教案：“一元二次方程求根公式”背景下的探究活动

数学八年级第一学期“一元二次方程求根公式”背景下的探究活动上海市静安区教育学院附属学校蔡元凯【内容确定】

本课教学基于上教版八年级第一学期第十七章阅读材料《关于一元二次方程的求根公式》，主要内容为探索赵爽在《勾股圆方图注》中“已知两数和、两数积，求两数”的问题解决方法，并由特殊到一般逐步探究一元二次方程根与系数关系.阅读材料中简述了古巴比伦人、古希腊人、我国古代数学家赵爽、阿拉伯数学家花剌子米、法国数学家韦达研究一元二次方程的历史及取得的成就.阅读过程中学生会产生较多的疑问，比如：为什么古巴比伦人对负根略而不提？为什么古希腊人不承认无理根？赵爽利用两数和与积是怎样求得两数的？这个类似求根公式的结果是怎么得来的？为什么要引进代数符号？许多问题具有一定的探究价值.其中，通过对“已知两数和、两数积，求两数”问题解决方法的探究过程，可以让学生充分体验用几何方法解决方程问题，体会某些直观结论所可能产生的局限性（比如负根问题），可以帮助学生解决其他的相关疑问.再则，将上述实际问题“两数和与积”与一元二次方程“两根和与积”关联起来，加以整合，以此为起点开展探究活动，探究一元二次方程根与系数关系，是符合学生认知特点的.通过对数字系数方程到二次项系数为1的字母系数方程，再到更为一般的方程中“根与系数关系”的观察、归纳与论证，从特殊推广到一般，让学生感受到了在引进符号系统后，对这一问题进一步研究的严谨性与简捷性，这也是学科理性精神的价值所在. 基于以上分析，本节课的教学重点确定为：探究由面积法解决方程问题以及一元二次方程根与系数关系.【学情分析】

第一个学情分析：

通过以往的学习，学生已初步掌握了建立方程模型的方法，对方程思想有了一定的认识，并且积累了一定的阅读、分析、质疑等基本数学活动经验.在无理数等知识的学习过程中，已感受到平方数与正方形面积之间的联系.本节课上的探究活动需要学生能联系几何图形解决代数问题，这一经验在七年级学习整式这一章的乘法公式（平方差公式、完全平方公式）时已经有所涉及.第二个学情分析：

在用几何方法解决代数问题的过程中，如何建立平方数与正方形面积的联系，如何根据条件找到将长方形问题转化为正方形问题的方法，如何发现、归数学纳、推广结论等，这些都是学生在本节课的学习过程中可能会遇到的困难.其中，根据学生的认知情况，我预判最为困难的是如何根据条件“两数和、两数积”构造图形，将长方形问题转化为正方形问题来解决.这也是本节课的阅读与探究两大环节的关系所引发的难点，所以我将它确定为本节课的教学难点.【教学目标】

1.通过阅读课本，引发思考、提出问题，了解人类认识和研究一元二次方程解法的历史；

2.探究由面积法解决方程问题的方法以及一元二次方程根与系数关系，体 会数形结合、从特殊到一般、转化等数学思想，初步形成对话交流与自 发合作的意识；

3.在问题探究的过程中，体会几何、代数方法之间的联系及各自的优势， 感悟前人解决问题的思维方法，感知代数符号系统建立的意义.【教学过程】教学环节教学过程设计意图一、阅读思考提出问题阅读课本第四十九页的阅读材料《关于一元二次方程的求根公式》.问题1：人们在研究一元二次方程的过程中，经历了怎样的历程？你有什么感受？还有什么疑问？引出赵爽“已知两数和，两数积，求这两数”问题的方法.通过阅读课本，初步了解人类认识和研究一元二次方程的历史，感受数学文化.回望历史，感承先贤研风.同伴交流阅读后的感受和疑问，引发学生发现并提出问题，从而引出赵爽“已知两数和，两数积，求这两数”的问题，作为探究的内容.二、自发合作探索方法问题2：已知长方形的周长是14，面积是5，求长方形相邻两条边的长.学生会利用方程解决问题.问题3：赵爽是用这一方法解决这个问题的吗？他用的是什么方法？ 阅读课本第四十九页的第四段内容和第三段内容.用一个具体问题作为研究起点，先通过列方程方法解决，发现长方形相邻两边长与一元二次方程两根的关系.再通过二次阅读让学生建立起平方数与正方形面积的联系，尝试用几何方法解决代数问题.借助拼图将长方形问数学利用纸片，通过拼图，解决问题.学生代表交流探究的过程与结果.题转化为正方形问题，利用图形直观进行探索，找到问题解决的方法，体会数形结合的思想.通过自发合作，形成合作意识，分享交流探究的过程与结

果，构建民主平等的课堂氛围，提升交流表达能力.三、推广归纳发现规律问题4：已知长方形面积为q，且相邻两边的和为p，求长方形相邻两边的长. 发现二次项系数是1的一元二次方程根与系数关系.探究p、q满足的条件.将图形上小正方形面积p2-4q与一元二次方程x2-px+q=0的根的判别式建立联系.再次阅读课本第四十九页的第四段内容，进一步理解：由“x1+x2=2c x1x2=b得�1�2=2c±2ᇒ2−4�

”的含2义.在学生交流探究的结果并归纳方法之后，进行问题的一般化，类比发现规律，初步形成符号化的意识.借助几何画板，通过观察图形以及动态演示，得到二次项系数是1的一元二次方程根与系数关系的结论以及p、q需要满足的条件，为在更一般的情况下用代数的方法进行证明的必要性埋下伏笔.然后，通过几何画板的动态呈现，揭示一元二次方程根的判别式的几何意义与图形元素的代数意义之间的联系，帮助学生把数与形结合起来研究问题，有利于培养学生多角度思考问题的习惯.最后，通过重读课本，深入理解赵爽用面积法解决“已知两数和，两数积求两数”的问题.数学四、猜想论证总结规律问题5：如果一元二次方程ax2bxc0a0的两个实数根是x1、x2，那么两根与系数之间具有怎样的关系？（1）怎么得到？ （2）结论正确吗？如何说明理由？ （3）a、b、c需要满足怎样的条件？将问题进一步一般化.通过转化、猜想，归纳得出结论，并用代数法来证明结论，通过对一元二次方程字母系数a、b、c的讨论，让学生体会到符号表示的重要性、代数符号系统的严谨性，它使人们的思路和书写更加紧凑有效.五、概括小结延伸问题 1.本节课我们经历了一个怎样的探究过程？ 2.对于这一系列的探究过程，你有什么体会与感受？3.作业：已知长方形面积为q，且相邻两边的差为p，如何用面积法求相邻两边的长？建议：（1）小组合作完成；（2）从特例起步，类比本课中由问题2到问题4的研究方法；（3）记录研究过程，说明研究结果或疑惑.通过回顾整个探究的过程，体会数形结合、从特殊到一般等数学思想方法，感受数学文化.最后再回到阅读材料中的花剌子米问题，引发学生新的思考，为学生运用本节课所学的探究方法进行课外的再探究创造了条件，从而把探究活动从课内延伸到课外.【课后反思】1.问题组合，引发思考，逐层探究.问题思考探究问题1：人们在研究一元二次方程的过程中，经历了怎样的历程？你有什么感受？还有什么疑问？思考1：为什么古巴比伦人对负根略而不提？思考2：为什么古希腊人不承认无理根？思考3：赵爽利用两数和与积是怎样求得两数

的？思考4：这个类似求根公式的结果是怎么得出来选择学生提出的关于

“赵爽如何解决‘已知两数和、两数积，求两数’的问题，并如何得到解这一类问题的一般公式.”这一疑问进行探究.数学的？思考5：为什么要引进代数符号？问题2：已知长方形的周长是14，面积是5，求长方形相邻两条边的长.思考1：设两个未知数建立方程组求解.思考2：设一个未知数列方程求解.学生演算，学生叙述解决问题的代数方法.问题3：赵爽是用这一方法解决这个问题的吗？他用的是什么方法？思考1：赵爽不是用的这个方法，他可能会用什么方法？思考2：用一张长方形纸片折纸可以出现正方形.思考3：把两张长方形纸片叠合可以出现正方形.思考4：用四张长方形纸片首尾叠合拼出正方形.思考5：用四张长方形纸片首尾相接拼出正方形.让学生再次阅读课本第三段和第四段内容.组织学生进行小组合作，探究解决问题的方法.请解决了问题的小组和没有解决问题的小组分别来交流一下方法和经验.问题4：已知长方形面积为q，且相邻两边的和为p，求长方形相邻两边的长.思考1：可以用拼图的方法来解决这一问题.思考2：可以用列方程的方法来解决这一问题.对比这个问题的几何与代数两种解法，建立形与数之间的联系，引导学生观察并发现结论.回顾并解决一开始提出的疑问.问题5：如果一元二次方程ax2bxc0a0的两个实数根是x1、x2，那么两根与系数之间具有怎样的关系？思考1：对方程两边同除以二次项的系数a，把问题转化成二次项系数是1的一元二次方程的根与系数关系来解决.思考2：类比并猜想结论，然后用求根公式进行验证.组织学生先独立思考，尝试用不同方法来寻找并验证结论，再进行集体交流，互相学习，感知代数符号系统建立的意义.问题组合是后“茶馆式”教学的脚手架，在这里引发了学生的思考，激发了学生的探究.数学2.合作学习，开展探究，突破难点.课前给每个学生发一张长方形纸片，课上在拼图环节的探究过程中，让学生自发寻找合作伙伴，组成小组进行探究，可以两个人或者三个人等进行合作，但要得到本节课的结论，需要四个人的合作探究.让学生在合作的过程中逐渐认识到充分运用条件的重要性，从而突破本节课的教学难点.