电磁场理论讲义-大学教案

电磁场理论讲义电磁场理论教案教师绪论0.1电磁场理论的研究内容在生产实践和科学研究中，存在大量与电磁现象相关的问题。在以前的学习中，我们有过如电压、电流等电路方面的概念，这些概念可以看作是对电学现象的一种宏观的认识-电压是电势差的表述，电流是大量带电粒子定向运动的结果。而电磁理论则是可以看作从微观的角度去解释这些现象：如电荷之间的相互作用力的规律是怎样的、电流的热效应是如何的。由于是从场的角度研究问题，所以是讨论电磁现象在空间的分布情况。0.2电磁场理论的研究方法.以实验定律作为基础，归纳出一些一般的定律。.从一般形式的规律（Maxwell方程）出发，演绎各种特殊现象。.既注重物理意义，又注重数学演绎。（场论知识）第一章静电场真空中的静电场库仑定律(Coulomb'sLaw)带电物体吸附其他物体的现象说明电荷的力学性质。库仑定律从实验中总结出真空中两个静止电电荷切,仪之间相互作用力的定律为：o图i-i:电荷之间的相互作用力F=史&.皿5- (1-1)4兀4)|r2-rj3其中F为％对42的力，比称为真空介电常数或真空电容率，其值约为8.854xio-12FAn.叠加原理(LinearSuperposition)关于电荷之间的相互作用力的实验规律还表明：一系列点电荷作为整体作用在某一特定点电荷上的电场力等于每个点电荷的电场力的矢量和。电场(ElectricField)电荷之间的相互作用是通过一种中间媒质，以有限的速度传递过去的。电力是通过电场以光速来传递的。电荷在自身周围的空间要激发电场，电场对处于场中的其他电荷有力的作用。为了表征电场的特性，可以引入电场强度的概念。电场中某点电场强度定义为：在该处放置一个单位正的试验点电荷40,其上所受到的电场力，即 FE=— (1-2)qo.电场强度的单位为V/rxio.关于电场强度的定义不仅对静电场适用，对时变场也适用。

.虽然电场强度是通过力来定义的，但是它和电场力是两个完全不同的物理量。电场是独立于试验电荷而存在的。结合库仑定律，容易得到真空中点电荷激发的电场TOC\o"1-5"\h\z (1-3)4兀£o|r-r|3其中r’表示源点的位置，r表示场点的位置，它们是彼此独立的参量。如果令R=r-r,R=|r-r'|=(x-x')2+(y-y')2+(z-z')2,则真空中点电荷的电场还可以表示为 „?_qRE- .__ (i-4)砌)R3 Jw对于N个点电荷所组成的系统，根据叠加原理，空间任意一点的电场为(1-5)1.1.4电荷密度(ChargeDensity)体电荷密度实际中，电荷不会集中于一个点上，而总是分布在一定的空间。物质结构的理论表明，带电体的总电荷应该是某一基本电荷的整数倍。即电荷量不是连续变化的。但是对于实际中的宏观物体，其带电量总是远远大于基本电量，因此可以把电荷的离散分布近似用它的连续分布代替。这样，就可以引入电荷密度的概念 人Jp=lim切=4 (1-6)av'->oAV，dV'注意此时△/'应有1.在宏观上足够小,1.在宏观上足够小,△V，以内的电荷可以看作均匀分布.2.在微观上足够大，以内包含存足娘多的电札当引入电荷密度的概念以后，对于一个体分布带电体，可以看作许多"(r')dV’的叠加，从而由叠加原理的它产生的电场为E=」JP6R— (1-7)4砌)VR3面电荷密度虽然电荷的真实分布是体电荷分布，但是实际中会遇到电荷分布于厚度可以忽略的面积上，此时可以引入面电荷密度im丝2=驾2於一。dV

或者dq=p.,ds'(1-9)线电荷密度与面电荷密度类似，如果电荷沿横截面可以忽略的线型区域分布时，就存在线电荷密度，定义为单位长度上的电荷量2 dopi=hm_j.=或者dq=p.,ds'(1-9)线电荷密度与面电荷密度类似，如果电荷沿横截面可以忽略的线型区域分布时，就存在线电荷密度，定义为单位长度上的电荷量2 dopi=hm_j.=a/-»o△/ d/(1-10)或者d<7=pidf综上三种情况，对于任何电荷分布，可以把它们分成许多元电荷曲，而把每一元电荷看成点电荷，位于r'处的元电荷dq在场点r引起的电场强度为dEl.r-r4兀£（）|r-r|3应用叠加原理，全部电荷在场点i•引起的场强为,J_,E=~~~ rr%4兀£（） |r-r'|3(1-12)(1-13)例1：求线电荷密度为0均匀分布的无限长电荷在真空中引起的电场.图1-2：均匀分布的线电荷如取圆柱坐标系并将线电荷置于z轴，则电场将为轴对称且与z无关。由与电场E于圆柱坐标中的z,夕均无关，因此可以在z=O,夕=0的。轴上取一场点而不失一般性。考虑z'处的元电荷dq=p/dz,由对称性可知电场仅存在方向的分量，故而只考虑元电荷产生的电场在p方向上的分量1p/（z'）dz' pidz'pp/dz'pdE„=dEcos3= cos0= ___= （1-14）" 4兀£（）R2 4兀匐R2r 47rcos2+z2）3"

从而有 J 「K="闻8dz'-01-(1-15)(1-16)上"dEp= ~ —2 (1-15)(1-16)4^0-oo(P+Z) 2兀£(P或者E=*一如

2兀£印1.1.5点电荷的数学表述-狄拉克函数(DiracDeltaFunction)点电荷可以视为一个体积很小而密度很大的带电球体的极限。为了从数学描述点电荷的电荷密度，可以使用狄拉克函数的概念。我们注意到点电荷的分布具有如下的性质：除了在电荷所在的点外，电荷密度为零。整个空间的电荷总量为电荷带电量。与点电荷的这两个性质相对应，我们引入具有如下性质的一维狄拉克函数对于x/=a有<5(x-a)=0。如果积分区域包含x=a这一点，疝<5(x-a)dr=lo对于三维情况，在直角坐标系中，有<5(r-r0)=<5(x-x0M(>一Vo)d(z-z0) (1-17)三维狄拉克函数具有如下性质：对于r/=ro有d(r-r0)=Oo如果积分区域V'吟°这一点，则vV-ro)dV，=>引入上述狄拉克函数后，点电荷的电荷的电荷密度可以表示为P(r)=qd[r'-r0) (1-18)对于N个分离点电荷，电荷密度分布可以表示为p(r')= %6(r'-r,) (1-19)狄拉克函数还具有如下重要性质d(x)=d(-x)对于包含x=a的区间，%/(x)d(x—a)d_r=/(a)(筛选性质)。对于包含x=a的区间，'有./(x)d'("-“)dx=J(“)借助狄拉克函数，我们还可以表示出线电荷和面电荷密度。例如对于在Z=O的平面上密度为小的面电荷可以表示为而位于z轴的密度为P/的线电荷可以表示为"血x”(y)。1.2静电场的散度与旋度高斯定理(Gauss'sLaw)人们曾经用电力线的概念来描述电场，电力线的切线方向表示电场的方向,电力线的密度表示电场强度的大小。而从数学上可以用电场在某一面上的通量来表示电力线的密度，即EYS。下面我们考虑点电荷产生的电场在空间某一面上的通量。如图1-3所示，电场在面元dS上的通量为图1-3：点电荷在面元上的通量qCOS0qE-dS=E-ndS=odS= dQ (1-20)4兀qH4兀£0其中dQ为面元dS对点电荷所张的空间角。如果我们选择一个封闭的简单曲面进行积分，则有I{、k q/网ifqliesinsideS , 、E.dS=f . (1-21)s oif<7liesoutsideS式(1-21)为单个点电荷积分形式的高斯定理。对于多个电荷，由叠加原理容易得到1 1xi (1-22)E-dS=七。a其中％是位于S内部的电荷。而对于连续分布的体电荷，有fIJE•dS=-p(r)dV (1-23)£0VV这就是积分形式的真空中的高斯定理。上面的高斯定律是通过库仑定律导出的，它适合于静电场的情况。其直观物理图像是单位电荷激发比0根电力线，它反映的电荷和电力线的关系，即使在运动电荷的一般情况下，实验和理论分析都没有发现不符合的地方。也就是说,在普遍的情况下，无论是静止的还是运动的电荷，高斯定理都成立。1.2.2静电场的散度(divergence)f h由积分形式的高斯定理，结合散度定律yV・EdV=sE-dS可以得到J(V-E-p/M)dv=o (1-24)v由于上式对于任何体积丫都成立，我们可以得到P , 、V•E=— (1-25)跖这就是微分形式的高斯定律。与积分形式的高斯定律一样，它也是在普遍的情况下成立。静电场的散度还可以直接通过对式(1-7)求散度得到。其中我们需要用到关于R的运算TOC\o"1-5"\h\zC) R▽— =— (1-26)(R) R3V2~=-4兀d(r-r') (1-27)R式(1-7)可以写为 , )E(r)=--p(r)V-dV' (1-28)4兀£0v' R两边取散度得到 rI()S▽•E=-,P(r)V2-dV'=— "(F)汉r-r')dV'=3(1.29)4兀4)v, R £0v £0例2:半径为。的球内，均匀分布着电荷，总电量为小求各点的电场，并计算电场E的散度(课本第7页)。图1-4：高斯面解：采用球坐标系，置球心与坐标原点。由于电荷分布的对称性，电场E只有?•方向上的分量，并且在与带电球同心的球面上电场E的值处处相同。因此，图1-5：球坐标系可以取半径为r的同心球面为高斯面，如图1-4所示。高斯面上各点与面元dS的方向相同。于是，利］积分形式的高『斤定理有E•dS=ErdS=4兀尸Er=如 (1-3。)s s £。其中为高斯面内电荷的总量。当r>。时有gm=<7；而当r<a时，有<?汨=qP后,从而有4兀户&={£0。3ifr>aifr<a(1-31)从而得到电场为{—unE=47rcor3ST.4底0。3r<a(1-32)电场的散度可以在球坐标系进行计算1d2 1 。1dE,p1d2V-E=户打O+rsinffdff(sinOEo)+rsin6即r2dr(1-33)当〃>a时=q/47V£or,所以i°2qV-E==26(r：°2)=。r2dr 4万£rz(1-34)当，,v〃时，Er=qr/^7t£Qa1d&E=/加2qr q q i= 1 - ・4兀£a， £4兀凉£V0 O3 0ball(1-35)显然，与微分形式的高斯定理得到的结论一致。1.2.3静电场的旋度(curl)式(1-25)给出了场的散度，但是仅仅知道场的散度却不能唯一的确定场。场论知识告诉我们，只有同时知道了场的散度和旋度才能将场确定下来。因此，我们在这里考察静电场的旋度。借助于前面我们已经得到的式(1-28),我们有r7 <) (J)E(r)=--p(r)VXdV'=-\7~ 夕dV' (1-36)4兀£0v R 4兀£0yR即静电场可以写成某一标量的梯度，而根据▽xv①=o的结论，我们有VxE=o (1-37)称为微分形式的静电场环路定理，该式表明：静电场是无旋场。如果芋式(1-37)两端普开放曲面S上积分，并利用斯托克斯定理(Stockes'stheorem)sVxE-dS=CE-d］得到E-dl=o (1-38)c该式为积分形式的静电场环路定理，它表明：静电场为保守场。1.3介质中的静电场(课本22页)介质的极化(polarization)电偶极子讨论有电介质存在的电场时，常常用到电偶极子这一概念。电偶极子是指相距很近的两个符号相反而量相等的电荷。电偶极子在其周围引起电场，同时在外场中也受到力的作用。由于电偶极子相距很近，可以认为场点到偶极子中心的距离比起正负电荷间的距离要大得多。对于一个偶极子，人们通常用它的电偶极矩(dipolemoment)p表征其特性，p=c/d,方向从负电荷指向正电荷。极化电介质的分子可以分为两大类，一类是非极性分子，其分子内部所有正负电荷作用中心重合；另一类是非极性分子，其分子内部所有正负电荷中心不重合而形成一个偶极子。在没有外场的情况下，无论那一种分子，就电介质的一部分体积来看，它们所有分子的等效偶极子的电偶极矩矢量和都为零。在外场的作用下，非极性分子的正负电荷的作用中心发生相对位移，极性分子的电偶极矩发生转向，这时它们的等效偶极子的偶极矩矢量和便不再为零。这种情况被称为电介质的极化。极化的结果是使束缚电荷的分布发生变化，从而在介质内部或者表面形成极化电荷。极化电荷与自由电荷一样，都会引起电场强度。为了描述极化的状态，我们引入极化强度矢量P,定义为单位体积元内AV总的电偶极矩与AV之比。p_ZjPi

H— 由于极化强度是由外加电场引起的，故而P一定和外电场E有关。实验指出,对于各向同性线性介质，P=Ze£()E (1-4。)改称为电极化率。极化电荷当介质在电场下被极化时，如图1-6所示，其内部的束缚电荷将重新分布，从而有可能出现在一定的体积内正负电荷不完全抵消的情况，即在一定区域内产生束缚电荷，称为极化电荷。图1-6:极化电荷如图1-6所示，在介质中任意取一体积V,其内的束缚电荷Qp是极化时由丫外通过界面S移进来的。令每个分子的正电荷g都位移了1,则通过面元dS移进丫内的束缚电荷为dQp=-Nql-dS=-P-dS (1-41)其中N为单位体积的分子数。P=Nql为极化强度。对整个曲面进行积分可以得到总的束缚电荷IJQP=-P,dS=ppdV (1-42)其中必为极化电荷密度。由高斯定理很容易得到极化电荷密度Pp=-v-P (1-43)可以看出，只有当P非常数，即介质非均匀极化时，才会产生体极化电荷。在介质的分界面上，P一般不连续，因而不能进行简单的微分运算。而通常在分界面上产生面极化电荷，假设其密度为psp。如图1-7所示，在界面上作一扁平的柱状盒子。盒子高〃，上下底面积为AS。〃和A5都很小，可以认为在底面上极化强度是均匀的。将式(1-42)应用于盒子内，则得到盒内总的极化电荷为Qp=PphAS,当人时，就得到面极化电荷Qsp/AS=psp，而此时P・dS=-(P2-Pt)-nAS=pgs (1-44)V图1-7：面极化电荷密度从而得到极化强度所满足的边界条件Psp=-(P2-P1)-n (1-45)其中n为分界面上介质1指向介质2的法向单位矢量。如果介质2为真空，则P?=0,则有处于真空中的电介质表面的面极化电荷密度为Psp=P♦n (1-46)处于真空中的一个电介质，设其内电极化矢量为P(r),则其体极化电荷密度为％=-V-P(r),面极化电荷密度为小p=P(r)•no从而总的极化电荷为IJIJ IIQp=ApdS+pPdV=P-ndS-V-PdV=PdS-P-dS=oS V S V(1-47)其中最后一步运用了散度定律。可见总的极化电荷为零，遵守电荷守恒定律。极化电流当外电场随时间发生变化时，极化电荷也会随时间发生变化，从而在介质内部形成极化电流。举据电荷守恒定律TOC\o"1-5"\h\z【I/组n …)酩, T 生JP-dS--c=V-JpdV+臂：=。=V-JpdV-v,dV=0s Stv Vdt v vdt(1-48)从而得到极化电流密度与极化强度的关系6P , 、JP=— (1-49)dt1.3.2电位移矢量(electricdisplacement)虽然极化电荷与自由电荷的来源不同，但它们都能够激发电场。如果把介质中的极化电荷与自由电荷全部考虑进去，则可以把真空中电场的结果推广到介质中。由高斯定律的微分形式(1-25)可以得到其中"为自由电荷，而"P为极化电荷。结合极化电荷体密度的表达式有V•E=S-V•P)/£o (1-51)或者V(fioE+P)=〃 (1-52)等式右边仅仅出现自由电荷。由于极化电荷不是预先给定了，为了处理方面，我们引入一个新的矢量D=£()E+P (1-53)称为电位移矢量，它的单位为CAn，结合式(1-4。)有D=£()E+£()ZeE=£()(1+/e)E=e()£rE=eE (1-54)£=£而称为介质的介电常量，而£>=1+xe称为相对介电常量。对电位移矢量有V•D=" (1-55)这就是介质中高斯定律的微分步式。其对p的积分形式是D•dS=pdV (1-56)s v其中"为自由电荷。电场的边界条件电位移矢量D的边界条件图1-8:电位移矢量的边界条件电位移矢量的边界条件可以类似与面极化电荷密度的方法得到。在界面上作一扁平的柱状盒子。盒子高〃，上下底面积为dS。〃和d5都很小，可以认为在底面上电位移矢量是均匀剪。将式(1巧6)应用于盒子内，则得到盒内总的自由电荷为(2=口5,当Zzo时，自由电荷而此 sH时D•S=(D?-DD•dS从而得到n-(D2-D])=ps (1-57)在没有自由电荷的界面上，有

电场强度矢量E的边界条件为了得到E的边界条件，我们在分界面上取一个扁平回路C如图1-9所示，回路一边在介质1中，另一边在介质2中，两边都平行且紧贴界面。两头用垂直与界面的短线右连接起来。设两边长△/很小，在每个边上电场强度均匀。在回路。上运用静电环路定理，得到(1-59(1-59)(i-6o)(1-61)(1-62)E-dl=oc当〃to时，有Ei-tAr-E2-tAr=o从而得到电场强度在边界上的满足条件E\t=E2t或者nx(Ei-E2)=o理想导体边界条件所谓理想导体是指其电导率为无穷大的导体，根据欧姆定律J=oE,在导体内部电场强度E必定为零（同时D也为零）。前面的边界条件中，如果我们假设介质1为理想导体，并去掉下标，则有(1-63)其中Ps为导体表面的面电荷密度，n为导体外法线方向的分量。例3：有一内、外半径分别为a和。的空心介质球，介质的介电常数为a,使介质均匀带电，其电荷密度为外，求:（1）空间各点的电场。（2）极化电荷体密度和极化电荷面密度（课本第32页）。图1-10：介质壳解：（1）由对称性，电场及电位移存量均只有,方向的分量。取以。为球心的球面作为高斯面，利用高斯定理得由D-dS2在厂＜。的区域有4兀广。=o(1-64)从而Dr=O,=O(1-65)当。4r4力时，有4兀/D,=一乃（/一a3）po3从而 /一^ 尸_。3Dr=3r2优'&=3r(1-66)(1-67)当r＞力时4兀Dr2=乃（〃3一(1-68)'3 °从而 … …Dr=3r2P。，Er=3£0r3PO(1-69)（2）为求极化电荷密度，首先计算电极化矢量Pr="-£oEr,显然只有在aVrV力的区域内非零，为Pr—9£0）E「-（1--） pg£ 3户厂(1-70)体极化电荷密度1分 r ( on)Pp=-V-P=- (rP,)=-1-—Por-or £(1-71)而面极化电荷密度为，在r=a的面上Psp=-Pr\r=a=O(1-72)在r二人的面上 / 、_p. _（能）。3_/PspPr\r=b 1 3枚PO(1-73)E静电势静电势(scalarpotential)式(1-36)表明，静电场可以写为一个标量函数的梯度。由于标量函数在数学处理上要比矢量容易，人们更趋向于通过研究标量来研究电场的性质。为此人们给这个标量函数一个特定的名称，称为静电场的势，即E=-V。 (1-74)式(1-36)表明静电势可以通过如下的积分得到0(r)= P^ldV (1-75)4吟 |r-r|由式(1-74)定义的静电势的值不是唯一的，不同的值之间可以相差一各常数。为了唯一的确定空间中任意一点的静电势，需要首先确定空间某一点的静电势作为参考。而式(1-75)所计算的值则默认电势在无穷远处为零。(当然前提是该积分收敛)静电势的物理意义可以通过考察当电荷运动时，静电力对电荷所做的功来得到。点q电荷电场中A电运动到8点时，在任意一点所受到的力为F=qE,电场力对电荷所作的功为JBJB JB JBW=F.dl=qE-dl=-^7V。•dl= 超=4(。人—舞)(1-76)a a _q aA由此可以看出电场中任意两点的电势差等于单位电荷从A点移动到3点时电场力所作的功，在电路中通常用U表示。同时我们还可以得到，静电场中两点的电势差为Jb0A-0B=E-dl (1-77)A且积分与路径无关。而积分与路径无关正是无旋场的特性，也可以这样说：静电场的旋度为零，而任何梯度场的旋度为零。X(V0)=o),故而静电场可以用标量势函数来描述。例4：考察点电荷q的静电势。解：假设点电荷位于ro点，则电荷密度为外(/-7)，其静电势为“(r)=——「。)dr'= 2 (人78)4^o|r-r| 4兀£o|r-ro|例5：求均匀电场Eo的静电势(课本第55页)。解：由于题设条件没有给出电荷分布，因而无法通过式(1-75)来进行计算。因此我们可以通过式(1-77)来进行计算。首先应当确定空间中某一点的电

位。在本题中，不能选取无穷远处，否则会原点电位无穷大的现象。为此，我们选。点的电位为O,则容易得到任意一点的电位为JO0（p）= E（）dr'=-Eo-r （1-79）p很容易得到，叠加原理也适用于静电势。例6:考察电偶极子所产生的静电势（课本55页）图1-11图1-11：电偶极子另一个负电荷位于z=（i-8o）解：设电偶极子的正电荷位于z另一个负电荷位于z=（i-8o）（b= -4兀£oR+R.当观察点尸距离原点的距离r远大于两点电荷之间的距离/,即/〃《1时，有上=勺 1*+ /+(#->cos。11_ 7=〃l+(撤一r((/21z_lr、icose\(1-jcoi^y 14-r +・(1-81)r 2r同理1」R「r工一Icos62r(1-82)从而有也-〃1co§0(1-83)于是电偶极子在远处P点产生的电位为.qlcos6pr(1-84)4兀47rar3

1.5.2静电势的微分方程由静电势的定义后=-\70、本构关系D=£E及高斯定理V-D=〃可以得到静电势满足的方程▽•D=V•0E)=-V•(W。)=p (1-85)即2 1 pV。+ •Vf=- (1-86)£ £如果电介质是均匀的，则上式变为2PV0=-1 (1-87)即泊松方程(Poissonequation)o而如果求解区域内没有自由电荷存在，则泊松方程可以化简为拉普拉斯方程(Laplaceequation)=o (1-88)泊松方程的一个特解正是前面的(1-75)式。分面上任意一点的电势。(课本57页)f PCnO.O)分面上任意一点的电势。(课本57页)f PCnO.O)图1-12：一段长为L的线解：在圆柱坐标系中，取带电线与z轴重合，如易得到电势与9无关。在带电线上任意取一线元dz',V L到P的距离为/?=t2+z'2o利用式(1-75)得到0=—~s dz 工4g _o ,4兀R 4%£0—SV〃2+*-27cto[( 7 )1s• -U-= 'Inz+卢+*. = 12兀£o 0 27r£当L《厂时，上式变为 r(P= ln-2^or图1-12所示。由轴对称性容其上的电荷为dq=p/dz,Jsdz'°°V ； 才\*&+(J2+「2In2 2 (1-89)0 r(1-90)例7：真空中一段长为乙的细直均匀带电线，其线电荷密度为川，求此带电线平当LT+8时，即变为无限长带电线的情况。计算的结果为无穷大，这时因为电荷不是分布在有限的区域内，而将参考电势选取在无穷远处所致。由于电势之间可以相差一常数，我们通过选择适当的常数，使得的当r=。时，0=0,即得到从而电势为+C=o27r得到从而电势为+C=o27r£()ar=-^ln-2兀a▲Inf2乃£or(1-91)(1-92)(1-93)2.5.1静电势的边界条件如果介质是分块均匀的，则应该讨论在界面上静电势作满足的边界条件。由于电势差的计算式(1-77)可以得到，在界面的两侧，由于电场为有限值，从而得到电势满足的一个边界条件(1-94)另外，由11•(Di-D2)=%可以得到静电势满足的令一个边界条件(1-95)例8:有一段长直同轴电缆，其内、外半径分别为a和6,内外导体间填充有介电常数£的电介质，两导体间外加电压”(外导体接地)，求此电缆内外导体间的场分布。(课本56页)解：采用圆柱坐标系，令z轴为电缆轴线。由对称性，静电势仅仅是r的函数。由于在两导体之间无自由电荷夕=0,因此电势满足拉普拉斯方程1a4效)心产=o (1-96)rdrdr方程的通解为(1-97)(1-98)。⑺=CjInr(1-97)(1-98)由边界条件。(。)=U0,©(b)=0得到__fZo_r_tZoJnA

G= ,C[= ~In6F-In/? In6?-InZ?从而得到任意点的电势为人—tZo—]r(P=一ln_Ina-InZ?h相应的电场为 UqE=—V”{nln份a「 ⑴】。。)在实际问题中，我们经常遇到的边界是由金属导体构成的。在静电场中的导体具有如下的特点导体上的电荷均为自由电荷。导体内部不可能带电，所有电荷都以面电荷的形式分布在导体表面上。每个导体都是等势体，自然导体的表面就是等势面。2.5.2静电场的解唯一性定理(UniquenessofSolution)式(1-75)给出了在知道电荷分布的情况下求解静电势的方法。在没有边界的情况下，积分的方法原则上可以给出静电势的空间分布。但是实际中，人们设计的往往是在有限区域内的静电问题。区域内有可能存在电荷，也有可能不存在电荷。而在边界上往往没有直接给出电荷的分布。此时，直接按照积分的方法求解静电势就变得非常困难甚至不可能。人们需要通过其他方法求解在一定边界条件下的泊松方程或者拉普拉斯方程。而此时，有一个基本的问题摆在我们面前，那就是，在怎样的条件下，静电势的解是位移的。回答这个问题的答案就是静电场的唯一性定理。静电场的唯一性定理表述如下：已知丫内的自由电荷分布和V边界上的电势力值或者附/加值，则V内的电势分布，除一附加常数外，由泊松方程即介质界面上的边界条件唯一确定。我们把知道边界上。值的边界条件称为狄利克雷(Dirichlet)边界条件，而把知道边界上纨左〃值的边界条件称为纽曼(Neumann)边界条件。唯一性定理的证明如下：证明假设静电场分布不是唯一的，存在至少两组解“和夕满足相同的泊松方程V.[6V。]=，和边界条件。令①=</>'-料则在体积v内v-rv®]=o-且在边界s上有@=o或者a””_0,根据矢层横的恒等式V(^A)=t/(V•A+A•Vt/) (1-101)并令U=(D和A=R①，代入上式可得V•(①W①)=①(V•(W①))+H①•V0=到(1-102)将上产在区域V上积产，得到 [目▽①|2dV= ▽•(①W①)dV=£<I>VC>-dS=通迹d5 (1-103)V V SI 0〃s由于边界条件，等式右边显然为零，因而有显然有V①=o,即①为一常数。即不同解之间仅仅相差一个常数。而对于狄利克雷边界条件，则由于在边界上①=0,从而有静电场的唯一性定理不仅告诉我们需要知道哪些条件，静电场的解才能被唯一的确定，而且还指出在具体求解静电问题时，可以根据一只条件对问题提出尝试，只要尝试解能满足唯一性定理所要求的条件，则这个尝试解就是唯一正确的解。1.6镜像法(MethodofImages)在实际的静电为问题中，经常涉及到求解当存在一定的边界时一个或数个点电荷所激发的场的问题，而边界条件常常是接地或者具有某一固定电势的导体。此时，点电荷会在导体表面上激发感应电荷，总的电场为所有电荷所产生的场的和。一般情况下，导体表面上的电荷分布是很难甚至无法提前得到的。然而当边界的几何形状比较特殊时，有可能通过在求解区域之外引入适当的电荷分布来模拟导体上电荷的效应。这样的电荷称为镜像电荷(imagecharge)o当引入镜像电荷后，原来带有边界条件的静电问题则可以转换为无边界条件的问题。原求解区域的电场可以看作是原电荷和镜像电荷所产生的电场之和。镜像电荷的引入应该满足如下两个条件.镜像电荷必须处于求解区域之外。因为镜像电荷的引入不能破坏求解区域场所满足的方程。.镜像电荷和原电荷所产生的场在边界上满足原来题设的边界条件。1.6.1平面镜像法当边界为平面时，镜像电荷往往可以放置在相对于分界面与原电荷对称的位置上。界面好像一面镜子，镜像电荷就是原来电荷在“镜”中的“像”。例9：设真空中离接地无限大导体平面附近〃处有一点电荷夕，求空间任意一点的电势。(课本93页)解：如图1-13所示，在z>0的半空间的电势是点电荷q和导体面上的感应电荷共同产生的。导体面为接地面。导体面上的感应电荷对z>o的空间场的贡献可以用z<O空间中的一定电荷分布来代替。很容易想到，在原点电荷的镜像位置上放置一-q,就可能满足边界条件。当引入镜像电荷而去掉边界后，整个空间的电势可以写为[ J」7q-7q_能面)=4兀£o x2+y2+Qz-h)2 N+丁2+(z+02由于镜像电荷位于Z<0的区域，显然在原求解区域Z>O的半空间，场所满足的方程没有发生变化。而在边界上，容易得到4(x,y,o)=o,满足原题的边界条件。从而原求解区域内，静电势的解即为(1-105)o图1・13：点电荷的镜像导体板上感应电荷的分布可以通过边界条件ps=D-n得到qhPs="£°aTlz=0=-2兀。2+y2+-2)3〃(1-106)当边界不仅仅是一个简单的平面，而包含多个平面时，可能需要引入多个镜像电荷。镜像电荷的引入方法类似于光学中的成像过程。镜像电荷的位置处于像点处；而电荷的符号取决于像是通过几次反射的形成的。如果通过奇数次反射，则于原电荷符号相反，否则与原电荷相同。例1O：有两个相交的接地导体平板，其夹角为呢若在所夹的区域内有一点电荷q,求在下列情况下所夹区域内的电位：（l）a=兀/;（2）a=兀匕。（课本95页）解⑴a=兀%的情况下，如图1-14所示，需要在1,2,3位置分别引3-q.2.q图1-14：点电荷的镜像入-q,q,p三个镜像电荷。由对称性不难看出，在引入镜像电荷后，整个空间的电势在金属板所在位置为零，满足题设边界条件。因而在求解空间的电势为（）（2）a=.丫--Il

（p= 一+ -兀/3的情况下，如笛叫-1卷斤示需嬖在1鼻2（1-107）,3,4,5位置分别引入五个镜像电荷。由对称性不难看出，在引入镜像电荷后，整个空间的电势在金属板所在位置为零，满足题设边界条件。因而在求解空间的电势为=孟二一k-后+B+及-后(1-108)q图1-15：点电荷的镜像一般来说，只要。=兀/〃，其中"为自然数的情况，都可以用镜像电荷法求解。此时像电荷的个数为〃-lo若不满足这个条件，镜像电荷会出现在求解的区域内,一般不能用镜像电荷法求解。关于点电荷对导体平面的像还可以推广到线电荷对接地导体平面的镜像。例11：在2=O的无限大接地导体板的一侧Z=处放置一平行于平面的长直导线，设其线电荷密度为求空间电势分布。（课本96页）解：根据镜像电荷法，在与0对称的位置上放置一镜像电荷-0。取两电荷连线中点处电势为零，根据式1-93于是两线电荷产生的电势分别为(1-109)其中Inh

鸳之

4九£。R-(1-109)其中7 7 R+=x2+(z—h)2,R~=x2+(z+h)2从而在Z>0的区域电势为+ _QR' x2+(z+h)2°=0_0=In=In2r、2 (1-110)4兀R4兀X14-(.2-n)1上面讨论的都是导体与介质分界面为平面的情况，下面讨论介质与介质的分界面为平面的例子。例12：设介电常数分别为均和及的两种介质，各均匀充满办无限大空间，两者的分界面为平面。在介质1中有一点电荷，求整个空间任意一点的电势。（课本96页）解：在点电荷电场的作用下，介质分界面上将会出现极化电荷分布。虽然极化电荷和感应电荷的物理机制不同，但是从产生场的效果来看，用镜像电荷

来等效地代替极化电荷还是可能的。在相同的原电荷分布的条件下，无论是导体还是介质，其上出现电荷的分布都是类似的。现不妨认为镜像电荷的位置和导体界面时相同，而大小则由边界条件来确定。图1-16:图1-16:介质镜像介质分界面将空间分为两个区域1和2,如图i-i6(a)所示，电势。满足2q„. —<5(x,y,z-〃)，(z>o)▽0]=一2 £1V02=o,(z<o)在介质分解面上先讨论区域1。为了不改变电势所满足的方程，以界面为对称面，在原点电荷的对称位置用一镜像电荷箱来代替界面上的极化电荷，同时认为此时整个空间充满介质1,如图i-i6(b)所示。因此区域1内任意一点的电势为弧= 7r +74-h)24啊N+y2+(Z_ 4乃£]N+y2+(4-h)2对于区域2,仍采用等效电荷代替界面上的极化电荷。为了保持区域2电势所满足的方程不变，镜像电荷应该放在区域1内，如图1-16(C)所示。将镜像电荷q”放置在与g相同的位置上，同时认为整个空间充满介电常数为£2的介质，于是区域2内任意一点的电势为q+qM=7 (1-114)Y 4兀々 22X+y+2 、力q,和。'的值由边界条件来确4W~^^面2=O处，由机=。2有±0?+4)=±(4+/) (1-115)£1 £2又由£嚏1"%有q—p” (1-116)联合两式得到q=_q= (1-117)ei+£2根据上述结果，可以得到空间的电势分布为q (£1-£2)401— + 74兀£]x2+y2+(z-A)2 4兀为(£+£)-遂+俨+(z+/z)202= 7 (1-118)2兀(£1+母)x2+y2+(z-A)21.6.2球面镜像法例13：一接地金属球前放置一个点电荷％如图1-17所示，求球外电势分布。(课本1OO页)R'一图1-17：球面镜像解：球外的电势是由点电荷q和球面上的感应电荷共同产生的。球面上感应电荷在球外产生的场可以用球面内一定的镜像电荷来代替，其条件是镜像电荷与原点电荷产生的电势在导体球面上应是电势为零的等势面。由于z轴是球面电荷分布的对称轴，可在球面内z轴上试取一镜像电荷q',其位置距离球心”，这样球外任意一点的电位为“-4兀£oR衣 Z兀£o r2+hi2-2rhcos0r2+h'2—2^cos0(1-119)对于球面上任意一点，有q2(a2+h'2-2ah'cos。)=q'2(a2+h2-2ahcos6) (1-120)要使上式对球面上任一点成立，则对任何。都成立，只有等式两端关于。的相应项系数相等，由此可以得到/(/+/?2)=(y，2(a2+川)q2h'=q'2h (1-121)求解可以得到

(1-122)hi=h,(1-122)后一组解表示镜像电荷在球外，应当舍去。于是球外任意一点的电位为(0=V1 _7 14兀r2+h2-2rhcos0a2+(rh/a)2-2rhcos0知道的电势分布后，就可以得到导体面上的感应电荷密度ddf- ddf- _2 a-1—(1-124)由此可见，球面上的感应电荷均为负值。当。=O也就是距离点电荷q最近时，电荷密度最大，当。=加时，距离点电荷最远时，电荷密度最小。球面上总的感应电荷可以通过面电荷积分得到，其结果为，。这与高斯定律的结论是一致的。上面讨论的是假定点电荷夕位于球外的情况。对于点电荷夕在球内的情况，可以把夕'看作原电荷，而夕看作镜像电荷。此时边界条件仍然是满足的。而求解镜像电荷的公式仍然为="2①q=-°^关系与点电蹦F球内的结果也因此我怵g。所在的两点称为共趣点。例14：在例13中，如果：(1)导体球为带电量Q的孤立球(2)导体球的电势为U。其余条件不变，分别求这两种情况下的电势分布。(课本102页)解：(1)当引入镜像电荷/时，可以满足导体球面为接地面。而为了使得导体球带电量Q,则需要进一步引入镜像电荷等效导体球上的电量Q。引入夕'，q”后，导体球外总的电场为E=Eq+Ed+Eq” (1-125)从而由导体面的边界条件得到导体球面总的电荷为I I I IQ=£oE-dS=£oE«•dS+soE9f-dS+coE^--dS=q'+q”(1-126)从而镜像电荷/=Q-q'。同时，镜像电荷/的引入不能破坏导体球面为等势面的边界条件，故而q”应位于球心，故而球外任意一点的电势为( , 八，)(1-127).14+4_+Q(1-127)4兀£0RR'r此时孤立带电导体对点电荷q的作用力大小为小q”对q的静电作用力，为(1-128)F=中^<2_。七-- 1(1-128)42q〃(〃2-。2)2当〃>>a时，方括号中第二项可以忽略，这时作用力就项两个点电荷的库仑力。当〃t。时，方括号中第二项的值可能超过第一项，使得力变为吸引力。此时不论Q多大，符号如何，由于球面感应电荷的影响，使得孤立带电导体表面附近的力总是吸引力。这说明了金属表面的剩余电荷不会因为同号电荷的相互排斥而立刻离开表面。只有外界对某一部分电荷做了足够的功，才能克服这种吸引力而脱离金属表面。金属的功函数主要时为了克服这种吸引力使电子离开金属表面所作的功。（2）当金属的电势为仇时，镜像电荷/应该使得金属表面的电势为仇。而等势面的条件仍然可以确定q”位于球心，只是其大小应该满足条件"Ia，=Uo,得到q”=4兀£（）aUo,从而金属球外电势为（，）〃（/,=- 。+平 （1-129）4兀£oRR1.7分离变量法（SeparationofVariables）正交函数（Orthogonalfunction）及其展开很多的静电问题以及其它类型的物理问题很难直接得到解析解，此时，通过级数的形式将解写成一系列正交函数之和是一种被经常用到的方法。傅立叶级数就是这一应用的典型实例。具体的展开形式很大程度上取决于边界的情况。为了介绍该类方法在静电学中的应用，我们首先讨论对该类方法的一般形式作一介绍。我们考虑在区间（a,分内，自变量为x的一系列函数n=1,2,•一（其值可能为实数，也可能是复数）这些函数在区间（a,与上平方可积且满足正交归一化性质 ।Jb=6mn （1-130）a其中归一化性质可以通过给函数乘上适当的系数得到。对区间3。）上任意一个平方可积的函数尺），可以把它展开乘正交函数U.G）的级数的形式。假设使用了有限值项（N）,即小）-anUn^x） （1-131）n=\则我们需要知道当如何选择即时，我们的展开式最接近原来的函数。我们将最接近定义为两者差异的平方积根最小Jb. 工 2Mn= —anUn{x）dr （1-132）a• 71=1通过一定的计算，我们得到系数满足的条件为Jban= （1-133）上式正是正交函数展开系数的标准形式。如果我们将展开使用的项数增加，我们可以预想其结果将变得更加接近。当我们所选择的正交函数积是完备的(complete)时，这一结论是正确的。我们不去讨论怎样的函数积才是完备的，在实际过程中，我们涉及到的函数积总是正交完备的。如果展开的项数区域无穷大，此时有入幻=anUn{x) (1-134)72=1称级数收敛于Hx)oTOC\o"1-5"\h\z将式(1-133)和式(1-134)相结合，可以得到. 、匕) )^00^ * ' ' ' '1 * ' ' './(x)= Un{x}f{x}dxU"(x)= U"(x)U"G)./(x)drn=la an=\(1-135)由于上式对任意的函数/(x)成立，我们可以得到U；(x')U〃(x)=d(x—x) (1-136)n=l矩坐标系中拉普拉斯方程的解在静电学中有一类问题，自由电荷仅仅分布在导体表面上，而在求解区域中没有体电荷的分布，这时静电问题就简化为根据边界条件求解拉普拉斯方程的问题。当边界与某一坐标面一致时，用分离变量法求解拉普拉斯方程时方便的。分离变量法可以分为两步：第一步时在选定的坐标系下求解拉普拉斯方程的通解，第二步是根据给定的边界条件来确定所得到的通解中的待定系数。在矩坐标系中，拉普拉斯方程的形式为嬴+皆■+而=° (1T37)假设其解可以分离变量为“(X,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) (1-138)代入方程后，两边同时除以。(x,y,z)得到1d2X1d2y 1d2ZX(x)dx2+r(y)dy2+Z(z)dz2=° (1T39)由于上式中三部分分别仅仅是xy,z的函数，而其和为零，故而只有当三部分同时为常数是才能成立1d2X 21d2y 21d?z2Xd^=~a^dy2=/，Id7r "MO)其中兄夕一称为分离常数，它们满足条件a2+/=y2。上述三个方程的通解为X(x)=Acosax+Bsinaxy(y)=Ccosfiy+Dsin[iyZ(z)=Fcoshyz+Gsinhyz (1-141)值得注意的是，式中a/"可以是实数，也可以是虚数。当a是虚数时，X函数将是sinh,cosh的形式。实际上，直角坐标系中变量x,y,z是平等的。此外，如果a=O,4=O,则有X= +ni2X,Y= +may,Z=65+m^z (1-142)这些解在需要时可以补充进去。如果电位。与某个变量(例如z)无关，则拉普拉斯方程可以简化为京+前=。 (1T43)设。(x,y)=X(x)y(y),则有1d2X 1d2yXdx2+Ydy2=° (1T44)得到二维拉普拉斯方程的通解为0(x,y)=(mi+m2龙)(加3+m4y)+(Acoshax+Bsinhax)(Ccosay+Dsinay)(1-145)需要指出的是，有时需要将sinh,cosh换成指数。以上解中各系数需要由边界条件确定。例15：有一根长矩形金属管沿z轴放置，在工=。的一侧保持=OX=a的一侧保持电位为Uo,而在y=O,y=b的上下底均接地。求金属管内的电势分布。(课本67页)效=0效=0图1-18:二维分离变量法解：由于是二维问题，电势力的通解为式(1-145)，其中系数由边界条件确定。1.在y=o,o wa处，有“=o.由此条件可以得到加3=o;C=o,所以°=(61+加2%)，％4y+(AcoshaxBsinhay)Dsinay(1-146)2..y=hfO<x<a处，有“=O.得到m4=O,sinab=O,mt/b,(//=1,2,••),所以(/)=Dnsin

n=\)[()()]H7T/l1 ,r7 —・0n7t,」~y47cosh~x4-Bnsinh~xbob(1-147)3.在x=O,OWy4处，有d（/）/dx=O.由此条件可以得到&=O,所以n=l— i(〃兀).(〃乃)AJPrposhxsinybb(1-148)4.在x=a,O<y<b处,。=U。,有¥()(),、n兀.miUq=A,p/7coshasmy

. bbn=i(1-149)上式正是Uo的傅立叶正弦级数，上式两端同乘以sin］姓并在区间（o,b）,上积分，利用三角函数的正交性可以得到2Uq_b,neevenAnDn= 1()bcosh诵sinb4Uo“cosh(皿)nEodd(1-150)7TziGodd7TziGoddxsm~yb于是管内电势分布为1】(血)coshncosh,bG=U(ibb/2.xgo图1-20：例16图例16：如图1-20所示，有两块一端弯成直角形的导体板相对放置，中间留有一小缝。设导体在X轴和z轴方向上远大于两导体板间的距离仇上导体板的电位为Uo,下导体板接地，求两板间的电势分布。(课本68页)解：由于电势与Z无关，所以为二维问题。同时由于求解区域在+X方向上无限大，该方向上应该选取指数关系，电势的通解为0=(如+，”2幻(加3+rn4y)+(Acosay+Bsinay)(Ce""+De-") (1-152)系数由边界条件确定.当X—+8时，。趋于平板电容的电势，即。—U()y必因此C=O,同时关于的线性部分应为即°=~y+(Acosay+Bsinaj^)De_ar (1-153)b.在y=0,x2O处，0=O由此得到A=0,所以=~y+BDsinaye-^ (1-154)b.在y=b,x>O处，(/>=Uq由此可以得到sinab=O,即a”=nn/h,(h=2,•••),因此有tTo史(.(n7i)</>=-y+—ye~ (1-155)bn=\ b4.在x=0处，当OWy<从2时，°=O,当时，°=U()由此条件得到X」.%兀)-Uoy/b,O<y<b/2. ,八Asin y=z 7 (1-156)nb Uo-Uoy/b,b/2<y<b将右边的函数在(o,份展开成傅立叶级数，即得到系数A=也0cos竺 (1-157)

即得到电势分布为必、-2必—“nn・)一0金0y+ ~ —cos—sin-ye力YbJnn2b,n=l实际上，该题可以有严格的解析解，为,U0U0¥《 1 )0=一~一arctan.小.(1-158)(1-159)图1-21：等电势线2it(1-158)(1-159)图1-21：等电势线1.7.3圆柱坐标系中的拉普拉斯方程的解在圆柱坐标系中，电势满足的拉普拉斯方程为id尸迦1s2。aVrdrdra +222+22=0 (1-160)rdr rlo(pldz1设其可以分离变量为0=R⑺①(夕)Z(z) (1-161)从而得到TOC\o"1-5"\h\z1ddR1d?① 1d2Zr rRdrdrrRdr+r2<Dd^2=~Zdz2 (1-162)要使上式对一切r,S，z都成立，则只有两端同时等于一常数，令常数为-d，则有d-Z2 , 、一4Z=。 (1-163)az2rd' ) 22 1d?中Rdrrdr,=力率 a"#7?dr …夕为了使上式对一切r,9都成立，只有两端同时等于一常数，设为〃2,则有d20 2rd7?dR,222Rdrdr方程1-163和1-165的通解为Z(z)=Acoshkz+Bsinhkz①(W)=Ccosn(p+Dsinn(p (1-167)同时，由于。关于夕应该式以2兀为周期的函数，故而〃只能取整数。方程1-166的通解是R(r)=FJ”(b)+GMkr) (1-168)其中JG)和匕⑺分别为〃阶第一类和第二类贝赛尔(Bessel)函数。由于这两个函数比较复杂，我们不予过多的介绍。实际中经常能够遇到的一种情况是电势”与z无关，此时％=0,此时方程的通解为(/>=mi+m2Inr+r(A„cosn(p+Bnsinn(p)+广(Cncosn(p+Dnsinn<p)n=l(1-169)例17：一介电常数为名半径为a的长圆柱放置在一真空匀强电场E°中，圆柱体的轴与电场垂直。求圆柱内外电势分布。(课本75页)图1-22：电场中的介质棒解：根据分界面与坐标面一致的要求，选取圆柱轴为Z轴的圆柱坐标系并使E的方向为。=o的方向。柱内外电势为由原电场产生的电势与极化电荷产生的电势之和，原电场产生的电势为-E()rcos夕。由于柱内外的电场均与z无关，则其电势如和出的通解为应为1-169式的形式。由于场关于夕=0对称，因此不包含正弦项，故而有M=m\+m2lnr+Anrcosn(p+C”厂“cosnip (1-170)n=\02=痴14-Inr4-Anrcosn(p+Cnr~cosn(p-Forcos(p(1-171)n=\各系数由边界条件确定.在r=O处，有限，得到他=O,C〃=O,即£n弧=m\+Anrcosn(p (1-172)n=\.当, 8时,02T-E()rcoscp由此可以得到M=。'/58oA，n=o,即TOC\o"1-5"\h\z7- /n。2=-Eo〃cose+Cnr~cos〃0 (1-173)n=\3.在分界面〃=a处，有。1=。2和^^=右。繁从而有OO OOm\+anAncosn(p=-E()acos(/)+^~nCncosn(p(1-174)n=l n=\8 OOenaH~]Ancosn(p=-3E0cos(p—e。na~{n+})Cncosn(p(1-175)n=1 n=l比较以上两式两边cosn(p,sin八夕的系数可以得到m\=O2co£oA=一」

(*J°)c= 2+a)Ea=Cn=O(n/=1) (1-176)所以圆柱内外的电势为0=一-^^-Ercos(p

1 £+“0 )/=-E^rcoscp+柱~~——cos9 (1T77J£+£0r2+£o1.7.4球坐标系中拉普拉斯方程的解(不作要求)在球坐标系(r,0,9)中电势。所满足的拉普拉斯方程为1S2 1d( / 1叫+r2sin6d0‘血阴十启si/。眦=° (1*8)

图1-23图1-23：球坐标系(1-179)设其解可以分离变量为。=①(9),代入到上述方程中得到,()(),,siir0d2&Rsin6dd© 1十(1-179)R'drf@dJsm°一中d^2Rdrdr0此此欲使上式对一切r,仇夕都成立，只有两端都等于一个常数，令其为nA则有d20> 2,、+加①=0dg2(i-i8o)1d<2dp 1d' d€)，m2Rdrdr ..“a’ =-八. ，sinU+7?drdr OsinOd。 曲sin?。(1-181)欲使方程(1-181)对一切r,储噢立，f有两端都等于一个常数，令其为/(/+1),于是有 d'，d/P,,,。、drdrTOC\o"1-5"\h\z,(口[ 2]1dd€) msin0 ©=o (1-180sin此+/(/+i)一°° CMsin'。方程i-i8o的通解为(1-184)①(8)=Fmcosm(p+Gmsinm(p(1-184)由于当夕变为夕+2乃时，”值相同，得到机只能取整数。方程1-182的通解为R狂)=Atr'+Br('+i) (1-185)方程(1-183)中，对自变量例乍如下替换：O=arccosx,方程变为.rq[ 1卫2-d0 _21,(1-X), +Z(Z+1)- 90=0 (1-186)drdr 1-x2

该方程称为缔合勒让德(generalizedLegendre)方程。它的通解比较复杂。这里我们仅仅讨论简单的情况，即。关于z轴对称，于夕无关的情况，此时加=o.方程(1-186)变为j(1-f)普+1(1+1)0=o (1-187)该方程称为/次勒让德方*(Legendr案由于在实际中，要求在x=±1处有界，此时只有当/为0,1,2,•一时方程才有解，对应的解为勒让德多项式尸□)，可以写为(Rodgrigues'formula)(1-188)修(幻=2!/山府-1)1(1-188)修(幻=2!/山府-1)容易看出/次勒让德多项式中x的最高次基为』，且级数阶勒让德多项式仅仅包含X的奇数次塞，偶数阶仅仅包含偶数次幕。勒让德多项式在区间［-1,1］上满足正交关系 IIJ1 2P(x)P/(x)d_r=6mn (1-189)-1 2/+1对于［T,1］上的函数/lx)可以展开成勒让德函数的级数.fix)= A/P/(x) (1-190)/=0则系数 I2/4-1 1Al- /(X)P/(X)(1¥ (1-191)2-I或者对于在［0,兀的函数V(。)，也可以展开为P/(COS。)的形式V(。)=乙A/P/(cos8) (1-192)/=oTOC\o"1-5"\h\z其中系数 J2/4-1nA/= V(0)P/(cos0)sinOdf) (1-193)2 0在对z轴对称时，包括极轴在内的区域中拉普拉斯方程的通解为W［ 10=A/+B厂("DP(qos。) (1-194)1=0例18:设有一半径为a的接地导体球，放置于均匀的外电场E。中，球外为真空,求空间任意一点的电场分布。(课本83页)解：取球z轴为E()的球坐标系。球内为等势体，设为参考电位。球外电位可以写成(1-194)的形式。各系数由边界条件确定。图1-24：匀强电场中的导体球.当ft8时，->-Egrcos6O由此条件有4=-瓦,A/=o(〃=o),因此A°=_E0rPi(cosff)+Br"+i)P/(cos。) (1-195)/=0.在导体表面上，0(0=0由此条件有XEoaP^cosO')=Bta-(/+l)P/(cos6») (1-196)/=o要是上式成立，只有P/(cos。)项的系数都为零，得到各系数为8I=0,瓦=0(〃=1)从而得到球外的电势为e/。=-Eo〃cos6+_cos。=向+” (1-197)其中“=Eoacos6/r2为球外感应电荷所激发的电势。它可以写为，Eo/cos。pcosp•r°= _ =r= , (1-198)r2 4兀跖r24兀£0「3可见导体球面上的感应电荷对球外区域电位的贡献与球心放置一个电偶极子的情况一样，其电偶极矩为p=4^oa3Eo (1-199)1.8格林函数法(Green'sfunction)前面的给出了求解静电问题的几种方法。其中镜像法适合于边界条件相对简单，而空间电荷分布仅仅为点电荷的情况。分量变量法适合于边界形状与一定的坐标轴平行，且求解区域内无电荷分布的情况。而当求解区域既存在一定的边界条件，又存在一定的电荷分布时，前面的方法求解就比较困难。介绍一种格林函数法。格林原理TOC\o"1-5"\h\z格林原理的出发点是散步定理 [V-AdV=A-dS (1-200)v s在上式中，令A= 贝t//•dS=Mdw/dnMS,于是我们得到格林第一等式\o"CurrentDocument"J 1d(°V23+V。.vj)dv=产QS (1-201)v sdn将上面式中。,W相交换后相减，则VW页将相互抵消，于是得到格林第二等式J I(A铸3V2”^V2^)dV= 0华一-笠ds(1-202)上式中，如果我。拎。为求解区域的电势分漏，的有V。色-p/s,而此时如果选择适当的W，就可以得到关于。的积分方程。格林函数就是这样的函数。由于场应该式场点和源点的函数，因而格林函数也应是场点和源点的函数。我们令格林函数满足条件 ，V2G(r,r)=--__—(1-203)E由于d(r,r')函数的对称性，格林函数也具有对称性G(r,r)=G(r,r'),从而得到G(r,r')的物理意义是，在r'放置一个点电荷时在I•点产生的场。将格林第二公式中原为G(r,r'),同;寸,积分变量换为r',从而得到]

J[p(r)G(r,r)-^(r)J(r-r)]dVr= 0(r)—(1r)_ 「，).(「)西£v s Sn dn(1-204)我们考察y内的电场，此时场点辨于丫内，由d函数的筛选性质得科0(r)=G(r,r')2(r')dV'+£ G(r,；•')'"[)_ 「)dS’(1-205)v s 3〃’ 加这就是格林原理。上式中需要。(r')和附/。〃'在边界上的值，而实际中，根据解的唯一性定理，只要知道其中一个就可以确定唯一的解，因此在不同的边界条件下，我们需要选择不同的格林函数来解决出现的问题。1.8.2第一类边值问题的格林函数如果知道了电势在边界上的值，我们可以选择格林函数在边界上的值为零,即G(r,r)=o,ronS (1-206)

称为第一类格林函数。此时格林原理中右边面积分的一部分为零，方程简化为J ।dG(rr)0(r)= G(r,r')/?(r')dV'0(r') ；_dS (1-207)v s例19：一半径为a的导体球，被一极薄的绝缘介质分隔为两个半球，上半球电势为V,下半球为-V,如图1-25,所示，求球外电势分布。zz图1-25：例19题图解：因为给定的时球面的电势值，所以首先需要求球外空间的第一类格林函数。按照格林函数的物理意义，只要令r’处有一单位点电荷，求空间r处的电势即可，利用镜像法可以得到第一类格林函数为[]G(r,r)= 7 1 -7 1 (1-208)4兀£0 r2+r2-2.rrcosy(rrZrz)2+a2-2rrcosy其中y为r,r'之间的夹角。因为时求解球外的电势，故而n'方向与r'方向相反。(1-209)SG SG r2—a2(1-209).__.=— dn-r=a-—Qr'-r=a 4兀£甲1+a2-2«rcosy)3Z2由于在球外p(r')=o,所以有_1 , -a2')—(a2_1 , -a2')—(a2+r2+2arcosy)_372]d。'd(cos〃)[(/+/-2arcosy)0 ，-3/2(1-210)由于COSy=COSeCOSe'+sin%in”cos(P-。，)，关系比较复杂，上述积分无法得到解析解，但是原则问题已经解决了。对于z轴而言，此时6=o,cosy=cos夕，此时可以得到如下形式的简单解[(721渝“(Z)=V1-V (1-211)zzz4-在已知区域内电荷分布和边界上的电势值的情况下，使用格林函数法进行求解的一般步骤为：.取一边界形状与题给相同的区域，令其边界上电势为零。在F’处放置一点单位电荷，求出r处的电势格林函数.求出边界上dG(r,r,yam4-利用格林原理计算电势4(r)O(r)= G(r,r)p(r)dV，-e )dSv s加第二类边值问题的格林函数对于第二类边值问题，我们可以取dG/加'为常数。由于6G/加表示了单位点电荷在边界上的场，根据高斯定理，应该有/dS'=1A (1-212)dn故而取SG/加'=-"•s为边界面积.二维情况下的格林函数格林函数的物理意义是点电荷在一定边界条件下所产生的场，因而一般是三维问题。而有些情况下，求解区域是一个二维问题，或者可以化简为二维问题，此时使用二维形式的格林函数将更加简单。在二维情况下，满足条件(1-203)的场为线电荷所产生的场。例20：有一无限导体平板，中间有一细缝将其一分为二。在两部分之间加上电压Vo,求空间电场的分布。解：因属于二维问题，应该使用二维格林函数。对于第一类边值问题，令格林函数满足导体板上值为零。此时对一处于r'处的单位线电荷，空间产生的场即为格林函数-‘ 1a-x)2+(y+y)2G(x,y,x,y)=--In (1-213)在边界上dGdG_ 1y dn飞- y=0一兀£((x—x')2+廿 1-214在求解区域内无电荷分布，故有I(t)(x,y)=一£0 08 ,dSson( rJ0dG> +°°dG=一£。%。，出一£。-ooon odn/drdn/dr(1-215)-8『)2+(1-215)arctan71 x1.9有限差分法前面我们介绍的求解静电势的方法都是设法得到场的解析解。虽然我们总是希望能够得到场的解析解，在实际过程中，很多情况下，严格的解析解是很难甚至无法得到。为此，人们也试图通过一定的途径去求解方程的近似解。这些方法的共同点是将求解区域用点分解成许多小的格子，把拉普拉斯方程在给定点附近用近似的代数方程代替而直接计算电势。如果格子足够密集，则能够足够精确的得到场的分布情况。由于往往需要进行大量的数值计算，通常需要借助于电子计算机。我们仅仅以二维情况为例介绍有限差分法。它首先把平面场的区域分成许多方形的格子，如图1-26所示。假设P点的电位为加，其周围方格顶图1-26图1-26：有限差分法点尸1,P2,P3,P4的电位分别为机，02,。3,。4。下面我们推导一个。1至。4表示办的公式。为此，假设函数。(x,y)在二维平面上满足拉普拉斯方程V20=o.首先，利用泰勒(Tylor)级数将电势函数。在P(x0,%)附近展开为d(/)12评弧=0(xo+hi,yo)~</>p+hldx+c〃la2 (1-216)2dxfd(f><h=0(x()-九3,y())“p-饱亦•12啊1-〃3a, (1-217)25dx2将第一式乘上饱加上第二式乘上也得到—1—21,@3 _2p_+ y ++〃3h\加id2(/)-vy (1-218)2dxzh\+hyh\3 3在y方向上，同理可以得到 (—1—h.曲)4一+〃2+力4 4。 〃2Id2^〃42dy2(1-219)上述两式相加，并利用6/=o得到Op~m\</)\+m2。2+帆3。3+加4。4 (1-220)其中 〃2饱饱 (h\+〃3)(〃1〃3+人2〃4) 41A3^4 (〃2+力.4)(〃1〃3+人2人4)= hih211A {h\+Zl3)(〃l〃3+〃2〃4)_ (〃2+九+人2包)(1-221)上式表明，拉普拉斯方程在某点的解可以通过四个相邻的