信号与系统课件-第9讲

开讲前言－前讲回顾级数与LTI系统复指数信号作用于LTI系统得到很简单的响应其相应的系数带来系统函数的概念特征函数作用下的特征值构造的函数可以求解周期信号作用下的响应系统频率响应概念只考虑纯虚数情况下的系统函数，表示系统对不同频率复指数函数的响应，滤波的概念频率成形滤波器-高通、低通、带通频率选择性滤波器微分方程和差分方程描述的滤波器分析低通、高通信号与系统－第9讲2020/11/122开讲前言－本讲导入周期信号可以用复指数信号组合来表示-叶级数的展开用

级数表示的好处可以简化输入输出关系系统函数、频率响应可以表征系统特性系统频率特性分析，滤波器设计周期信号的分析怎样拓展到非周期信号信号的周期变得无穷大，基频很小，谐波密集级数展开表达式会演变为什么？信号有基本信号组合的求和表达式演变为什么？信号与系统－第9讲2020/11/1232020/11/12信号与系统－第9讲§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换1.非周期信号从一个周期变换周期

的变换表示的导出的分析导出非周期信号的级数表示A=1,T=4T1,T=8T1,T=16T1图示T1不变，T变大，包络不变，谱线变密,T→∞,Tak→包络函数2

1

)0,T

t

T

/

2

1kTT2

Asin(k

T

) 2T

Ak0T

A,

t

T

k0或者：Ta

2

Asin(T1

)周期其，当做包络函数的样本一个周期内的平均值周期趋于无穷大，基波频率趋于0，离散频谱变连续宽度与周期之比§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换周期信号在周期无限大转化为非周期信号非周期信号的

级数表示：x(t)为一非周期信号，x(t)为x(t)作为第一周期构成的周期信号如果这个周期为无穷大，两个信号相等0,ka

ejk

tx(t)

对周期信号x(t)

：01k定义Ta

=X

(j):dtT

jk

tX

(

j)

x(t)e前面已分析，T变大，Tak

包络不变原系数ak与X

(

j)关系：ak

X

(

jk0

)000001jk

tjk

tX

(

jk0

)ejk

tX

(

jk

)e

12

k

Tx(t)

ake

k

k

周期信号x(t)用X

(j)表示：0T

/21Tk

ak

T

T

/2x(1T

jk

tT

/2x(t)e dt

非周期信号的叶变换如何演变为非周期信号的表达信号与系统－第9讲2020/11/125§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换非周期信号的

变换对分析用包络函数表示的周期信号从变换式分析，非周期信号也可以由复指数信号组合得到由变换表示的周期信号级数的系数2

k

x(t)

在T

,有：x(t)此时：0

0

d,k0

改写表达式，得到非周期信号的

变换对：jt

1

2X

(

j)e

dx(t)

X

(

j)dX

(

j)dx(t)

e

jt

,复指数信号ejt，220

01x(t)e

dt

jk

tk

kTa

1T)

X

(

j周期信号与非周期信号的关系0

jk

tX

(

j)

x(t)e

dt信号与系统－第9讲2020/11/126§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换根据周期信号与非周期信号关系计算变换信号与系统－第9讲2020/11/127§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换周期信号系数与非周期信号积分转换举例信号与系统－第9讲2020/11/128§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换2.变换的收敛第一类条件：x(t)能量有限变换。任何有限区间，x(t)只有有限最大最小值任何有限区间，x(t)只有有限不连续点，且为有限值在无限区间不绝对可积，借助冲激函数，也有所以上面的两类条件都是充分条件。022X

(

j)

x(t)

1

2jtX

(

j)e

d

jk

t

x(t)

x(t)

dt

0x(t)e dt，x(t)

如果：dt

，则：X

(j)

，由

变换表示的信号x(t)与原信号x(t)在能量上没有差别第二类条件：狄

条件1.绝对可积

x(t)dt

信号与系统－第9讲2020/11/129变换§4.1

非周期信号的表示：连续时间3.连续时间

变换举例1a

jX

(

j)

,

a

01a2

2X

(

j)

a1{X

(

j)}

tan

(

)A如果是复数会怎样？怎样保证绝对可积（1）单边指数信号x(t)

eatu(t)

a

00e(a

j

)t0X

(

j)

1a

je

e

dt

at

jt

信号与系统－第9讲2020/11/1210§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换（2）偶对称指数信号（3）奇对称指数信号00X

(

j)

e

e

dt

a

t

jte

e

dta2at

jt

at

jte

e dt

1

1

2a

a

j

a

j

2结果为实数偶函数

相位为0eat

,t

0x(t)

(a

0)eat

,t

0结果为纯虚数奇函数相位为-π/2x(t)

eat

a

00a201

12

j

2X

(

j)

eate

jtdt

eate

jtdt

a

j

a

j信号与系统－第9讲2020/11/1211§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换（5）单脉冲信号信号综合（反变换）的单位冲激信号的频谱在所有频率上都是相同的无限带宽1,

t

T1x(t)

0,

t

T1w

12

wx(t)

2sin(T1

)e

jtd，当w

,有：xˆ(t)

x(t)

(t)e（4）单位冲激信号x(t)

(t)

jtX

(

j)

dt

11X

(

j)

Te在t

T1

时，xˆ(t)收敛于？收敛过程怎样？收敛于均值斯现象信号与系统－第9讲2020/11/1212§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换（6）频域单脉冲的反变换时域频域变换存在对偶性不同W情况下的变换结果比较X

(

j)

1,0,

W

WW

增大，X

(j)变宽，

x(t)主峰变高，第一波瓣变窄W

,

x(t)

(t)WWx(t)

1

jt

1 2sin(Wt)

sin(Wt)

2

e dt

2

t

t信号与系统－第9讲2020/11/1213§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换（7）符号函数函数形式x(t)不便直接计算，采用奇双边指数函数x1(t)在

＝0替代计算

变换模频谱、相位频谱x(t)

sgn(t)11a0

a0x(t)

lim

x

(t)

lim[sgn(t).eat

]a

0X

(

j)

lim

X1(

j)a

0

a

2X

(

j)

2X

(

j)

(

0)(

0)

2x1(t)1tea

t0-1tSgn(t)+1-1a

00模和相位的频谱自己作图？信号与系统－第9讲2020/11/1214§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换（8）冲击函数时域x(t)为冲击函数变换对频域X(jω)为冲击函数t

(t

)0X

(

j10

1

2x(t)

110t2

()201

1

1

2F

[

()]

2

()e

jtd

(t)

(t)e

j

tdt

1F1F

[1]

(t)jt1.e

d

F

1

j

t1.e dt

2

()信号与系统－第9讲2020/11/1215§4.1

非周期信号的表示：连续时间

变换（9）冲激偶

变换对时域x(t)为冲击偶函数

频域X(jω)为冲击偶函数

1

2

(t)j

t(

j)e

dddt

dtF

d

(t

)

j1

1

2

1

2F

[

()]

()e

jtd

F

(t)

(t)e

j

tdt

11

1

2F

[1]

jt1.e d

(t)

F

1

()

j

t1.e dt

2

(t)nn

(

j)n

ddtF

2

()

j

t(

jt)e

dtddF

t

2

(

j)1

d

()

2

j

d

()d

dndd

F

tn

2

jn

()信号与系统－第9讲2020/11/1216§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换变换（9）阶跃函数的利用已有结果求解阶跃函数分解u(t)

1

1

sgn(t)2

2F

u(t)

u(t)0tX

(

j)0信号与系统－第9讲2020/11/1217§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换变换（9.2）再求阶跃函数利用指数函数的结果参数取极限求解阶跃函数为非奇非偶函数，实部虚部同时存在a0u(t)

lim

eat

t

01

a

ja

j

a2

2

a2

2F

eatu(t)

a

0a

0虚部：limI

m

Fae

u(t

0(当

0)atad存在为常数a

0a

0

a2

u(t)

lim

2

lima

2a

0

a2实部：limR

e

F

e22实部是一个

(t)函数，积分结果就是冲激强度：d

(

)alima

022aaaa

02

d

lima

1

(

)a

0

limarctan

g(

)

( )

信号与系统－第9讲2020/11/1218§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换（10）钟型脉冲（脉冲）的

变换2t(

)x(t)

Ee(

t

)

2x(t)

t

jtx(t)e

dt

Ee(

)e

jtdtF

220x(t)

costdtt(

)Ee

(cost

j

sint)dtt(

)

2E

eFX

()

E

e(

)22信号与系统－第9讲2020/11/1219§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换（11）三角形脉冲的变换与矩形脉冲，升余弦脉冲比较频谱的散布情况(

t

)

t(

t

)x(t)

E[1

]0

F

x(t)

jtx(t)e

dt

E[1

t

]e

jtdt

00F

x(t)

E

jt

jtEEe

dt

te

dt

te

dt

jt2

)X

()

E

Sa

(2信号与系统－第9讲2020/11/1220§4.1

非周期信号的表示：连续时间变换（12）升余弦脉冲的变换相对矩形脉冲，频域能量更集中2x(t)

E

[1+cos(

t

)](

t

)

F

x(t)

2

jtx(t)e

dt

E

[1+cos(

t

)]e

jt

dtF

x(t)

E2E4E4e

jt

dt

ej

t

e

jtdt

e

j

t

e

jtdtX

()

E

Sa()1

(

)22

2

X

()

ESa()

E

Sa(

(

))

E

Sa(

(

))信号与系统－第9讲2020/11/1221升余弦信号的时域频域波形信号与系统－第9讲2020/11/1222§4.2

周期信号的

变换变换1.周期信号与

变换周期信号在频域内是离散的谐波离散的频谱如果用冲激函数表示，就可能用对周期信号进行变换0ka

ejk

tx(t)

k

周期信号的叶级数表达式由系数表示的傅变换频域的单个冲激：X

(j)

2

(

0

)002x(t)

1j

t2

(

)e

jtdt

ek

频域上的等间隔冲激：X

(j)

2

ak

(

k0

)信号与系统－第9讲2020/11/1223§4.2

周期信号的变换变换举例2.周期信号（1）周期信号的0

1000

102sin(k

T

)

(

k

)

(

k

)k

Tk2sin(k

T

)

2k

k

k

X

(

j)

2

ak

(

k0

)按照T=4T1作图，与周期信号 级数的表示有系数2π的差别a

2sin(k0T1

)0kk

T级数系数信号与系统－第9讲2020/11/1224§4.2

周期信号的变换（2）正弦信号00

j(

(

0

)

(

0

))x(t)2

jX

(

j)

2

1

(

)

2

1

(

)2

j

02k1

1a

a

1

,

a

0X

(

j)

(

(

0

)

(

x(t)

sin0系数ak的表达k2

j

2

j1

1a

1

,a

1

,a

0(其他k)信号与系统－第9讲2020/11/1225§4.2

周期信号的变换（3）采样信号将连续信号转换为离散信号的处理，周期性冲激串0

(

k

)k

Tk

2

TT

(

2

k

)X

(

j)

2

ak

(

k0

)k

2

时域和频域的相反关系：T增大，时域中间隔大

频域中则间隔变小x(t)

(t

kT

)k

(T

/2kTa

1信号与系统－第9讲2020/11/1226§4.2

周期信号的变换变换（3.2）再求采样信号的直接利用积分的数学计算求解首先考虑有限长采样串，再求极限求解X

(

j)

N

NN

jtk

N

(t

kT

)e dt

jt

jkTk

N

(t

kT

)e dt

ek

NNN

k

Nx(t)

lim

(t

kT

)N

jkT

e

j

NT

e

j

(

N

1)T1

e

jT

ek

N

j

T

(2

N

1)22j

T

e

j

NT

e

j

(

N1)TT2T