多元函数微积分复习试题

多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数fx,y在点x0,y0处连续是函数在该点可微分的(B)(A)充分而不用要条件;(B)必需而不充分条件;(C)必需并且充分条件;(D)既不用要也不充分条件.2．设函数fx,y在点x0,y0处连续是函数在该点可偏导的（D)(A)充分而不用要条件;(B)必需而不充分条件;(C)必需并且充分条件;(D)既不用要也不充分条件.3．函数fx,y在点x0,y0处偏导数存在是函数在该点可微分的(B).(A)充分而不用要条件;(B)必需而不充分条件;(C)必需并且充分条件;(D)既不用要也不充分条件.4．关于二元函数zf(x,y),以下结论正确的选项是(C).A.若limA,则必有limf(x,y)A且有limf(x,y)A;xx0xxyyyy0B.若在(x0,y0)处z和z都存在,则在点(x0,y0)处zf(x,y)可微;xyC.若在(x0,y0)处z和z存在且连续,则在点(x0,y0)处zf(x,y)可微;xyD.若2z和2z都存在,则.2z2z.x2y2x2y25．二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)处知足关系(C).可微(指全微分存在)可导(指偏导数存在)连续;可微可导连续;可微可导,或可微连续,但可导不必定连续;可导连续,但可导不必定可微.rr1,2,1rr（A）6.向量a3,1,2,b，则agb(A)3(B)3(C)2(D)25．已知三点M（1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2），则MA?AB=（C）(A)-1；(B)1；(C)0；(D)2；6．已知三点M（0，1，1），A（2，2，1），B（2，1，3），则|MAAB|=（B）(A)2;(B)22;(C)2;(D)-2;7．设D为园域x2y22ax(a0),化积分F(x,y)d为二次积分的正确方法D是_____D____.A.2aaB.2a2ax2dxf(x,y)dy2dxf(x,y)dy0a00C.a2acosf(cos,sin)dda0D.2d2acosf(cos,sin)d023lnx8．设Idx10

f(x,y)dy,改变积分序次,则I______.Bln3dyeyB.ln3A.f(x,y)dxdy000ln3dy3D.3C.f(x,y)dxdy

3ylnx

(x,y)dxf(x,y)dx00109．二次积分2dcosf(cos,sin)d能够写成___________.D001dyyy2f(x,y)dxB.11y2A.0dyf(x,y)dx0001dx1D.1dxxx2C.f(x,y)dy0f(x,y)dy00010．设是由曲面x2y22z及z2所围成的空间地区，在柱面坐标系下将三重积分If(x,y,z)dxdydz表示为三次积分，I________.C2A．212f(cos,sin,z)dzdd000222B.2f(cos,sin,z)dz0d0d0C．2d22f(cos,sin,z)dz0d202D．2d22cos,sin,z)dz0df(0011．设L为x0y面直线段，其方程为L:xa,cyd，则Px,ydx（C）L（A）a（B）c（C）0（D）d12．设L为x0y面直线段，其方程为L:ya,cxd，则Px,ydy（C）L（A）a（B）c（C）0（D）d13．设有级数un,则limun0是级数收敛的（D）n1n(A)充分条件；(B)充分必需条件；(C)既不充分也不用要条件；(D)必需条件;14．幂级数nxn的收径半径R=（D）n1(A)3(B)0(C)2(D)115．幂级数1xn的收敛半径R（A）n1n(A)1(B)0(C)2(D)316．若幂级数anxn的收敛半径为R，则anxn2的收敛半径为（A）n0n0(A)R(B)R2(C)R(D)没法求得17.若limu0,则级数un()Dnnn1A.收敛且和为B.收敛但和不必定为C.发散D.可能收敛也可能发散18.若un为正项级数,则(B)n1A.若limun0,则un收敛B.若un收敛,则un2收敛nn1n1n1C.若un2,则un也收敛D.若un发散,则limun0n1n1n1n19.设幂级数Cnxn在点x3处收敛,则该级数在点x1处(A)1绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定20.级数sinnx,则该级数(B)(x0)n1n!A.是发散级数B.是绝对收敛级数C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散二、填空题1．设f(x,y)sinx(y1)ln(x2y2)，则fx(0,1)___1___.2．设fx,ycosxy1lnx2y2，则fx'(0,1)=____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是fx,ydxdy

f

cos,

sin

ddD

D．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是fx,y,zdxdydzfcos,sin,zdddz5．柱面坐标下的体积元素dvdddz6．设积分地区D:x2y2a2,且dxdy9,则a3。D7．设D由曲线asin,a所围成,则dxdy3a2D48．设积分地区D为1x2y24,2dxdy6D9．设fx,y在[0，1]上连续，假如13，fxdx0则11ydy=_____9________.dxfxf0010．设L为连结(1,0)与(0,1)两点的直线段，则xyds2.L11．设L为连结(1,0)与(0,1)两点的直线段，则xyds___________.0L12．等比级数aqn(a0)当q1时，等比级数aqn收敛.n1n113．当__1__时，p级数1是收敛的.n1np14．当_________时,级数n11n11是绝对收敛的.1np15．若f(x,y)xyx,则fx(2,1)_________.1,y216．若f(x,y)xy3(x1)arccosy2,则fy(1,y)_________.3y22x17．设uzxy,则du_________.zxyylnxdxxlnzdyxydzz18．设zylnx,则2z__________.lny(lny1)ylnxx2x219.积分22dy的值等于_________.1(1e4),dxey20x220.设D为园域x2y2a2,若x2y2dxdy8,则a_______.2D21.设I2dxdydz,此中:x2y2z2a2,z0,则I_______.4a33三、计算题1.求过点2,0,1且与平面2x5y4z80平行的平面方程.解:已知平面的法向量n=（2，-5，4），所求平面的方程为2（x+2）-5（y-0）+4（z-1）=0即2x-75y+4z=02．求经过两点M1（1，2，2）和M2（3，0，1）的直线方程。.解:M1M2=(4,2,1)所求直线方程为x1y2Z24213．求过点(0,-3,2)且以n=(3,-2,1)为法线向量的平面方程.解:所求的平面方程为3x02y31z20即3x2yz804．设zfxy,y，此中f拥有二阶连续偏导数，求

2zxy解:z,xyf12zzyf1f1yxf11f12xyyxy5．设lnx2y2arctany,求dydx解:方程两边对x求导得111xyyx2y22x2y22x2yy2x2y1x由此得yxyxy26．设zfxy,y，此中f拥有二阶连续偏阶导数，求z。2x解:zyfu,x2zzxyfuyfuy2fuux2xxx7．设

xz

ln

zy

,

求

z.x解:方程xlnzlny两边同时对x求导得zzxz1z,xz2zxzxxz2z8．设zfax,by，此中f拥有连续的二阶偏导数，求xy解:zaf1x2zaf1abf12xyy9．设sinyexxy20,求dy.dx解:方程两边对x同时求导得cosyyexy22xyy0由此得yexy22xycosy10．计算二重积分3x2ydxdy,此中D是由直线x0,y0,xy2D所围成的闭地区。解:3x2ydxdy22x2ydy2y22xdx03x3xy0dx00=2x2x24dxx22x3220203032dy2yfx,ydx的积分序次。11．改变二次积分I20y解:积分地区为D:0y2,y2x2yD也可表示为D:0x4,xyx24xIdxxfx,ydy0212．计算二重积分3x2ydxdy,此中D是由直线x0,y0,yx1D所围成的闭地区。解:3x2ydxdyD=14x2013．改变二次积分I

101dx3x2ydy3xyy20x1dx0x105x1dx161yx,ydx的积分序次。dyf00解:积分地区为D:0y1,0xyD也可表示为D:0x1,xy1有1yx,ydx11x,ydydyfdxf000x14．计算二重积分3x2ydxdy此中D:0x1,0y1.D解:3x2ydxdy112ydy13xyy21dx3x00dxD00=3x1dx3x215.1020215．改变二次积分I11fxydx的积分序次。1dyy2,解:积分地区为D:1y1,y2x1D也可表示为D:0x1,xyxI1xx,ydydxf0x16．利用格林公式计算曲线积分I=(2xy4)dx(5y3x6)dy,L此中L为三极点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向界限.解:由格林公式I=[(5y3x6)(2xy4)]dxdyDxy=4dxdy=4132D2=1217．利用格林公式计算曲线积分?L(y)dxxdy,此中L为正向的圆周x2y2a2(a.0).解：由格林公式==

[x(y)]dxdyDxy2dxdyD=2a218．利用格林公式计算曲线积分I=(2xy4)dx(5y3x6)dy,L此中L为三极点分别为(0,0),(3,0),(0,3)的三角形正向界限.解:由格林公式==

[(5y3x6)(2xy4)]dxdyDxy4dxdyD4133218.19．鉴别级数n2sinn的收敛性。n13解:limun1limn12sin3n111nunnn2sin3n3由比值鉴别法知级数n2sinn收敛n0320．求幂级数1nxn的收敛区间。n1n21解:liman1n12n11anlimn2n2nn1R2，收敛区间为2,221．求幂级数1xn的收敛区间。n1n3n1解:an1limn13n11,lim1nann3n3nR13收敛区间为(-3,3)四、解以下各题题1．利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz，此中是由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭地区。解::02,02,2z4zdxdydz2d240d2zdz0=12d2164d2006432．利用柱面坐标计算三重积分，zdxdydz此中闭地区为半球体x2y2z21,z0.解:在xoy平面的投影地区为D:x2y21，用柱面坐标可表示为:02,01,0z122112zdxdydzdd00011124240

zdz12dz1043．．利用柱面坐标计算三重积分x2y2dxdydz，此中是由曲面z9x2y2与平面z0所围成的闭地区。解::02,03,0z92232x29dzy2dxdydzdd000=d3292d32420054．计算曲线积分x2ydxxy2dy，此中L是在圆周y2xx2上由L点O（0，0）到点A（1，1）的一段弧。解:Qxy2,Px2yQP1,曲线积分与路径没关，xyx2ydxxy2dyx2ydxxy2dyLOA1[(x2x)(xx2)]dx(y=x,0x1)=01(2x)dx=-105．计算曲线积分x2ydxxy2dy，此中L是在圆周y2xx2上由L点O（0，0）到点A（2，0）的一段弧。解：Qxy2,Px2yP1,曲线积分与路径没关，xyx2ydxxy2dyx2ydxxy2dyLOA=20x2)x2dx(y=0,0836．计算曲线积分x2ydxxydy，此中L是在圆周y2xx2上由L点A（2，0）到点0（0，0）的一段弧。解:Qxy2,Px2yP1,曲线积分与路径没关，xyx2ydxxy2dyx2ydxxy2dyLAO=02dx(y=0,x由2到0)x2=8.37．鉴别级数1n1能否收敛？假如收敛，是绝对收仍是条件收敛？n2lnn解:记un1,则lnnun11un1(n2,3,,n,)lnnlnn1且limunlim10lnnnnn由莱布尼兹定理,级数11收敛lnn又11,而级数1发散,由比较鉴别法可知lnnnn2n级数1发散,进而级数1n1为条件收敛n2lnnn2lnn8．鉴别级数1nln11能否收敛？假如收敛，是绝对收仍是条件收敛？n2nln111，n解：记unln1lim11nnn而1发散，因此ln11发散n1nn1n又且

unln1ln11(n1,2,3,)1nun1n1limunlimln10，1nnn由莱布尼兹定理知1n1ln11收敛且为条件收敛.n1n9．鉴别级数1nln(1!)能否收敛？假如收敛，是绝对收仍是条件收敛？n2n2解:(1)n1ln(112)ln(112)nnln(112)limn1n1n2级数ln(112)收收敛，n2n进而级数nln(112)为绝对收敛.1n2n10计算Ixy2d,此中D:1y1,0x1.11D1511.计算Ix2y22d,此中D:x2y23.5D212.求由锥面z2x2y2与圆柱面x2y2axa0所围成的立体的体积.8a39五．应用题1．将周长为2p的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问