最新高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义〔1〕对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。〔2〕方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点〔3〕变号零点与不变号零点①假设函数在零点左右两侧的函数值异号，那么称该零点为函数的变号零点。②假设函数在零点左右两侧的函数值同号，那么称该零点为函数的不变号零点。③假设函数在区间上的图像是一条连续的曲线，那么是在区间内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定〔1〕零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。〔2〕函数零点个数〔或方程实数根的个数〕确定方法①代数法：函数的零点的根；②〔几何法〕对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。〔3〕零点个数确定有2个零点有两个不等实根；有1个零点有两个相等实根；无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定.二分法〔1〕二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;〔2〕用二分法求方程的近似解的步骤:①确定区间,验证,给定精确度;②求区间的中点;③计算;(ⅰ)假设,那么就是函数的零点;(ⅱ)假设,那么令(此时零点);(ⅲ)假设,那么令(此时零点);④判断是否到达精确度,即,那么得到零点近似值为(或);否那么重复②至④步.【经典例题】1．函数在区间内的零点个数是〔〕A、0B、1C、2D、32．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A、(－2，－1)B、(－1,0)C、(0,1)D、(1,2)3．假设函数(且)有两个零点，那么实数的取值范围是.4．设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，那么函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为〔〕A、5B、6C、7D、85．函数在区间[0,4]上的零点个数为〔〕A、4B、5 C、6 D、76．函数在内〔〕A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点7．对实数a和b，定义运算“⊗〞：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤1，,b，a－b>1.))设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，假设函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，那么实数c的取值范围是()A、(－∞，－2]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))B、(－∞，－2]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))C、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))D、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))8．函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点.9．求以下函数的零点：〔1〕；〔2〕.10．判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．【课堂练习】1、在以下区间中，函数的零点所在的区间为〔〕A、B、C、D、2、假设是方程的解，那么属于区间〔〕A、B、C、D、3、以下函数中能用二分法求零点的是()4、函数f=2+3x的零点所在的一个区间是〔〕A．〔-2,-1〕B、〔-1，0〕C、〔0，1〕D、〔1，2〕5、设函数f=4sin〔2x+1〕-x，那么在以下区间中函数f不存在零点的是〔〕A、[-4,-2]B、[-2,0]C、[0,2]D、[2,4]6、函数=-在[0，﹚内〔〕A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点7、假设函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，那么可以是〔〕A、B、C、D、8、以下函数零点不宜用二分法的是()A、B、C、D、9、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间〔〕A、 B、 C、 D、(1,2)10、有解的区域是〔〕A、B、C、 D、11、在以下区间中，函数的零点所在的区间为〔〕A、B、C、D、12、函数的零点所在区间为〔〕A、 B、 C、 D、13、设,用二分法求方程内近似解的过程中得那么方程的根落在区间〔〕A、B、C、D、不能确定14、设函数，那么在以下区间中函数不存在零点的是〔〕A、B、C、D、15、函数，零点个数为〔〕A、3B、2C、1D、016、假设函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=－2f(1.5)=0.625f(1.25)=－0.984f(1.375)=－0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=－0.054那么方程的一个近似根〔精确到0.1〕为〔〕A、1.2B、1.3C、1.4D、1.517、方程的实数解的个数为.18、函数的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数的取值范围。19、判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。20、求函数的一个正数零点(精确度0.1)．【课后作业】1、以下函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()2、设，那么在以下区间中，使函数有零点的区间是()A、[0,1]B、[1,2]C、[－2，－1]D、[－1,0]3、唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的〔〕A、函数在或内有零点B、函数在内无零点C、函数在内有零点D、函数在内不一定有零点4、假设函数有3个不同的零点,那么实数的取值范围是〔〕A、B、C、D、5、函数的零点所在的区间为〔〕A、〔－1，0〕B、〔0，1〕C、〔1，2〕D、〔1，e〕6、求函数零点的个数为〔〕A、B、C、D、7、如果二次函数有两个不同的零点，那么的取值范围是〔〕A、B、C、D、8、方程根的个数为〔〕A、无穷多eq\f(3,2)B、C、D、9、用二分法求方程在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，那么方程的根在区间()A、(1.25,1.5)B、(1,1.25)C、(1.5,2)D、不能确定10、设函数f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx(x＞0)，那么y＝f(x)()A、在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均有零点B、在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均无零点C、在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内有零点，在区间(1，e)内无零点D、在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点11、设函数，那么函数()A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点12、用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点，第二次应计算.以上横线上应填的内容为()A、〔0，0.5〕，B、〔0，1〕，C、〔0.5，1〕，D、〔0，0.5〕，13、函数在区间(0,1)内的零点个数是〔〕A、0B、1C、14、〔函数当是，函数的零点那么n=.15、用二分法求函数在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，那么此时零点x0∈________．16、函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x>0，－x2－2x，x≤0，))假设函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，那么实数m的取值范围是________．17、函数的零点组成的集合是.18、用“二分法〞求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是19、函数的零点个数为.20、证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．函数与方程【考纲说明】了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。【知识梳理】1、函数零点的定义〔1〕对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。〔2〕方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点〔3〕变号零点与不变号零点①假设函数在零点左右两侧的函数值异号，那么称该零点为函数的变号零点。②假设函数在零点左右两侧的函数值同号，那么称该零点为函数的不变号零点。③假设函数在区间上的图像是一条连续的曲线，那么是在区间内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定〔1〕零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。〔2〕函数零点个数〔或方程实数根的个数〕确定方法①代数法：函数的零点的根；②〔几何法〕对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。〔3〕零点个数确定有2个零点有两个不等实根；有1个零点有两个相等实根；无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定.二分法〔1〕二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;〔2〕用二分法求方程的近似解的步骤:①确定区间,验证,给定精确度;②求区间的中点;③计算;(ⅰ)假设,那么就是函数的零点;(ⅱ)假设,那么令(此时零点);(ⅲ)假设,那么令(此时零点);④判断是否到达精确度,即,那么得到零点近似值为(或);否那么重复②至④步.【经典例题】【例1】函数在区间内的零点个数是〔〕A、0B、1C、2D、3【答案】B【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如下图：可知B正确.【例2】函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A、(－2，－1)B、(－1,0)C、(0,1)D、(1,2)【答案】B【解析】∵f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－eq\f(5,2)<0，f(0)＝20＋0＝1>0，∴f(－1)f(0)<0.∴f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)．【例3】假设函数(且)有两个零点，那么实数的取值范围是.【答案】【解析】函数=(且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【例4】设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，那么函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为〔〕A、5B、6C、7【答案】B【解析】因为当时，f(x)=x3.所以当时，，，当时，；当时，，注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数，且f(0)=g(0)，f(1)=g(1)，，作出函数f(x)、g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，应选B【例5】函数在区间[0,4]上的零点个数为〔〕A、4B、5 C、6 D、7【答案】C【解析】：f(x)=0，那么x=0或cosx2=0，x2=kπ+eq\l(\f(π,2)),k∈Z，又x∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解．选C．【例6】函数在内〔〕A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点【答案】B【解析】解法一：数形结合法，令，那么，设函数和，它们在的图像如下图，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；解法二：在上，，，所以；在，，所以函数是增函数，又因为，，所以在上有且只有一个零点．【例7】对实数a和b，定义运算“⊗〞：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤1，,b，a－b>1.))设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，假设函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，那么实数c的取值范围是()A、(－∞，－2]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))B、(－∞，－2]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))C、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))D、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))【答案】B【解析】f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，x2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x2))≤1，,x－x2，x2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x2))>1))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，－1≤x≤\f(3,2)，,x－x2，x<－1，或x>\f(3,2)，))那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图象如图∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，∴y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，由图象知c≤－2，或－1<c<－eq\f(3,4).【例8】函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点.【答案】5【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时,对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.【例9】求以下函数的零点：〔1〕；〔2〕.【答案】〔1〕2,1，-1.〔2〕2，-2.【解析】〔1〕由故函数的零点是2，1，-1.〔2〕故函数的零点是2，-2.【例10】判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．【答案】1.3125【解析】因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25－0.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125－0.05(1.3125,1.375)1.343750.08由于|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，所以函数的一个近似零点为1.3125.【课堂练习】1、在以下区间中，函数的零点所在的区间为〔〕A、B、C、D、2、假设是方程的解，那么属于区间〔〕A、B、C、D、3、以下函数中能用二分法求零点的是()4、函数f=2+3x的零点所在的一个区间是〔〕A．〔-2,-1〕B、〔-1，0〕C、〔0，1〕D、〔1，2〕5、设函数f=4sin〔2x+1〕-x，那么在以下区间中函数f不存在零点的是〔〕A、[-4,-2]B、[-2,0]C、[0,2]D、[2,4]6、函数=-在[0，﹚内〔〕A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点7、假设函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，那么可以是〔〕A、B、C、D、8、以下函数零点不宜用二分法的是()A、B、C、D、9、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间〔〕A、 B、 C、 D、(1,2)10、有解的区域是〔〕A、B、C、 D、11、在以下区间中，函数的零点所在的区间为〔〕A、B、C、D、12、函数的零点所在区间为〔〕A、 B、 C、 D、13、设,用二分法求方程内近似解的过程中得那么方程的根落在区间〔〕A、B、C、D、不能确定14、设函数，那么在以下区间中函数不存在零点的是〔〕A、B、C、D、15、函数，零点个数为〔〕A、3B、2C、1D、016、假设函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=－2f(1.5)=0.625f(1.25)=－0.984f(1.375)=－0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=－0.054那么方程的一个近似根〔精确到0.1〕为〔〕A、1.2B、1.3C、1.4D、1.517、方程的实数解的个数为.18、函数的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数的取值范围。19、判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。20、求函数的一个正数零点(精确度0.1)．【课后作业】1、以下函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()2、设，那么在以下区间中，使函数有零点的区间是()A、[0,1]B、[1,2]C、[－2，－1]D、[－1,0]3、唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的〔〕A、函数在或内有零点B、函数在内无零点C、函数在内有零点D、函数在内不一定有零点4、假设函数有3个不同的零点,那么实数的取值范围是〔〕A、B、C、D、5、函数的零点所在的区间为〔〕A、〔－1，0〕B、〔0，1〕C、〔1，2〕D、〔1，e〕6、求函数零点的个数为〔〕A、B、C、D、7、如果二次函数有两个不同的零点，那么的取值范围是〔〕A、B、C、D、8、方程根的个数为〔〕A、无穷多eq\f(3,2)B、C、D、9、用二分法求方程在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，那么方程的根在区间()A、(1.25,1.5)B、(1,1.25)C、(1.5,2)D、不能确定10、设函数f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx(x＞0)，那么y＝f(x)()A、在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均有零点B、在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均无零点C、在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内有零点，在区间(1，e)内无零点D、在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点11、设函数，那么函数()A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点12、用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点，第二次应计算.以上横线上应填的内容为()A、〔0，0.5〕，B、〔0，1〕，C、〔0.5，1〕，D、〔0，0.5〕，13、函数在区间(0,1)内的零点个数是〔〕A、0B、1C、214、〔函数当是，函数的零点那么n=.15、用二分法求函数在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，那么此时零点x0∈________．16、函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc