因式分解讲义

因式分解知识点1:因式分解的定义分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：①X2-9+8x=(x+3)(x-3)+8( ) ②9x2-4广=(9x+4y)(9x-4y)( )③(x+3)(x—3)=x2—9 ( ) ④x2y—2xy2+xy=xy(x—2y)( )知识点2：公因式公因式：定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定：符号：若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号)系数：取系数的最大公约数；字母：取字母(或多项式)的指数最低的；所有这些因式的乘积即为公因式；例如：多项式-3ab+6abx-9aby的公因式是多项式-8a3b2c+16a2b3-24ab2c分解因式时，应提取的公因式是()A.-4ab2c B.-8ab3 C.2ab3 D.24a3b3cx(m+n)2一y(n+m)4+(m+n)3的公因式是知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1.可以直接提公因式的类型：(1)9a3b2—6a2b4+12a4b3=；(2)an+i一an-i+an=(3)x(a-b)2-y(a-b)4+(a-b)5=(4)不解方程组J2x+y=3 ，求代数式(2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)的值[5x-3y=-2式子的第一项为负号的类型：(1)①一4x2y+6x2y2一8x3y3=②一4(m+n)3—8(m+n)4+12(m+n)2=若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解(特别是用到平方差公式时)如：一8x2+18y2练习：1.多项式：一6ab+18abx+24aby的一个因式是—6ab，那么另一个因式是( )A..一1一3x+4y B..1+3x一4y c一1一3x一4y d..1一3x一4y分解因式一5(y—x)3—10y(y—x)3公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。(若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如 (x-y)6-(y-x)5=(y-x)6-(y-x)5=(y-x)5(y-x-1)例：(1)(b—a)2+a(a—b)+b(b—a)(a+b—c)(a—b+c)+(b—a+c)•(b—a—c)a(a一b)3+2a2(b—a)2一2ab(b一a)练习：把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于( )(A)(a-2)(m2+m) (B)(a-2)(m2-m) (C)m(a-2)(m-1) (D)m(a-2)(m+1)多项式x(y—3)—x3(3—y)的分解因式结果( )A.(y一3)(x+x3) b.(y一3)(x一x3) c.x(y一3)(1+x2) d.x(y—3)(1一x)分解因式：m(x—y)+n(y—x)=(x—y)()—6(x—y)4—3y(y—x)5知识点4公式法分解因式. 公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。即a2-b2=(a+b)(a-b)特点：1、是一个二项式，每项都可以化成整式的平方|・2.两项的符号相反.例如：1、判断能否用平方差公式的类型.(1)下列多项式中不能用平方差公式分解的是( )(A)-a2+b2 (B)-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25mp2(2).下列各式中，能用平方差分解因式的是( )

2、 直接用平方差的类型（1）16x2—9y2 （2）一25x2+1 （3）x4-13、 整体的类型：（1）（m+n）2一n2 （2）一（x+y）2+（2x一3y）24、 提公因式法和平方差公式结合运用的类型（1）m3—4m=.（2）a3一a—练习：将下列各式分解因式（1）（x2+1）—4x2 （2）100x2—81y2； （3）9（a—b）2—（x—y）2；（4）a一a5 （5）一x3+9x （6）（m一n）3—（m一n）（7）（2x-y）-4（2x-y）3二、完全平方式分解因式法完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。即a2+2ab+b2=（a+b）2; a2-2ab+b2=（a-b）2特点：（1）多项式是三项式；（2） 其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3） 另一项是这两数或两式乘积的2倍.1、 判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解TOC\o"1-5"\h\z如：下列多项式能分解因式的是（ ）A.x2—yb.x2+y2 c.x2+y2+yd.x2—6x+92、 关于求式子中的未知数的问题如：1.若多项式x2+kx+16是完全平方式，则k的值为（ ）A.—4B.4 C.±8 D.±42.若9x2―6x+k是关于x的完全平方式，则k=3.若x2+2(m—3)x+49是关于x的完全平方式则m=3、 直接用完全平方公式分解因式的类型x2 44(1)x2+8x+16； (2)—4x2+12xy—9y2； (3)—+xy+y2； (4)9m2+3mn+n24、 整体用完全平方式的类型(1)(x—2)2+12(x—2)+36； (2)9+6(a+b)+(a+b)25、 用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型(1)-4x3+16x2-16x； (2)』ax2y2+2axy+2a2(3)已知：ab=1,x—y=2，求3abx2+3aby2—6xyab的值练习：分解因式(1)x2一4x+4 (2)a2x2+16ax+64 (3)a4一8a2b2+16b4(x(x+y)2—14(x+y)+49(5)9+6(a+b)+(a+b)2（6）3x3-12x2y+（6）3x3-12x2y+12xy2知识点5、十字相乘法分解因式(7)2x2+2x+—2.十字相乘法分解因式:某些多项式分解因式如:分解因式：①x2—7x+10逆用整式的乘法公式：（X+a）（X+b）

这种分解因式的方法叫做十字相乘法。=x2+(a+b)x+ab，用来把a2+6ab+5b2(4)X2+5x+6(5)X2-5X+6(6)X2-5X-6练习:(1)X2+7(1)X2+7X+12(2)X2-8X+12(3)X2-X-12X2+4X-12(5)y2+23(5)y2+23y+22(6)X2-8X-20(7)X2+9Xy-36y(4)X2+5X-6知识点6、分组的方法分解因式如(1)m如(1)m3+4m4一5-20m(2)一4x4+y2+4x2一1练习：(1)9a(1)9a2一4b2+4bc—c2(2)x3+3x2一4x一12(3)x2+2x一6y一9y2(4)9(4)9x2一y2一4y一4xy2—2xy+2y—4小结因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。“一提”是指首先考虑提取公因式；“二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式三项的用完全和平方、差平方公式）；“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法；“四分”是四项以上考虑分组分解法。课后练习：分解因式单元练习一、选择题（每题4分，共40分）下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）（A）2（a一b）=2a一2b （B）m2—1二（m+1）m—1）（C）x2—2x+1=xCx—2）+1 （D）a（a一b）b+1）=^2—ab）b+1）把多项式一8a2b3+16a2b2C2—24a3bc3分解因式，应提的公因式是（ ），(A)—8a2(A)—8a2bc (B) 2a2b2C3(C)—4abc(D) 24a3b3C3下列因式分解中，正确的是（ ）(A)3(A)3m2-6m=m(3m-6)(B)a2b+ab+a=a(ab+b)(D)(D)x2+y2=(x+yl(C)一x2+2xy一y2=—(x一y下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）把一6(x—y)3—3y(y—x)3分解因式，结果是( ).(A)—3(x—y)3(A)—3(x—y)3(2+y)(C)3(x—y)3(y+2)下列各式变形正确的是((A)一a-b=~(a-b)(C)(—a-bI=-(a+bI(B) —(x—y)3(6—3y)(D) 3(x—y)3(y—2))(B)b—a=—(a—b)(D)(b—a)2=—(a—b)2下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是().(A)4x2—1(B)4x(A)4x2—1(B)4x2+4x—1(C)x2—xy+y2 D.x2—x+：乙因式分解4+a2—4a正确的是( ).(A)(2—a)2(B)(A)(2—a)2(B)4(1—a)+a2 (C)(2—a)(2—a)(D)(2+a)2TOC\o"1-5"\h\z若4x2—mx+9是完全平方式，则m的值是( )(A)3 (B)4 (C)12 (D)±12已知a+b=—3,ab=2，则(a—b>的值是( )。(A)1 (B)4 (C)16 (D)9二、填空题(每题4分，共20分)1.2.4a2b+10ab1.2.am+bm=m( )；—x—1=—( )；a—b+c=a—(多项式x2—9与x2+6x+9的公因式是.利用因式分解计算：2012—1992=.如果a2+ma+121是一个完全平方式，那么m=或三、解答题:将下列各式因式分解：(