最新高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法【知识梳理】1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ＝b2－4Δ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x|x<x1))或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x1<x<x2))∅∅【常考题型】题型一、一元二次不等式的解法【例1】解以下不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)x2－4x－5≤0；(3)－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0；(4)－eq\f(1,2)x2＋3x－5＞0；(5)－2x2＋3x－2＜0.[解](1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－eq\f(1,2).又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－eq\f(1,2)，或x＜－3}．(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(3)原不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(9,2)))2≤0，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(9,4))).(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【对点训练】1．解以下不等式：(1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6.(3)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．(2)原不等式可化为x2－7x＋6<0.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}．(3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．(4)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝eq\f(2,3).结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠eq\f(2,3)}.题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.[解]方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，那么当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；当a＝－1时，原不等式解集为∅；当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)假设二次项系数含有参数，那么需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)假设求对应一元二次方程的根需用公式，那么应对判别式Δ进行讨论；(3)假设求出的根中含有参数，那么应对两根的大小进行讨论．【对点训练】2．解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．解：原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)＜0，当a＝0时，x＜1，当a＞0时eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(x－1)＜0∴－eq\f(1,a)＜x＜1.当a＝－1时，x≠1，当－1＜a＜0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(x－1)＞0，∴x＞－eq\f(1,a)或x＜1.当a＜－1时，－eq\f(1,a)＜1，∴x＞1或x＜－eq\f(1,a)，综上原不等式的解集是：当a＝0时，{x|x＜1}；当a＞0时，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,a)＜x＜1))；当a＝－1时，{x|x≠1}；当－1＜a＜0时，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜1或x＞－\f(1,a))).当a＜－1时，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(1,a)或x＞1))，题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．[解]∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．由韦达定理有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2，))代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.由2x2－3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜eq\f(1,2)或x＞1.∴bx2＋ax＋1＞0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪(1，＋∞)．【类题通法】1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的局部，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的局部，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【对点训练】3．方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－eq\f(1,2)和2.(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2＋bx－1＞0.解：(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－eq\f(1,2)和2，由根与系数的关系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2＝－\f(b,a)，,－\f(1,2)×2＝\f(2,a).))解得a＝－2，b＝3.(2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0可变为－2x2＋3x－1＞0，即2x2－3x＋1＜0，解得eq\f(1,2)＜x＜1.∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|eq\f(1,2)＜x＜1}．【练习反应】1．不等式x(2－x)＞0的解集为()A．{x|x＞0} B．{x|x＜2}C．{x|x＞2或x＜0} D．{x|0＜x＜2}解析：选D原不等式化为x(x－2)＜0，故0＜x＜2.2．集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，那么M∩N为()A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}C．{x|x≤－2或x＞3}D．{x|x＜－2或x≥3}解析：选A∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是________．解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3答案：(1,3)4．假设不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)＜x＜2))，那么实数a＝________，实数b＝________.解析：由题意可知－eq\f(1,2)，2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2＝－\f(b,a)，,－\f(1,2)×2＝\f(2,a)，))解得a＝－2，b