导数中的零点问题

试卷第试卷第页，总22页想去分析问题，使问题的求解有直观的整体展现.(2)研究方程根的情况，也可通过分离参数的方法，转化为两函数图象公共点个数的问题处理，解题时仍要利用数形结合求解.14.(1)7%+y-10=0；(2)2【解析】试题分析：(1)求导，利用对应导函数为0求出。值，再利用导数的几何意义进行求解；(2)求导，讨论导函数的符号变化确定函数的单调性和极值，通过极值的符号确定零点的位置，再利用零点存在定理进行求解.试题解析：(1)因为尸(%)=2"3-”"-2，所以/(2)=16-22a-2=0,解得a=7，则%24广(1)=-7,即f(%)在点(1,f(1))处的切线方程为y-3=-7(%-1),即7%+y-10=0；(2(2)f(%)=%2+--aln%,

%...7(%)=2%3-ax-2(%>0)令g(%)=2%3-a%-2，贝Ug，(%)=6%2-a由a>0,g'(%)=0，可得%=r

在0,V6I上单调递减6,+8上单调递增由于g(0)=-2<0,

6I时，g(%)<0又g(1)=-a<0，故g(%)在(1,+8)上有唯一零点，设为%,1从而可知f(%)在(0,%])上单调递减，在(%,+8)上单调递增11由于f(%)有唯一零点%，故%=%，且%c>10100又2ln%--^―-1=0.…..(*)0%3-10令h(%)=2ln%-—3——1,可知h(%)在(1,+8)上单调递增0%3-10由于h(2)=2ln2-10<2义0.7-10<0,h(3)=2ln3-29>0,7726故方程(*)的唯一零点x£(2,3)，故［x］=2时，g(x)有两个零点.【解析】试题分析：(1)m=1故方程(*)的唯一零点x£(2,3)，故［x］=2时，g(x)有两个零点.【解析】试题分析：(1)m=1时f(x)=ex-1-xlnx,f'(x)=ex-1-lnx-1,要证f(x)在(。,十8)上单调递增，只要证:f'(x)>0对x>0恒成立，只需证明e-1>x(当且仅当x=1时取等号).x>lnx+1(当且仅当x=1时取等号)，即可证明f'(X)>0；(2)求函数的导数，根据函数极值和导数的关系，分m=1m>1m<1讨论，即可判断函数g(x)零点的个数.试题解析：(1)m=1时，f(x)=ex-1-xlnx,f'(x)=ex-1-lnx-1,要证f(x)在(0,+8)上单调递增，只要证：f'(x)>0对x>0恒成立，令i(x)=ex-1-x，贝Ui'(x)=ex-1-1,当x>1时，i'(x)>0,当x<1时，i'(x)<0，故i(x)在(-8,1)上单调递减，在(1,+s)上单调递增，所以i(x)>i(1)-0,即ex-1>x(当且仅当x-1时等号成立)，令j(x)=x-1-lnx(x>0)，贝Uj(x)=x—1x当0<x<1时，j'(x)<0,当x>1时，j'(x)>0,故j(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+s)上单调递增，所以j(x)>j(1)=0,即x>lnx+1(当且仅当x=1时取等号)，f'(x)=ex-1-lnx-1>x-(lnx+1)>0(当且仅当x=1时等号成立)/G)在(0,+8)上单调递增.(2)由g(x)=ex-m-lnx-m有g'(x)=e-m-1(x>0)，显然g'(x)是增函数，x令g'(x0)=0,得ex0-m则x£(0,x］时0x0g1(x)<0em=xex0,m=x+lnx,000・,.g(x)在(0,x0］上是减函数x£［x,+8)时，g'(x)>0,0在［x0,+8)上是增函数，015.(1)见解析(2)当m<1时g(x)没有零点；m=1时，g15.(1)见解析(2)当m<1时g(x)有极小值，g(x)=ex0-g(x)有极小值，g(x)=ex0-m—lnx—m=——2lnx—x,00x000①当m=1时②m<1时，g(xXu-=g(D=0，g(x)有一个零点1；极小值g(x)>g(1)=1—0—1=0,g(x)没有零点;0③当m>1时g(x0)<1—0—1=0，又g(e-m)=ee-m—m+m—m=ee-m—m>0,又对于函数y=ex—x-1.,.当x>0时，y>1—0—1=0，即ex>x+1,...g(3m)=e2m—ln3m—m>2m+1一ln3m—m=m+1一Inm—ln3,令t(m)=m+1—lnm—ln3，贝11'(m)=1——=m_1,mm・二m>1,.・.t'(m)>0一•.t(m)>t(1)=2—ln3>0,・•.g(3m)>0,3m=3x+3lnx>x,・•.g(x)有两个零点，综上，当m<1时，g(x)没有零点;m=1时，g(x)有一个零点；m>1时，g(x)有两个零点.【点睛】本题题考查导数的综合应用利用函数单调性极值和导数之间的关系是解决本题的【点睛】本题题考查导数的综合应用利用函数单调性极值和导数之间的关系是解决本题的关键.，对于参数要进行分类讨论，综合性较强，难度较大.16.(1)y=x-1(II)见解析.【解析】试题分析：(I)求出f(x)在x=0的导数即可得切线的斜率，也就得到在(0,f(0))'(x)>0,(兀\当xG-,兀时，导数有唯I27,f(0)=f(兀)<0'(x)>0,(兀\当xG-,兀时，导数有唯I27,f(0)=f(兀)<0可以判断f(x)在一冗、八xG0,-时，利用三角函数的符号可以判断出fI27J冗、一一的零点x且为函数的极大值点.结合f->0I27(0,x0)存在一个零点，在(x0,冗)上存在一个零点，故在［。,冗］上存在两个不同的零点.解析：(I)当a=1时，f(x)=exsinx—1,所以f，(x)=e(sinx+cosx),故f'(0)=1

又f（0）=—1,故曲线在（0,f（0））的切线方程为y=x-1.(II)f(x)=eaX(asinX+cosx).(一—\当Xg0,-时V27因为a>0,sinX>0,cosx>0，故f'(x)>0(一—\当Xg0,-时V27V27调增函数;aeaxaeaxcosx—+tanxIa)1令tanx+—=0,xg

a有唯一解X=X0.f，（x）＞0，f（x）在序X上是单调增函数;当Xg（X,冗）时，f,(X)<00因为f（X）的图像是不间断的，f（X）在（X,冗）上是单调减函数;0所以f（x）在（0,x）上是单调增函数，

0在（X0,兀）上是单调减,f(0)=f(—)=-1<0f(x)>f(—V2》0，根据零点存在定理和f（x）