2016年全国卷1理科数学

WORDWORD版本WORDWORD版本2016年高考真题理科数学（全国I卷）理科数学考试时间：分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题（本大题共12小题，每小题分，共分。）1.设集合冲1.设集合冲_{"-心卜，罔2工-3＞【）},则彳门月=设（】+i）x=I卜戶，其中兀，丿实数，则兀*戶A.1B.伍C.J亍D.2已知等差数列側」前9项的和为27,细=杲，则坷側=A.100B.99C.98D.97某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A.C.D.A.C.D.已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值m+n3m—n围是如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几28^何体的体积是，则它的表面积是A.17兀B.l&rC.20/rD.9.执行右面的程序框图，如果输入的x0,”h克1,则输出x,y的值满足A.兀B.f=3工c.»=D.y=5x以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4：＞2,|DE|=Z、.弓,则C的焦点到准线的距离为A.2B.4C.6D.8平面"过正方体ABCD-ABCD的顶点A,^//平面CBD,仅丨平面ABCD=m,mI平面AB111111BA=n,则m、n所成角的正弦值为11A.B.C.主D.1223312.已知函数12.已知函数/O）=sin（wzxI护）0＞〔）「护乞为fco的零点，为445T571、单调，则仞的最大值为y=fM图像的对称轴，且在—^―单调，则仞的最大值为IK3f）丿A.11B.9C.7D.5TOC\o"1-5"\h\z填空题（本大题共4小题，每小题分，共分。）设向量a=（m,1）,b=（1,2）,且Ia+b|2=|a|2+|b|2,则m=.（2龙t\庁『的展开式中，X3的系数是.（用数字填写答案）设等比数列｛耳｝满足a+a=10,a+a=5,则aa…a的最大值为-132412n某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料•生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时•生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元•该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元・简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题分，共分。）A.4BC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知EsMgssEibc^A｝=c.求C；-3%汽若c=门A1BC的面积为，求」ABC的周长•如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,/彳F"9D",且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是6If-证明：平面ABEFI平面EFDC;求二面角E-BC-A的余弦值・某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年共需更换的易损零件数，刃表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.求X的分布列；若要求r(X<n)>i).5,确定扭的最小值；以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与昇=20之中选其一，应选用哪个？设圆f$宀15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，1交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|以田舫|为定值，并写出点E的轨迹方程；设点E的轨迹为曲线C,直线1交C于M,N两点，过B且与1垂直的直线与圆A交于P,Q11两点，学.科网求四边形MPNQ面积的取值围.已知函数有两个零点.求a的取值围；设是f（x）的两个零点，证明：石十兀C2.请考生在以下3题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】（请回答28、29题）如图，AOAB是等腰三角形，zAOB=120°.以0为圆心，goA为半径作圆.【选修4—4：坐标系与参数方程】（请回答30、31题）\x=acosf在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数,a〉0）・1[y—1+rrsm?在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系牧曲线C:p=」1心旳02【选修4—5：不等式选讲】（请回答32、33题）已知函数/⑴十门-l2x_s.证明：直线AB与口0相切；点C，D在©0上,且A，B，C，D四点共圆，证明：AB||CD.说明C是哪一种曲线，并将C的方程化为极坐标方程；11直线C的极坐标方程为灯=%，其中％满足tan%=2,若曲线C与C的公共点都在C上,3123求a．在答题卡第（24）题图中画出f（工.）的图像；

y\01-*求不等式/⑴〉1的解集•答案1.D2.B3.C4.B5.A6.A7.D8.填空题1.D2.B3.C4.B5.A6.A7.D8.填空题13.14.1U15.G416.216(X)0简答题17.<>•f18.19.见解析2（单选题C9.C10.B11.A12.B1916-17^18*19*=2321^22^0.04q0.16^0.24q0.24敲0.20.080.04单21.1923.畀24.(”/())25.3)43(0、+列；27.28.29.见解析30.圆，F纽胃MI亍卄31.解析单选题2.因为工（1单选题2.因为工（1十『）=11必所以故选B.［9气i/=273•试题分析：由已知，戶斤以吗=-\td=\f0,^=0,+9丸/=—1+99=9&故选C.4.试题分析：如图斤示，画出时间轴：TOC\o"1-5"\h\z7:307:407:508:00脣1()8:208:30ACDH小明到达的时间会随机落在途中线段舁怡中，而当他的到达时间线段貝C或"卅时，才能„1（）1101办证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率，故选B.4025.试题分析：表示双曲线，则（m'I禅和'町m+n3/n—n「.卅＜n＜3m'，由双曲线性质知：【宀=（也亠I”）I（Am1茂）=4rn~，其中亡是半焦距焦距7.c-2-2\m\-4,解得网T，.•.—】＜丹＜3'故选A.6.试题分析：该几何体直观图如图所示：6.试题分析：该几何体直观图如图所示：亍，解得氏2,所以1故选亍，解得氏2,所以1故选A-出X3它的表面积是住的球面面积和三个扇形面积之和乂斗XK7.试题分析：函数/（X）=2x『在［叮习上是偶函数，其图像关于-F轴对称，因为/（?〕=林＜xCi'所以排除圮E选项；当王厂［山习时，”讨二处'子有一零点，设为凡，当工mj时，/co为减函数，当工丘（％2）时，/（刃为增函数.故选D.

〒J-11&试题分析：用特殊值法，令Q卡，h2，得，选项A错误，II.11I，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．1=1，不满足fI/>S61=1，不满足fI/>S69.试题分析：当工規y1屮1时，工=2]]n=2tx=h+=-ty=2x1=2，不满足工2iy2>马&；[3—133，满足；输出，则输出的2222f的值满足”l：=f的值满足”l：=4x，故选C.10.试题解析：如图，设抛物线方程为#=?丹，畀交工轴于点，贝U--44..1（!=2^-2，即"点纵坐标为2J2，则（点横坐标为一，即，由勾股定理知解得卫4，即的焦点到准线的距离为4,故选B.ii.试题分析：如图，设平面（站口n平面ADcu=，平面n平面.4/縄4=/?'，因为fC平面，所以册几伽；玄门，，则用』所成的角等于卅”所成的角，延长舁D，过口作，连接，则为加，同理揣"；为川，而岀川⑴卫叫HAJ*，则册所成的角即为人艮皿所成的角，即为皿F，故册』所成角的正弦值为上一，选A.212.试题分析：因为为/(x)的零点，为/Q0图像的对称轴，所以44託#理、/5兀mi()—Zl/，即—4442Sts⑴36)9.故选B.必I12兀.，所以，又因为44也M7T兀」2JT"亠单调，所以，即仮空］2，由此Q的最大值为36181222a填空题13.试题分析：由|起M「斗曲fI|/>|"，得血Ih，所以也x1+1x2=I)，解得也二—2.14.试题分析：(2厂爲的展开式通项为：(厂=(),1,2广拓)令5—5=2得尸4，所以-V’的系数是2U；=1().15.试题分析：设等比数列的公比为®，由—8•所芋7I如|)_匸宀以，于是当訂二*或冲时，琳企…氐取得最大值”=tu.16.试题分析：设生产产品”、产品*分别为工、-F件，利润之和为^元，那么20.WORD20.WORD版本WORDWORD版本1.5x+0.5y<1503_xr+巧纠y5jci3j^<6(X)?①jr>Qy>().目标函数-?!(MJjc+900y.二元一次不等式组①等价于l(k+3j;<(XM)?②(y>o-作出二元一次不等式组②作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图)，即可行域.7z7将£=210。/十变形，得，平行直线，当直线3900」¥一牛工+話经过点裁时，£取得最大值.解方程组，得常的坐标解方程组，得常的坐标gm)).所以当兀=60,7“山)时，為皿=210("6D+90Dxl〔)0=21^)00故生产产品"、产品*的利润之和的最大值为216000元.简答题17.试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由正弦定理得：工1©"'(祐1.M-usHIsinR-cm/f}-fin「2msC-IWj—sin('TRI*IC兀，M、R、8(0、砒I/?)一炷tiQaO试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由余弦定理得：c'alb'lab-ms('.'7=«2丨方J-2血-£(ulb}£-1«=7a+b=5.•.代M；〔：周长为u\b\e5I5试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：由已知可得Al-IIH；,人］；丨I'li,所以AL'I平面-又AL＜平面Alil-I',故平面AliiJ-I平面EHX：•

试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：过I〉作丙丄F.F,垂足为G,由（I）知X丄平面A13U'-以G为坐标原点，的方向为工轴正方向，（亦为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz-由（I）知为二面角D-A!--V.的平面角，故=60,则卩羽=2，卩X；|=S,可得A（lr4』），H（-3,4期，匕（-可•由已知，八R/'/FF,所以丄怙站平面E1；DC•又平面ABC］）n平面FFM=DC,故AR"CD,CD"FF•由BE//AF，可得Bl-I平面El'lX1,所以ZC：E1'为二面角CBFF的平面角，/（'L.1160•从而可得「（2川汀打）•所以卜；门=卜0・可，1必=（。4川），人6=（—入-4八可，「迈=〔40D}•设是平面BCE的法向量，则所以可取#=卜―可•设用是平面ABCD的法向量，则用-所以可取#=卜―可•设用是平面ABCD的法向量，则用-Af：m-AB=故二面角EBC一人的余弦值为2<1919WORDWORD版本WORDWORD版本21.试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件地为第一台机器3年换掉iI?个零件记事件Q.为第二台机器3年换掉iI?个零件（—1兄由题知珂甸-厲％-厲心一珂叩-厲％）-“气｝-X，鬥电｝-仪WJ-01设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为I6，l7，l8，19，20，21，22』¥才I6）严（舛）尸｛』对02x0.20.04r（x-i7）-r（4）/J｛^）°尸｛坷”'（药）一廿2耳朴彳^dx（>?.-016严（用一1可一厂（心厲坷｝I几舛卩（尽）Ir（4s｝r（^）-02x（）2I02x02I01x（）4-o?/1严（”一丨巧一厂（Hj厂帆）尸（兔）厲殆尸⑷厲均）1厲名）严（幷）一朴戈02x02I0dx0240.2x0.4（）.24厂｛才20）尸（遇）尸卩右）I厂（州｝”｛駕｝I严｛/J厂（尽｝0.4x02I02x0.4I0.2>i0.2U.2珂工一巧一尸｛名｝严｛优）1尸（4（）尸｛鹰）一仆2"2O7.x（）2-OOK尹（工一劝”｝一厂（悅｝尸（应｝一02x02-（）（M所以X的分布列为16-17p18*19*=20^2222*Pq0.04a0.16q0.24中0.24/0.20.080.04就22.试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由（I）知厲恵GX）068,故灯的最小值为19.试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：记F表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当n=l9时，AT=19x200其O.fiS+（l9x200十500）>:0.2+（19x200+2x500）x0.08+（19x200+3x500）x0,04=4040.当应20时，EY=20x200x0,88+（20乂200十500）x0,08+（20x200+2x500）x0,04=4080.可知当川=丄9时所需费用的期望值小于川=20时所需费用的期望值，故应选卅=19.试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：因为|畀门||.W|,故/阳〉二/八「门二八卄心所以|沏||叫故|心|十|必||必|+|处|\4D\.又圆”的标准方程为（.rIifI>2=16,从而|」仍|彳,所以|必|+|必|M.由题设得皿-1,0},从HO,|M|=2,由椭圆定义可得点力的轨迹方程为：:丨-J（川）.试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：当』与工轴不垂直时，设』的方程为”氐（兀一1）伉八）），”（兀,儿）.H）由*y-得（W门）才・I4/一12=〔〕..4+3~TOC\o"1-5"\h\z,8A24妒-12则，斗4A1+3+3所以.[来源：ZXXK]UJ+3

过点亦(1』)且与！垂直的直线朋：，”到朋的距离为，所以K\k+1\PQ\=2'^-('4JIH-l..\PQ\=2'^-(.故四边形的面积\R十1可得当/与x轴不垂直时，四边形磧'M面积的取值围为卩2另、'3).当J与工轴垂直时，其方程为兀=1,卡，丨/"@|&四边形M/WQ的面积为12.综上，四边形耐卩徑面积的取值围为26.试题分析：本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：(I)广(M=(x1”丨九心l)=(x1)3I血)•(i)设"()，则”心〕=(工?疋，八町只有一个零点•(ii)设a>0,则当时，广(QvD;当玄时，厂(工)>0•所以了(工)在(t%!.｝上单调递减，在(1,上单调递增•又=⑵二锐，取力满足内<J)且b<In¥，则/(/j)2)+^(6-1)2=a(ft2-|ft)>0，故/(/｝存在两个零点•(iii)设HO,由fXx)0得兀=丄或工hi(-?⑵•若吃》—?，则ln(-?o)<l,故当主厂仏+对时，厂㈤因此JG)在(1,-ht>)上单调递增•又当a<1时，了3)cD,所以了(口不存在两个零点・若*-冷，则ln(-2u)>l,故当a€(l.ln(-2fO)时，/")CO;当a€(ln(-2^),+^)时，•因此在(1,lnf-2t0｝单调递减，在单调递增•又当玄G时,JG)cD,所以f(口不存在两个零点•综上，&的取值围为^

试题分析：本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：由已知得：/（%）-/（兀｝一“，不难发现-S/1，占/1，故可整理得：旷（若-I）（X.-I）设讹4；：’则呂佔｝-对.兀｝0（町小飞（斗单调递减；当xnl时，0（町沁，｛.（x-2｝卜0（町小飞（斗单调递减；当xnl时，0（町沁，那么，当x<I时，（工-1｝書仗｝单调递增・设仰小，构造代数式：宕(15)宕(15)-^(1m}--—mmjn则’故沟（也）单调递增’有林也）皿｛"）-（）-因此，对于任意的用〉（），£（】丨也）；-对J列•由斛.斗）-£（兀.｝可知禺、也不可能在巩斗的同一个单调区间上，不妨设，则必有Xj<l<x..令刚1片沁，则有宮|1+（1-.勺］卜黑|1一（1一.¥|｝|〈*（2-舟｝：^佔｝筈仪）而2.^>1，心"，呂（瑞在（1,皿）上单调递增，因此：加斗｝Ag｛兀）3?.斗A兀试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：设£是』亦的中点，连结。月，因为⑵=OB^AAOB=120°，所以（）EIA“，/M川二6（r•在中，,即”到直线皿的距离等于圆门的半径