2019-2020学年广东省广州市天河区高二(上)期末数学试卷

第第页(共18页)(2)若命题p与命题q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.【解答】解：(1)若命题p为真命题，则(2m—l)(m-4)>0，解得m<—或m>4.2即m的取值范围是m<1或m>4;2(2)若命题q为真，则mx2—x+*m>0恒成立，Pm>0则\，即m>1.[V=1—m2<0Q命题p、q一真一假.当p真q假时，得m<*;当p假q真时，1<m„4..实数m的取值范围是m<1或1<m4.2(12分)在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=—1的距离相等，记点P的轨迹为C.求C的方程；设点A在曲线C上,x轴上一点B(在点F右侧)满足IAF1=1FBI，若平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过点F(1,0)?并说明理由.【解答】解：1)由题意可得动点P的轨迹是以F(1,0)为焦点，准线为x=—1的抛物线y2=4x；（2）由题设A（x，y），则丨AFI=x+1，000又丨AFI=IFBI，故B（x+2，0），0令平行于AB的直线l:y=kx+m，则k=k=—器，.A（k2，—2k）,AB2代入y2=4x，得（kx+m）2=4x，.km=1，整理k2x2+（2km一4）x+m2=0（*）△=（2km一4）2一4k2m2.km=1，所以（*）可以化为k2x2-2x+土=0.xd=土-+2kkADk-+2kkADk22=2k1_1—k2—kkQ107AD:y+2k=—(x-k2),AD:y=—(x-1)，过定点F(1,0),1-k21-k2当k2=1时，AD:x=1也过点F（1,0），故直线AD过点F（1,0）.（12分）如图1,在矩形ABCD中，AB=3駅,BC=2叮5，点E、P分别在线段DC、BC上，且DE=45，DP=匕”，现将AAED沿AE折到AAED'的位置，连结CD'，BD',2如图2.（1）证明：AE丄D'P；.2口（2）记平面AD'E与平面BCD'的交线为l.若二面角B-AE-D'为一，求l与平面D'CE3所成角的正弦值.【解答】解：（1）证明：先在图1,在RtAADE中,由AD=BC=2后，DE八5，得tanZDAE=2在RtAPCD中，PC=、DP2由DC=AB=3\5，DPPC=、DP2得tanZPDC=-，2tanZPDC=tanZDAE，则ZPDC=ZDAE，/.ZDOE=90。，从而有AE丄OD，AE丄OP，即在图2中有AE丄OD'，AE丄OP，OD'1OP=O，•/AE丄平面POD'，则AE丄D'P.（2）延长AE，BC交于点Q，连接D'Q，根据公理3得到直线D'Q即为l，再根据二面角定义得到ZD'OP=王.3在平面POD内过点O作底面垂线，O为原点，分别以OA、OP、及所作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则D'(0,—1八弓)，E(-1,0,0),Q(—11,0,0),C(—3,4,0),uuuu.uuruuurDQ=(—11,1,-⑶，EC=(—2,4,0),ED'=(1,—1,v3),设平面D'EC的一-个法向量为n=(x,y,z)，ruuur得n=(2,i,ngEC=—2x得n=(2,i,ruuur，取y=1,ngED=x—y+\:3z=0...l与平面DCE所成角的正弦值为:rriuuur|ngD'QIV15Icos<n,D'Q>1=ruUr=InlgD'QI5(12分)已知椭圆C:x2+2y2=36.求椭圆C的短轴长和离心率；过点(2,0)的直线l与椭圆C相交于两点M,N，设MN的中点为T，点P(4,0)，判断ITPI与ITMI的大小,并证明你的结论.【解答】解：(1)由题，椭圆C:x2+2y2=36可变形为C:乂+兰=1.a=6,b=^2,c=3逅3618p：故短轴长为6^2,e=-2(2)当l为x=2时，代入C:x2+2y2=36可得y=+4,此时T(2,0),.•」TMI=4,ITPI=2,/.ITMI>ITPI,当l为斜率k存在时,设l:y=k(x—2)代入到C:x2+2y2=36,得x2+2k2(x一2)2=36,

(2k2+1)x2一8k2x+8k2一36=0,令M(x,y),N(x,y)1122贝9x+x128k贝9x+x128k22k2+1xx=122k2+1uuuur此时PM=(x—4,1uuuryi)'PN=W一4，叮'uuuuruuurPMgPN=(x一4)(x一4)+yy=(x一4)(x一4)+k2(x一2)(x一2)12121212=(k2+1)xx—(4+2k2)(x+x)+16+4k21212=(8k2—36)伙2+1)一8k2(4+2k2)十场十缶2k2+12k2+12=「(2k2—9)(k2土1)一4k2(