弹性力学第四章-本构关系

§4-1物体的弹弹性性质质和广义胡克定律律§4-2线弹性材材料的本本构关系系第四章本本构构关系§4-3各向同性性线弹性材材料的物物理方程程一般情况况下，物物体的应应力与应应变呈某某一函数数关系，，可表示示为：应力与应应变张量量均为六六个独立立分量。。则§4-1物体的弹性性质质·广义Hooke定律一.弹性的概概念如果材料料呈呈单单值连续续关系（（不一定定线性）），则称称为柯西（Cauchy）弹性材料（一一般意义义上的弹弹性）。。受材料在在单向拉拉伸试验验时弹性性阶段的的应力与与应变呈呈线性关关系（胡胡克定律律）的启启发，线弹性材材料在复复杂应力力状态下下其应力力张量与与应变张张量亦呈呈线性关关系。称为广义胡克克定律的的一般形形式呈线性单单值连续续关系的的材料性性质称为为线弹性。在柯西弹弹性的基基础上附附加等温温绝热的的外部环环境条件件，使有势函数数存在，，则这种种弹性性性质又称称为超弹性。可以证证明线弹弹性一定定是超弹弹性。二.广义胡克克（Hooke）定律即广义胡克克定律的的一般形形式最广广泛地描描述了材材料的线线弹性性性质，但但未能描描述物体体外部环环境条件件和内部部物理特特征。其中——称为弹性性常数，，共81个系数，，因各各六个独立立，缩缩减为36个独立的的常数。。cmn和cijkl的下标对对应关系系：m、n123456ij、kl112233122331如，c22c2222，c56c2331矩阵表示示形式：：——分别称为为应力和和应变列列阵——称为弹性性矩阵。。其元素素cmn为36个其中张量表示示形式：：§4-2线弹性体的的本构关关系如果材料料在变形形过程中中处于等等温绝热热过程。。根据热力力学第一一定律和和相应数数学推导导，有势，其势函数数U0(ij)为物体单单位体积积的变形形能（应应变能））。——Green公式由同理即弹性矩阵阵为对称称矩阵，，共有21个独立的的弹性常常数对

称广义胡克克定律的的上述形形式表征征的是各向异性性材料的本本构关系系。如果材料料具有弹弹性对称称面，则则本构关关系还可可简化，，使弹性性常数进进一步缩缩减。弹性体中中每一点点均有一一个对称称方向，，在这些些对称方方向上弹弹性性质质相同，，即应力力应变关关系不变变。称为为弹性对称称。弹性对称称

弹性对称方向

弹性对称方向

弹性对称面

弹性主轴

弹性主轴一.横观各向向异性材材料相应的对对称方向向和对称称面称为为弹性对称称方向和弹性对称称面。垂直于于弹性对对称面的的方向称称为弹性主轴轴。xyz弹性对称称面OP(x,y,z)P(x,y,-z)y设Oxy平面为材材料的弹弹性对称称面，z轴为弹性性主轴。。其中[C]为各向异异性的弹弹性矩阵阵现将z轴反向，，考察其其本构关关系xz仅具有一一个弹性性对称面面的材料料称为横观各向向异性材料。体内一点点P(x,y,z)的应力和和应变为为{}和{}。则在新坐标标下，由由于弹性性对称，，应力应应变关系系保持不不变但P点坐标和和应力应应变分量量发生变变化由坐标变变换两坐标系系三轴的的方向余余弦为xyzx100y010x00-1代入上式式由比较得例如比较较[C]和[C]中的第一一行横观各向向异性材材料，其独立立的弹性常数数为13个；正应变会会产生切切应力，，切应变变也会产产生正应应力工程上，，单斜晶晶体（如如正长石石）可简简化为横观各向向异性弹性体。。横观各向向异性材材料的广义胡胡克定律律可表示示为对

称将y轴反向，，不产生生新的结结果。将x轴反向，，仿前分分析步骤骤可得二.正交各向向异性材材料xyzP

(x,y,z)O设三个弹弹性对称称面分别别为Oxy、Oyz和Ozx平面，材材料沿x、y、z三方向弹弹性性质质各异。。具有三个个相互垂垂直弹性性对称面面的材料料称为正交各向向异性材料。综合之，，正交各各向异性性材料的的广义胡克定律律可表示为为对

称正交各向向异性材料，其独立立的弹性常数数为9个；正应变仅仅产生正正应力，，切应变变仅产生生切应力力。煤、木材材、增强强纤维复复合材料料等可简简化为正交各向向异性弹性体。。工程上一一般用三三个弹性性模量（（Ex、Ey、Ez），三个个泊松比比（Poisson）（xy、yz、zx）和三个个切变模模量（Gxy、Gyz、Gzx）表示。。三.横观各向向同性材材料具有各向向同性面面，且各各各向同同性面相相互平行行（或具具有弹性性对称轴轴）的物物体，称称为横观观各向同同性材料料。yzxxyzO设体内每每一点存存在一轴轴（z轴），在在与此轴轴垂直的的平面（（Oxy）内，所所有射线线方向的的弹性性性质均相相同。称该平面面为各向向同性面面。在正交各向异异性的基础上上，按相似分分析步骤，设xy平面绕z轴旋转任意角角度，旋转前后应力力应变关系不不变，比较其其弹性常数可可得对

称所以，横观各各向同性材料料的广义胡克定律可表示为横观各向同性性材料，其独立的弹性常数为5个；地层、层状岩岩体、复合板板材等可简化化为横观各向同性性弹性材料。工程上一般用用两个弹性模模量（Exy、Ez），两个泊松松比（xy、z）和一个切变变模量（G）表示。四.各向同性材料料在横观各向同同性的基础上，将z轴反向，考察察其反向前后后的应力应变变关系可得对

称所以，各向同同性材料的广广义胡克定律可表示为各向同性材料料独立的弹性性常数只有2个§4-3各向同性线弹性材料的的物理方程一.广义胡克定律的基本形式对于各向同性材料料的广义胡克克定律表达式式，展开令则其中张量形式（注：Lamé原文所用符号为和而非G，也不是泊松比比。在工程形形式中，Lamé常数实际上被定义义为切变模量量G）、G称为拉梅（Lamé）常数此即广义胡克克定律的基本本形式，该形形式数学表述述简练，便于于理论推导应应用，但力学学意义不能一一目了然，不不便于工程运运用。二.广义胡克定律律的工程形式式将前六式反解解，并令则此即广义胡克克定律的工程程形式，其中中常数E、G和是广为熟知的的弹性模量、、切变模量和和泊松比。仅仅两个独立。。张量形式其中由得若用应变表示示，反解或由由基本形式代代入即得或三.体积胡克定律律由即描述了体积应应力和体积应应变的关系令称为体积弹性性模量故称为体积胡克克定律张量形式或所以当ij时，因三式相加为恒恒等式即六对量仅五五个关系补充一个关系系——体积胡克定律律故四.广义胡克定律律的偏量形式式此形