对任意意向量{x}，都有取{u}i为归一化化主振型型，即有有不等式RI({x})>RII({x})可改写成成：下面只需需证明RII({x})>λ1即可。〈例〉图示三自自由度系系统，求求系统基基频估值值。解：易得质质量矩阵阵、刚度度矩阵和和柔度矩矩阵为：：用两种假假设振型型求基频频估值。。(2)取静变形形曲线作作为假设设振型(在3个质量块块上同时时加单位位力得到到的各质质量块相相对位移移，即[A]中各列元元素相加加)，即取该系统基基频为：：§7-2邓克利法法(Dunkerley)—迹法系统主振振型方程程为：特征矩阵阵方程为为：展开后，，有由线性代代数或矩矩阵论理理论，有有可用此式式估算系系统基频频，且为为下限估估值。若质量矩矩阵为对对角阵，，则Aii是系统第第i个质量作作用有单单位力时时系统的的原地柔柔度系数数(mi的位移)，当系统统仅保留留mi时，成为为单自由由度系统统，此时时有Aii是系统第第i个质量作作用有单单位力时时系统的的原地柔柔度系数数(mi的位移)，当系统统仅保留留mi时，成为为单自由由度系统统，此时时有〈例〉图示三自自由度系系统，求系统基基频估值值。解：系统矩阵阵为：迹法邓克利法§7-3里茨法(Ritz)(或瑞利－里茨茨法)求较低几阶频频率与振型思路：先假设设若干个振型型并按这些振振型进行最佳佳线性组合，，再用瑞利法法求前几阶模模态(固有频率与振振型)为求αj，将上式对各各个αj求偏导，令其其等于零，得得里茨法是在Rayleigh法的基础上的的改进，实际际上是施加了了约束，因此此固有频率值值偏大。§7-4矩阵迭代法①求最低频率与振振型利用此式进行行迭代，可求求最低固有频频率与振型步骤如下：(a)任取{x}0，且以某一分分量为基准1，则(b)比较{x}k与{x}k-1，若误差小于事先给定任意小值，则停止迭代，此时得到的为最大特征值。〈例〉图示三自由度度系统，求系统基频估估值。解：系统矩阵为：：②求高阶频率与振型思路：假设振振型中不含低低阶主振型若要求第(r+1)阶特征对，则则在{x}中清除前r阶主