2023年河北省南宫中学高三下学期第一次联考数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若向量，，则与共线的向量可以是（）A． B． C． D．2．展开式中x2的系数为()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．12803．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（）A． B． C． D．4．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是()A．1 B．2 C． D．5．已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A．内切 B．相交 C．外切 D．相离6．设函数定义域为全体实数，令．有以下6个论断：①是奇函数时，是奇函数；②是偶函数时，是奇函数；③是偶函数时，是偶函数；④是奇函数时，是偶函数⑤是偶函数；⑥对任意的实数，．那么正确论断的编号是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤7．已知是定义是上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．98．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过9．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（）A． B． C． D．10．若实数满足不等式组则的最小值等于（）A． B． C． D．11．将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（）A．6 B．8 C．10 D．1212．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为176，320，则输出的a为（）A．16 B．18 C．20 D．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知定义在的函数满足，且当时，，则的解集为__________________.14．若向量满足，则实数的取值范围是____________.15．若复数满足，其中是虚数单位，是的共轭复数，则________.16．已知点P是直线y=x+1上的动点，点Q是抛物线y=x2上的动点.设点M为线段PQ的中点，O为原点，则三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知等差数列满足，公差，等比数列满足，，．求数列，的通项公式；若数列满足，求的前项和．19．（12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照，，，，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男110女50总计（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.参考公式：，其中.参考临界值：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知函数.（Ⅰ）已知是的一个极值点，求曲线在处的切线方程（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数.21．（12分）求下列函数的导数：（1）（2）22．（10分）设抛物线过点.（1）求抛物线C的方程；（2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【答案解析】

先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.【题目详解】故选B【答案点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.2．A【答案解析】

根据二项式展开式的公式得到具体为：化简求值即可.【题目详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为：化简得到-1280x2故得到答案为：A.【答案点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.3．C【答案解析】

由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可.【题目详解】，，或（舍）.，，.当，时；当，时；当，时，，所以最小值为.故选:C.【答案点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.4．C【答案解析】

画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.【题目详解】不等式表示的平面区域如图：直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，，，，所以阴影部分面积.故选：C.【答案点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.5．B【答案解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r6．A【答案解析】

根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【题目详解】当是偶函数，则，所以，所以是偶函数；当是奇函数时，则，所以，所以是偶函数；当为非奇非偶函数时，例如：，则，，此时，故⑥错误；故③④正确.故选：A【答案点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.7．D【答案解析】

根据是定义是上的奇函数，满足，可得函数的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得，利用周期性可得函数在区间上的零点个数．【题目详解】∵是定义是上的奇函数，满足，，可得，

函数的周期为3，

∵当时，，

令，则，解得或1，

又∵函数是定义域为的奇函数，

∴在区间上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函数是周期为3的周期函数，

∴方程=0在区间上的解有共9个，

故选D．【答案点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．8．D【答案解析】

先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.【题目详解】年份2009201020112012201320142015201620172018累计装机容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量，全球累计装机容量，占比为，选项D正确.故选：D【答案点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.9．B【答案解析】

先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式可求.【题目详解】解：角的终边与单位圆交于点，，故选：B【答案点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.10．A【答案解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．【题目详解】解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）由得，由得，平移，易知过点时直线在上截距最小，所以．故选：A．【答案点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．11．D【答案解析】

推导出，且，，，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．【题目详解】解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，，且，由为等腰直角三角形可知，，设中点为，则平面，∴，∴，解得.故选：D【答案点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.12．A【答案解析】

根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【题目详解】输入的a，b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数，按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16，故选:A.【答案点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案解析】

由已知得出函数是偶函数，再得出函数的单调性，得出所解不等式的等价的不等式，可得解集.【题目详解】因为定义在的函数满足，所以函数是偶函数，又当时，，得时，，所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以不等式等价于，即或，解得或，所以不等式的解集为：.故答案为：.【答案点睛】本题考查抽象函数的不等式的求解，关键得出函数的奇偶性，单调性，属于中档题.14．【答案解析】

根据题意计算，解得答案.【题目详解】，故，解得.故答案为：.【答案点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.15．【答案解析】

设，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得的值.【题目详解】设，由，得，所以，所以.故答案为：【答案点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数相等的条件，属于基础题.16．3【答案解析】

过点Q作直线平行于y=x+1，则M在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.【题目详解】如图所示：过点Q作直线平行于y=x+1，则M在两条平行线的中间直线上，y=x2，则y'=2x=1，x=1点M为线段PQ的中点，故M在直线y=x+38时距离最小，故故答案为：32【答案点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.【答案解析】

（Ⅰ）取中点为，根据几何关系，求证四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.【题目详解】（Ⅰ）取的中点，连接，.如下图所示：因为，分别是线段和的中点，所以是梯形的中位线，所以.又，所以.因为，，所以四边形为平行四边形，所以.所以，.所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为，且平面，故可以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：不妨设，则，所以，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则所以可取.设直线与平面所成的角为，则.故可得直线与平面所成的角的正弦值为.【答案点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.18．，；.【答案解析】

由，公差，有，，成等比数列，所以，解得.进而求出数列，的通项公式；当时，由，所以，当时，由，，可得，进而求出前项和．【题目详解】解：由题意知，，公差，有1，，成等比数列，所以，解得．所以数列的通项公式．数列的公比，其通项公式．当时，由，所以．当时，由，，两式相减得，所以．故所以的前项和，．又时，，也符合上式，故.【答案点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题．19．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，，.【答案解析】

（1）由频率分布直方图可得分数在、之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算的值，结合参考临界值表可得到结论；（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率.由题意，求出分布列，根据公式求出期望和方差.【题目详解】（1）由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，在之间的学生人数为，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科方向文科方向总计男8030110女405090总计12080200又，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为.依题意知，所以（），所以的分布列为0123P所以期望，方差.【答案点睛】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【答案解析】

（Ⅰ）求函数的导数，利用x=2是f(x)的一个极值点，得f'(2)=0建立方程求出a的值，结合导数的几何意义进行求解即可；（Ⅱ）利用参数法分离法得到，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性