初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第24讲几何的定值与最值

第二十四讲

几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，的某些几何性质或地址关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：变量，运用特别地址、极端地址，直接计算等方法，先研究出定值，再给出证明．

或几何元素间分清问题的定量及几何中的最值问题是指在必然的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特别地址与极端地址法；2．几何定理(公义)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近来几年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题拥有很强的研究性(目标不明确)，解题时需要运用动向思想、数形结合、特别与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为．

为思路点拨

如图，作

CC′⊥

AB

于C，DD

′⊥

AB

于

D

′，DQ⊥CC

′，CD2=DQ

2+CQ

2，DQ=

1

AB2一常数，当

CQ

越小，

CD

越小，本例也可设

AP=x

，则

PB=10x

，从代数角度研究

CD

的最小值．注：从特别地址与极端地址的研究中易获取启示，

常能找到解题打破口，

特别地址与极端地址是指：中点处、垂直地址关系等；端点处、临界地址等．【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB转动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则关于全部可能的圆的地址而言，⌒MTN为的度数（）A．从30°到60°变动B．从60°到90°变动C．保持30°不变D．保持60°不变思路点拨

先考虑当圆心在正三角形的极点

C时，其弧的度数，再证明一般状况，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动向背景下，动与静是相对的，我们能够研究问题1中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的地址，

使图形变化为特别图形时，

研究的量获取定值与最值．【例3】直线DP

如图，已知平行四边形交CB的延长线于

ABCD，AB=a，BC=Q，求AP+BQ的最小值．

b(

a>

b)，

P

为

AB

边上的一动点，思路点拨设AP=x，把AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式a2b22ab(当且仅当ab时取等号)来求最小值．⌒【例4】如图，已知等边△与BM订交于K，直线CB

ABC与AM

内接于圆，在劣弧订交于点N，证明：线段

AB上取异于AK和BN

A、B的乘积与

的点M，设直线ACM点的选择没关．思路点拨即要证AK·BN是一个定值，在图形中△ABC的边长是一个定值，说明AK·BN与AB相关，从图知AB为△ABM与△ANB的公共边，作一个英勇的猜想，AK·BN=AB2，从而我们的证明目标更加明确．注：只要研究出定值，那么解题目注明确，定值问题就转变为一般的几何证明问题．【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个极点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．思路点拨极点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当极点经过几何不等关系求出直角边的最大值，当极点Z在(AC建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．

Z或

在斜边AB上时，取xy的中点，CB)上时，设CX=x，CZ=y

，注：数形结合法解几何最值问题，即合适地采用变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常有的解题路子是：利用一元二次方程必然有解的代数模型，运用鉴识式求几何最值；构造二次函数求几何最值．2学力训练1．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不一样样于点O)，则△PQR的周长的最小值为．3．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则PAPB的最大值等于．4．如图，A点是半圆上一个三均分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为()A．1B．2C．2D．3125．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面搬动到BC的中点S的最短距离是()A．212B．2142C．412D．2426．如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C搬动而R不动时，那么以下结论建立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能够确定7．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD订交于点M，BD与CE订交于点N．(1)求证：MN∥AB；3(2)若AB的长为l0cm，当点的长度最长?若存在，请确定

C

在线段AB上搬动时，可否存在这样的一点C，使线段C点的地址并求出MN的长；若不存在，请说明原由．

MN(2002

年云南省中考题

)8．如图，定长的弦的垂足，求证：无论

ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，ST滑到什么地址，∠SPM是必然角．

M是

ST

的中点，

P是

S

对

AB

作垂线9．已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA·PB=PE·PF；当点P为线段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还建立吗?若是建立，请证明，若是不能够立，请说明原由．10．如图，已知；边长为AB上的一点P，使矩形

4的正方形截去一角成为五边形PNDM有最大面积，则矩形

ABCDE，其中AF=2PNDM的面积最大值是

，

BF=l(

，在)A．8

B．12

C．

25

D．14211．如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是()A．22B．12C．32D．3212．如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．413．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU订交于点P，BV与CU订交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，的喷水地域是半径为l0米的圆，问如何设计

使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大

?15．某住处小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形地域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形地域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形地域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款可否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能够，请说明原由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资本73000元，问可否完成该工程的建设任务若能，请列出全部可能的设计方案；若不能够，请说明原由．

?16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地

ABCDE

，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积

(精确到

1m2)

．5参照答案6第二十五讲辅助圆在办理平面几何中的好多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．而我们需要的圆其实不存在(有时题设中没有涉及圆；有时诚然题设涉及圆，但是此圆其实不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实质存在的圆找出来，增加辅助圆的常有方法有：1．利用圆的定义增加辅助圆；2．作三角形的外接圆；3．运用四点共圆的判断方法：若一个四边形的一组对角互补，则它的四个极点共圆．同底同侧张等角的三角形，各极点共圆．若四边形ABCD的对角线订交于P，且PA·PC=PB·PD，则它的四个极点共圆．若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线订交于P，且PA·PB＝PC·PD，则它的四个极点共圆．【例题求解】【例1】如图，直线

AB

和

AC

与⊙

O分别相切于

B、C，P

为圆上一点，

P到

AB

、AC

的距7离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为．思路点拨连DF，EF，搜寻PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、与P、E、C、F分别共圆，打破角是解题的要点．注：圆拥有丰富的性质：圆的对称性；等圆或同圆中不一样样名称量的转变；与圆相关的角；圆中比率线段．合适发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创立了条件，由于图形的复杂性，有时在图中其实不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．【例2】如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于()A．6B．7C．12D．16思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为订交弦定理的应用创立了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．思路点拨先作出△ABC的外心O，连PO、OQ，将问题转变为证明角相等．8【例4】如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D．求证：PBPC．PDCD思路点拨因所证比率线段不是对应边，故不能够经过判断△PBD与△PCD相似证明．PA2=PD·PO=PB·PC，B、C、O、D共圆，这样连OB，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着相同重要的地位，这是由于，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．【例5】如图，在△ABC中，高BE、CF订交于H，且∠BHC=135°，G为△ABC内的一点，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，连结HG，求证：HG均分∠BHF．思路点拨经计算可得∠A=45°，△ABE，△BFH皆为等腰直角三角形，只要证∠GHB=GHF=22.5°．由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四点共圆，运用圆中角转变灵便的特点证明．注：好多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获取简解、巧解或新解．学力训练2，P为正方形内一点，且∠1．如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cmOPB=45°，PA：PB=5：14，则PB的长为．2．如图，在ABC中，AB=AC=2，BC个不一样样的l、P2，P100，记△边上有100点PmiBPiPiC（i=1，2，100），则m1APi2m2m100=．3．设△ABC三边上的高分别为AD、BE、CF，且其垂心H不与任一极点重合，则由点A、9B、C、D、E、F、H中某四点能够确定的圆共有()A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，已知OA=OB=OC，且∠AOB=k∠BOC，则∠ACB是∠BAC的()A．1k倍B．是k倍C．2kD．12k5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P在线段AD上，满足条件的∠BPC=90°的点P的个数为()．A．01C．21D．不小于3的整数6．如图，AD、BE是锐角三角形的两条高，S△ABC=18，S△DEC=2，则COSC等于()A．3B．1C．2D．33347．如图；已知H是△ABC三条高的交点，连结DF，DE，EF，求证：H是△DEF的内心．8．如图，已知△ABC中，A