2004年高考数学(全国卷Ⅱ文科)

全国卷数学（文）第全国卷数学（文）第页（共8页）19．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.求：（I）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；（II）A组中至少有两支弱队的概率.20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，ZACB=90°,AC=1,CB=V2，侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M.（I）求证CD丄平面BDM；（II）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.21．21．本小题满分12分）若函数f（x）=3x3-2ax2+（a-1）x+1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6,+8）上为增函数，试求实数a的取值范围.22．（本小题满分14分）给定抛物线C：y2二4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.（I）设l的斜率为1,求OA与OB夹角的大小；（II）设FB=九AF,若九w[4,9]，求/在y轴上截距的变化范围.2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修II）参考答案一、选择题CABCACDBDBBC二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．14．13．14．515．16.②④三、解答题17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.解：（I）设数列｛a｝的公差为d依题意得方程组n解得a1=5,d解得a1=5,d=4.a+4d=21,1所以｛a｝的通项公式为a=4n+1.nn(II)由a=4n+1得b=24n+1,所以｛b｝是首项b=25，公式q=24的等比数列.nnn1于是得｛b｝的前n项和Sn25X于是得｛b｝的前n项和Sn25X(24n—1)32X(24n—1)n24-11518．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力满分12分.31(I)证明：©sin(A+B)=5，sm(A一B)=5,3sinAcosB+cosAsinB=—5sinAcosB-cosAsinB=—5sinAcosB=—5cosAsinB=—5tanA

o=2.tanB所以tanA=2tanB._兀(II)解：©-<A+B<兀，tanA+tanB

即1-tanAtanBsin(A+B)=3,34，将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan2B-4tanB-1=0.解得tanB解得tanB=2+^622Ij6,舍去负值得tanB=扌―tanA=2tanB=2+、：6.设AB边上的高为CD.CDCD3CD则AB=AD+DB=+=.tanAtanB2+J6由AB=3，得CD=2+*6.所以AB边上的高等于2+丁6.19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.C1C11（I）解法一：二支弱队在同一组的概率为c^+c5=7-88故有一组恰有两支弱队的概率为1-—=7-解法二：有一组恰有两支弱队的概率c2解法二：有一组恰有两支弱队的概率c2c2—3_+C4c2c2—3_5C488C2C2C3C11（II）解法一：A组中至少有两支弱队的概率若5+十=C4C4288解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1,由于对A组和B组来说，至1少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为-20．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分12分.解法一：（I）如图，连结CA]、AC.CM,则CA]=f2.CB=CA]='•••△CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A]B的中点，.•.CD丄A”.VA]C1=1，C1B1^-'2,.・.A1B1=\3又BB1=1，A1B=2.•/△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点,1迈••・CD=—Ag,CD=CC，又DM=—AC=,DM=C,M.112121•△CDM^^CC1M,ZCDM=ZCC1M=90°，即CD丄DM.因为A”、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD丄平面BDM.（II）设F、G分别为BC、BD的中点，连结BQ、FG、B1F，则FG//CD,FG=*CD.1.•・FG=—，FG丄BD.2由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=2a1B=1，所以△BB1D是边长为1的正三角形.于是B1G丄BD,B]G=丁.・•・ZB1GF是所求二面角的平面角，=（爭2+（2）2-1=_d3又B]F2=B]=（爭2+（2）2-1=_d3wBG2+FG2-BF2cosZBGF=t1——12BG-FG1即所求二面角的大小为兀-arccosf.解法二：如图，以C为原点建立坐标系.（I）B（迈，0，（I）B（迈，0，0），B1（迈,1，0），A1（0，1，1），DV是，M（〒，1，0）211CD=（,,）,A1B=（、.2,-1,-1）,2221DM=（O’*,-》，CD丄DM.则CD-Af=0,CD-DM=0,.•CD丄A1B,CD丄DM.因为A”、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD丄平面BDM.（II）设BD中点为G,连结B1G，则全国卷数学（文）第11页（共8页）全国卷数学（文）第全国卷数学（文）第13页（共8页）全国卷数学(文)第全国卷数学(文)第12页(共8页)g(孚航)，BD二(諾4442

2、2)，B1G二(孚冷uuuruuuurBDgBG=0,.•.BD丄BG.又CD丄BD,11uuuruuuur・•・CD与BG的夹角9等于所求的二面角的平面角.1CD-BG爲:.cos9=1=--ICDI-1BGI31所以所求的二面角等于―所以所求的二面角等于―arcQ21.本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数f(x)的导数f'(x)=x2-ax+a—1.令f'(x)=0，解得x=1或x=a-1.当a-1<1即a<2时,函数f(x)在(1,+8)上是增函数，不合题意当a-1>1即a>2时,函数f(x)在(-8,1)上为增函数，在(1,a-1)内为减函数，在(a-1,+Q为增函数.依题意应有当xg(1,4)时,f'(x)<0,当xg(6,+s)时,f'(x)>0.所以4<a-1<6.解得5<a<7.所以a的取值范围是[5，7].22.本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分14分。解：(I)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为y=x—1.将y=x-1代入方程y2=4x,并整理得x2-6x+1=0.设A设A(*y1),B(x2,y2),则有x+x=6,xx=1.1212OA-OB=(x,y)-(x,y)=xx+yy=2xx-(x+x)+1=-3.112212121212IOAIIOBI=x2+y2-x2+y2=xx[xx+4(x+x)+16]—V41.'1122121212

.uuruur.

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cos：：OA,OB；二OA-OB^.'4141IOAIIOB^.'4141所以OA与0B夹角的大小为兀-arccos3^4!41（II）由题设FB二九AF得一1，y2)-(1-X1'-y1)，fx-1=九(1-x),即｛21Ly=―入y21.由②得y|八2yj,联立①、③解得x2二九，依题意有九＞0.・•・B（九,2j!）,或B（九2、，％）,又F（1,0），得直线l方程为(九一1)y二2/k(