2022年高中数学第三章不等式1不等关系与不等式第1课时练习含解析人教版必修5

PAGE5-第1课时一、选择题1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关[答案]A[解析]M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴M>N.2．(2013·辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)若a<b<0，则下列不等式不能成立的是()A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．2a>2bC．|a|>|b| D．(eq\f(1,2))a>(eq\f(1,2))b[答案]B[解析]∵a<b，y＝2x单调递增，∴2a<2b故选B．3．已知a<0，－1<b<0，则下列各式正确的是()A．a>ab>ab2 B．ab>a>ab2C．ab2>ab>a D．ab>ab2>a[答案]D[解析]∵－1<b<0，∴1>b2>0>b>－1，即b<b2<1，两边同乘以a得，∴ab>ab2>a.故选D．4．如果a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是()A．ab>ac B．bc>acC．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0[答案]C[解析]∵c<b<a，且ac<0，∴a>0，c<0.∴ab－ac＝a(b－c)>0，bc－ac＝(b－a)c>0，ac(a－c)<0，∴A、B、D均正确．∵b可能等于0，也可能不等于0.∴cb2<ab2不一定成立．5．设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lgeq\r(e)，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a[答案]B[解析]∵0<lge<1，∴b＝(lge)2＝a2<a，c＝lgeq\r(e)＝eq\f(1,2)lge＝eq\f(1,2)a<a.又∵b＝(lge)2<lgeq\r(10)·lge＝eq\f(1,2)lge＝c，∴b<c<a.6．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是()A．lg(x2＋1)≥lg2x B．x2＋1>2xC．eq\f(1,x2＋1)≤1 D．x＋eq\f(1,x)≥2[答案]C[解析]A中x>0；B中x＝1时，x2＋1＝2x；C中任意x，x2＋1≥1，故eq\f(1,x2＋1)≤1；D中当x<0时，x＋eq\f(1,x)≤0.二、填空题7．若a＞b，则a3与b3的大小关系是________．[答案]a3＞b38．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．[答案]x＜y[解析]x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2∴x＜y.三、解答题9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：方式效果种类轮船运输量(t)飞机运输量(t)粮食300150石油250100现在要在一天内运输2000t粮食和1500t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．[解析]设需安排x艘轮船和y架飞机，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x＋150y≥2000,250x＋100y≥1500,x≥0,y≥0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y≥40,5x＋2y≥30,x≥0,y≥0)).10．设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．[解析]根据同底数幂的运算法则．eq\f(aabb,abba)＝aa－b·bb－a＝(eq\f(a,b))a－b，当a>b>0时，eq\f(a,b)>1，a－b>0，则(eq\f(a,b))a－b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0<eq\f(a,b)<1，a－b<0，则(eq\f(a,b))a－b>1，于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.一、选择题1．下列命题正确的是()A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>bC．若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则a<b D．若eq\r(a)<eq\r(b)，则a<b[答案]D[解析]对于A，若c<0，其不成立；对于B，若a、b均小于0或a<0，其不成立；对于C，若a>0，b<0，其不成立；对于D，其中a≥0，b>0，平方后显然有a<b.2．(2014·四川理，4)若a>b>0，c<d<0，则一定有()A．eq\f(a,c)>eq\f(b,d) B．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)C．eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)[答案]D[解析]本题考查不等式的性质，eq\f(a,c)－eq\f(b,d)＝eq\f(ad－bc,cd)，cd>0，而ad－bc的符号不能确定，所以选项A、B不一定成立.eq\f(a,d)－eq\f(b,c)＝eq\f(ac－bd,dc)，dc>0，由不等式的性质可知ac<bd，所以选项D成立．本题也可以对实数a、b、c、d进行适当的赋值逐一排查．3．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是()A．a<eq\f(a2＋b2,2)<b B．a<b<eq\f(a2＋b2,2)C．b<a<eq\f(a2＋b2,2) D．b<eq\f(a2＋b2,2)<a[答案]B[解析]a＝sin15°＋cos15°＝eq\r(2)sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝eq\r(2)sin61°，∴a<b，排除C、D两项．又∵a≠b，∴eq\f(a2＋b2,2)>ab＝eq\r(2)sin60°×eq\r(2)sin61°＝eq\r(3)sin61°>eq\r(2)sin61°＝b，故a<b<eq\f(a2＋b2,2)成立．4．已知－1<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝eq\f(1,1＋a)，比较A、B、C的大小结果为()A．A<B<C B．B<A<CC．A<C<B D．B<C<A[答案]B[解析]不妨设a＝－eq\f(1,2)，则A＝eq\f(5,4)，B＝eq\f(3,4)，C＝2，由此得B<A<C，排除A、C、D，选B．具体比较过程如下：由－1<a<0得1＋a>0，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>BC－A＝eq\f(1,1＋a)－(1＋a2)＝－eq\f(aa2＋a＋1,1＋a)＝－eq\f(a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋\f(3,4))),1＋a)>0，得C>A，∴B<A<C．二、填空题5．给出四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推得eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的是________．[答案]①、②、④[解析]eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)⇔eq\f(b－a,ab)＜0，∴①、②、④能使它成立．6．a≠2、b≠－1、M＝a2＋b2、N＝4a－2b－5，比较M与N[答案]M＞N[解析]∵a≠2，b≠－1，∴M－N＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2＞0，∴M>N三、解答题7．某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解析]设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数．(2)车队每天至少要运360t矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,10×6x＋6×8y≥360,0≤x≤4,0≤y≤7))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,5x＋4y≥30,0≤x≤4,0≤y≤7)).8．已知a、b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b[解析]∵2a＋8b－ab＝0，∴eq\f(8,a)＋eq\f(2,b)＝1，又a>0，b>0，∴a＋b＝(a＋b)(eq\f(8,a)＋eq\f(2,b))＝10＋eq\f(8b,a)＋eq\f(2a,b)≥10