概率论与数理统计答案-浙江大学主编

第一章概率论的基本概念注意：这是第一稿(存在一些错误)1解：该试验的结果有9个：(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c).所以，(1)试验的样本空间共有9个样本点。(2)事件A包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。即A所包含的样本点为(0,a),(1,a),(2,a),(3)事件B包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。即B所包含的样本点为(0,a),(0,b),(0,c).2、解(1)ab\Jbc\Jac^.abc\Jabc\Jabc\Jabc；(2)ab\Jbc\Jac(提示：题目等价于.，B,3至少有2个发生，与(1)相似)；(3)abc\Jabc\Jabc；(4)或ABC；(提示：A,B,3至少有一个发生，或者A,B,。不同时发生)：3⑴错。依题得P(AB)=P(A)+P⑻-p(AU8)=0,但APIB#空集，故a、B可能相容。(2)错。举反例(3)错。举反例(4)对。证明：由。5)=。-6,P(B)=0.7知p(AB)=p(A)+p(B)-p(AUB)=1.3—p(AUB)>0.3，即4和b交非空，故A和B—定相容。4、解(1)因为A,B不相容，所以A,3至少有一发生的概率为：P(A|JB)=P(A)+P(B)=0.3+0.6=0.94B都不发生的概率为：P(/lUfi)=l-P(AUB)=1-0.9=0.1：A不发生同时8发生可表示为：Apjfi,又因为A,8不相容，于是P(Ap|B)=P(B)=0.6；5解：由题知P(ABUACUBC)=0.3P(ABC)=0.05因p(ABUACUBC)=p(AB)+p(AC)+p(BC)-2p(ABC)得，p(AS)+p(AC)+p(SC)=0.3+2p(ASC)=0.4故A,B,C都不发生的概率为曲胫)=1-p(aUbUc)=1-Kp(A)+p⑻+p(c))-P(AB)+P(AC)+p(BC)+p(ABC)]=1-(1.2-0.4+0.05)=0.156、解设4={“两次均为红球”},B=[“恰有1个红球”},C={“第二次是红球”}TOC\o"1-5"\h\zQ 7若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：—,抽不到红球的概率是：—,则10 10QOP(A)=—X—=0.64；1010O QP(B)=2x—x(l——)=0.32；10 10(3)由于每次抽样的样本空间一样，所以：QP(C)=—=0.810若是不放回抽样，则⑴尸⑷=£=型；45(2)P⑻呼的C45,、c/小a!a'+a^a!4(3)尸(C)=37 2至=一。Ao57解：将全班学生排成一排的任何一种排列视为一样本点，则样本空间共有30!个样本点。(1)把两个“王姓”学生看作--整体，和其余28个学生一起排列共有29!个样本点，而两个“王姓”学生也有左右之分，所以，两个“王姓”学生紧挨在一起共有229!个样本点。

TOC\o"1-5"\h\z229! 1即两个“王姓”学生紧挨在一起的概率为30! 15。(2)两个“王姓”学生正好一头一尾包含228!个样本点，故2-28! 1两个“王姓”学生正好一头一尾的概率为30! 4358,解(1)设4={“1红1黑1白”},则安上；C；35(2)设8={“全是黑球”},则r31尸⑻=4=一；C；35(3)设。={第1次为红球，第2次为黑球，第3次为白球"},则%)=辽=2。7! 359解：设4=悌1号车配对},i=12…,9若将先后停入的车位的排列作为一个样本点，那么共有史个样本点。由题知，出现每一个样本点的概率相等，当A发生时，第i号车配对，其余9个号可以任意排列，故⑴P&.(2)1号车配对，9号车不配对指9号车选2~8号任一个车位，其余7辆车任意排列，共有77个样本点。故「(A讣⑶2仅出…44)=p(4…A8|AA>)p(A4),p(4…a81A4)表示在事件：已知1号和9号配对情况下，2~8号均不配对，问题可以转化为2~8号车随即停入2~8号车位。记B,={第i+1号车配对},i=l,2,...,7o则pW…41A4)=p(bi--b7)=i-p(biU-Ufi7)由上知，「⑻P由上知，「⑻PP(“㈤君=加“</<如P(4…当)=1tJ-7!。则 <=°Lp(A4…44)=p(4…%)p(A4)=[£ =故 9.j=o1.10、解由已知条件可得出:P(B)=1-P(B)=1-0.6=0.4；P(AB)=P(4)-P(AB)=0.7-0.5=0.2；P(A|JB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9；p(a「(p(a「(aU8))

p(a|Jb)P(A)=7(2)P(AB)=P(B)-P(AB)=0.4-0.2=0.2PaUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5玖40|(司」8))

隔玖40|(司」8))

隔|Jb)P(AB)_2(3)P(AB\A\jB)=P(A8「(AUB))-(aIJb)尸(AB)_2H解：由题知P(A)=0.5,p⑻=0.3,p(c)=0.4P(B\A)=Q.2p(AUB\C)=0.6则p(AU8UC)=p(AU8UC|C)p(C)+p(AU8Uc|c)p(c)=p(C)+p(AU洞p0)=p(C)+p(AUB)-p(AUB|C)p(C)=p(C)+p(A)+p⑻-p(A5)_p(AUB|C)p(C)=p(C)+p(A)+p⑻-p(B|A)p(A)-p(AUB\C)p(C)=0.8612、解设A=｛该职工为女职工｝,8=｛该职工在管理岗位｝,由题意知，P(A)=0.45,P(8)=0.1,P(A8)=0.05P(B\A)=P(B\A)=P(AB)

P(4)(2)P(AIB)=/(入8)P(8)(2)P(AIB)=P(B)-P(B)~213、解：P(Y=2)=p(y=2|X=l)p(x=l)+p(y=2|X=2)p(x=2)+…+p(y=2|X=5)p(x=5)111111111=0x—+—x—+—x—+—x—+—x—525354555_77-30014、解设4=｛此人取的是调试好的枪｝,8=｛此人命中｝,由题意知:3 3 - 1P(A)=-,P(B\A)=-,P(B\A)=—所要求的概率分别是：— — 37(1)P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=一80(2)P(AI(2)P(AIB)=P(AB)

P(B)P(A)P(8IA)1P⑻一3715解：设4=｛入市时间在1年以内｝,4=｛入市时间在1年以上不到4年｝4=｛入市时间在4年以上｝,g=｛股民赢｝层=｛股民平｝,8,=｛股民亏｝则p(B,|A)=0.1 p(B2|A)=0.2 p(B,|A)=0.7 p(B,|A2)=0.2 p®2%)=0.3，，，，p®3%)=0.5p(B,|A3)=0.4p(B21A3)=0.4p(B3|A3)=0.2

，，，⑴p®)=p⑻A)p(a)+pH|a2)p(a2)+p⑻A3)p(4)=0.228)=区®⑵P⑷阳p(8j= P#31Aqp(A)p(M|A)p(A)+pW%)p(a?)+pWIaJp》?)7=—«0.53813

16、解设A,8分别为从第一、二组中取优质品的事件，C,。分别为第一、二次取到得产品是优质品的事件，有题意知：TOC\o"1-5"\h\z30 20所要求的概率是：1 1 13P(C)=大P(A)+；P(8)=弓a0.54172 2 2413(2)由题意可求得：P(D)=P(C)=—24P(CD)=-x—x—+lxAxl^«0,21362302922019所要求的概率是：P(C\D)=P(CD)

P(D)2825P(C\D)=P(CD)

P(D)2825716317解：（1）第三天与今天持平包括三种情况：第2天平，第3天平；第2天涨，第3天跌;第2天跌，第3天涨。则Pi=%%+（2）第4天股价比今天涨了2个单位包括三种情况：第2天平，第3、4天涨；第2、4天涨，第3天平；第2、3天涨，第4天平。则p2=2a19⑴对。证明:假设A,B不相容,则P（A8）=°。而P（A）>0,P⑻>0,即p（A）p⑻>0,故P（A8）/P（A）P（8）,即a,B不相互独立。与已知矛盾，所以A,B相容。（2）可能对。证明：由P（A）=0-6P（5）=0.7知p（AB）=p（A）+p（B）-p（AUB）=1.3-p（AUB）>0.3p⑷p⑻=0.6x0.7=0.42P（A8）与p（A）p（B）可能相等，所以AB独立可能成立。（3）可能对。⑷对。证明：若A,B不相容,则P（A3）=0。而P（A）>0,P⑻>0,即p（A）p⑻>0,故P（M*Ma）P（8）,即a,B不相互独立。18、证明：必要条件由于A,8相互独立，根据定理152知，A与5也相互独立，于是:

P(AIB)=P(A),P{AIB)=P(A)即P(AIB)=P(AI初充分条件由于P(AIB)=由于P(AIB)=@辿及P(AI后)=

P(B)P(AB)

P(B)陪穿’结合已知条件’成立P(A5)_P(A)-P(A8)P(B)-l-P(B)化简后，得：P(AB)=P(A)P(B)由此可得到，A与8相互独立。20、解设A,分别为第i个部件工作正常的事件，8为系统工作正常的事件，则P(4)=p,(1)所要求的概率为：a=P(B)=P(AlA2A,\jAiA2A4\jAiA｝A4\jA2AiA4)=P(A,A2A3)+P(Ai>12A4)+P(A1A(A4)+P(A2A34)-3P(A1>VA3A4)=PlP2P3+P1P2P4+PlP3P4+P2P3P4-3Plp2P3P4设C为4个部件均工作正常的事件，所要求的概率为：尸=P(CI8)=PlP2P3P2。ay=C；a?(l—a)o21解.记6=｛第i次出现正面｝i=l,2np(4)=p(G…c,_£)=p(cJ…P(C-i)p(G)=p(i-p)”‘pM=p(Gc2c3c4)+p(c,c2c3c4)=p2(i-p)(2)MG畸*"，)(3)(2)MG畸*"，)(3)*)=嚅P，(1-P)=Dp2(l-p)22、解设A=｛照明灯管使用寿命大于1000小时｝,B=｛照明灯管使用辱命大于2000小时｝,C=｛照明灯管使用寿命大于4000小时｝,由题意可知P(A)=0.95,P(5)=0.3,P(C)=0.05(1)所要求的概率为：

P(C\A)=P(AC

P(C\A)=P(AC

P(A)0.05_1K95-I?(2)设A,分别为有i个灯管损坏的事件(i=0,l,2,3…)，a表示至少有3个损坏的概率,则p(4)=[p(8)『=(O.3)10=0.0000059P(4)=C：°[P⑻7(1-P(B))=0.0001378P(4)=Gj[P(B)『(1-P(B))2=0.0014467所耍求的概率为：a=l-P(&)-P(A,)-P(4)=0.998423解：设4=｛系统能正常工作｝,B=｛系统稳定｝,C=｛系统外加电压正常｝,则p(C)=0.99p(B|C)=0.9P(B|C)=0.2p05)=0.8/丽)=0.9(])P(A)=P(A忸)p(B)+p(A|B)p(B)=p®s)[p(叫c)p(c)+p(b|c)p(c)]+[i-p(乖)]p舸c)p(c)+p(b|c)p(c)]=0.8x(0.9X0.99+0.2x0.01)+(1-0.9)x[(1-0.9)x0.99+(1-0.2)x0.01]1=19(2)记4=｛第i个元件正常工作｝，则p(A)=而p(4U…U4)=1-p(4…4)=l-p(A)..p(4)®0.9984第二章随机变量及其概率分布注意：这是第一稿(存在一些错误)1解：X取值可能为2,3,4,5,6,则X的概率分布律为：=2)=高=/p(X=3)+=*妙二9P(X=4)=丁=/p(X=5)专综P(X=6)=-r=y。2、解(1)由题意知，此二年得分数X可取值有0、1、2、4,有P(X=0)=1-0.2=0.8p(x=l)=0.2x(l-0.2)=0.169P(X=2)=0.2X0.2X(1-0.2)=0.032fP(X=4)=0.2x0.2x0.2=0.008从而此人得分数X的概率分布律为：xo1 2 4P0.8 0.16 0.032 0.008(2)此人得分数大于2的概率可表示为：P(X>2)=P(X=4)=0.008.t(3)已知此人得分不低于2,即XN2,此人得分4的概率可表示为:P(X=41X22)P(X=41X22)=P(X=4)P(X>2)0.0080.032+0.0083解：(1)没有中大奖的概率是P|=(i-i(r7)"；(2)每一期没有中大奖的概率是n期没有中大奖的概率是p2=pn=(l-10-7)，<，\4、解(1)用X表示男婴的个数，则X可取值有0、1、2、3,至少有1名男婴的概率可表示为：P(X>1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-0.51)3=0.8824；(2)恰有1名男婴的概率可表示为：P(X=l)=C；0.51x(l-0.51)2=0.3674：(3)用a表示第1,第2名是男婴，第3名是女婴的概率，则a=0.512x(l-0.51)=0.127；(4)用尸表示第1,第2名是男婴的概率，则夕=0.512=0.260。5解：X取值可能为0,1,2,3；Y取值可能为0,123p(x=0)=(l-p,)(l-p2)(l-p3),=1)=p,(1-p2)(l-/?3)+p2(1-^)(1-p3)+/?3(l-p,)(1-p2),P(X=2)=P42(1-P3)+P|P3(1-P2)+P3P2(1-PJ，P"=3)=P|P2P3。Y取每一值的概率分布为：p(y=o)=Pi，p(y=i)=(i-pjp2，p(y=2)=。一pJ(i—P2)P3，p(y=3)=(i-p,)(i-p2)(i-p3).6、解由题意可判断各次抽样结果是相互独立的，停止时已检查了X件产品，说明第X次抽样才有可能抽到不合格品。X的取值有1、2、3、4、5,有p(x=k)=p(l-p)J,k=1,2,3,4,P(X=5)=(l-p)4；(2)尸(X42.5)=P(X=1)+P(X=2)=p+p(l-p)=p(2-p)。7解：(1)a=^(l-0.1)30.12+/(1-0.1)40.1+/(l-O.l)5=0.991,夕=1一额.23(1-0.2y+；o240_o.2)+/0.25=0.942o(2)诊断正确的概率为p=0.7a+0.34=0.977。(3)此人被诊断为有病的概率为p=0.7a+0.3(l-夕)=0.7"。7、解(1)用X表示诊断此人有病的专家的人数，X的取值有1、2、3、4、5。在此人有病的条件下，诊断此人有病的概率为：a=P(XN3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C^(l-0.1)30.12+C/(l-0.1)40.1+Cs(l-0.1)5=0.991在此人无病的条件下，诊断此人无病的概率为：P=P(X<3)=P(X=O)+P(X=1)+P(X=2)=C；(l-0.2)5+C；(1-0.2)40.2+C；(1-0.2)3Q22=0.942(2)用/表示诊断正确的概率，诊断正确可分为两种情况：有病条件下诊断为有病、无病条件下诊断为无病，于是：7=0.7a+0.3〃=0.977；(3)用〃表示诊断为有病的概率，诊断为有病可分为两种情况：有病条件下诊断此人为有病、无病条件下诊断此人为有病，于是：/7=O.7a+O.3x(l-0=0.711；8、解用A表示恰有3名专家意见一致，5表示诊断正确的事件，则P(AB)=0.7xP(X=3)+0.3xP(X=2)=0.112P(A)=0.7xP(X=3«KX=2)+0.3xP(X=2nJcX=3)=0.1335所求的概率可表示为：P(8IA)=^^=0.842P(A)9解：(1)山题意知，候车人数乂=攵的概率为p(X=%)=- ,k.则p(X=O)=e-"从而单位时间内至少有一人候车的概率为p=l-eT,所以l-e7=l-e4’解得4=4.5则p(X=D=J:-。k!所以单位时间内至少有两人候车的概率为p=l—p(x=0)-p(x=l)=l-5.5e<5。z、0-32324(2)若;1=3.2,则p(X=&)=^—32则这车站就他一人候车的概率为P=峭'O10、解有题意知，X乃(力)，其中；1=*10：00至12：00期间，即f=120,恰好收到6条短信的概率为:„zvq ^-(-6)6324/r(X=6)= = = e=U.lol；6! 6! 5(2)在10：00至12：00期间至少收到5条短信的概率为：4P(XN5)=1-P(X<5)=1-ZP(X=&)k=0t11IS/=1—/ =1—1ijek=ok!于是，所求的概率为：324P(X=61X25)=—^——?o5(？-115)11、解：由题意知，被体检出有重大疾病的人数近似服从参数为/l=〃p=3000x—!—=31000/ 、e~33k的泊松分布,即p(X=*)= ,k=0,1,2, 0k.则至少有2人被检出重大疾病的概率为p=l-p(X=0)-p(X=l)=l-e-3-3e-3^0.801o

F(x)=P(X<x)=<x222x—112、解（1）由于P{0<X41）+P（2WX43）=F(x)=P(X<x)=<x222x—11<x<2,2<x<3x>3TOC\o"1-5"\h\z25-1 3P[X<2.5]==^—^-=-2 413、解：⑴由1/（x"x=0（4-/蛆=1解得c=：（2）易知xWO时，F（x）=0；xN2时，F（x）=l；当0〈尤<2时，*x）=门（y总qf（4_y2,）,=（J；6人）0, x<0,(12x-x3)所以，X的分布函数为F(x)={^ L,0<x<2,161 x>2.p(-l<X<l)=F(l)-F(-l)=F(l)=j^oll216(4)事件{-1<X 恰好发生2次的概率为ll216p=^p(-l<X<l)2(l-p(-l<X<i))3=14、解（1）该学生在7：20过X分钟到站，X~U（0,25）,由题意知，只有当该学生在7：20-7：30期间或者7：40-7：45期间到达时，等车小时10分钟，长度一共15分钟，所以：15 3P{该学生等车时间小于10分钟}=P{X<10}=-=-；（2）由题意知，当该学生在7：20-7：25和7：35~7：45到达时，等车时间大于5分钟又小于15分钟，长度为15分钟，所以：15 3P{该学生等车时间大于5分钟又小于15分钟}=P{5<X<15}=q=9；(3)已知其候车时间大于5分钟的条件下，其能乘上7：30的班车的概率为:口该学生乘上7:3。的班车(该学生乘次3墨班车且X>5}其中「{该学生乘上7:30的班车且*>5}=(=(,P{X>5}=彳£=1，于是IP{该学生乘上7:30的班车IX>5}=1='。44515、解：由题知，X服从区间(-1,3)上的均匀分布，则X的概率密度函数为[o,其他。3在该区间取每个数大于0的概率为一，则4p{/=2}="((](；)>k=0,1,2,…，〃。16、解(1)P(X>2.5)=P^-^-> =尸>-2.5)aa a=1-<-2.5)=1-①(-2.5)a=0(2.5)=0.9938P(X<3.52)= <'52-〃)=p(£zZ£<-1.48)trcr a=0(-1.48)=1-0(1.48)=1-0.9306=0.0694n..vil\n/4—〃X—〃 6-/7 .X—〃,P(4<X<6)=P(———< —<———)=P(-l< —<1)crcrcr cr91)-0)(-1)=2皿1)一1=1.6826-1=0.682617、解：他能实现自己的计划的概率为p(x23)=1-p(xW3)=1-①[)=1一①(1.4)=0.0808。

18、解(1)X~N(170,5.02),有题意知，该青年男子身高大于170cm的概率为:P(X>170)= >17°~~)a(J=P芯上>0)

G=1-0(0)=0.5(2)该青年男子身高大于165cm且小于175cm的概率为：TOC\o"1-5"\h\z165-uX—u175-// X—uP(165<X<175)=P( <——-< -)=P(-l<——-<1)cr<Tcr <T=①⑴一①(一1)=2①⑴-1=1.6826-1=0.6826(3)该青年男子身高小于172cm的概率为：P(X<172)=P(土型<172-〃)=p(±L/£<0,4)(7 (7 b 。=0)(0.4)=0.655419、解：系统电压小于200伏的概率为p|=p(X4200)=①(独二^生］=①(一0.8),在区间［200,240］的概率为p2=p2=p(200<X<240)=①「40一220)1200-220一①| I25=<D(0.8)-<D(-0.8),(240-2201大于240伏的概率为Pi=p(X>240)=1-0) =1-0(0.8).(1)该电子元件不能正常工作的概率为a=0.1p1+0.001p2+0.2p3=0.064。(2)/=丝2•=0.662。a(3)该系统运行正常的概率为。=舌(1-07+(1-03=0.972。20>解(1)有题意知：P(|z|<a)=P(-a<Z<a)=1-2P(Z>a)=aI—ct于是P(Z2a)=」^,2从而得到侧分位点a=z(l_„)/2；(2)

P(Z>b)=P(Z>b或Z<b)=P(Z>b)+P(Z<b)=2P(Z>b)=a,a于是P(Z>b)=^,结合概率密度函数是连续的，可得到侧分点为b=za/2■,P(Z<c)=l-P(Z>c)=a于是P(Z>c)=l-a,从而得到侧分位点为c=Z]_a。21、解：由题意得，p(X<xJ=①(当”)，卜①安)，p(X>z)=l一①则中(甘卜MW卜①(甘卜)=5。：34:16,解得％=15,x2=17o22、解(1)由密度函数的性质得：=[f(x)dx=「a•e~x~dx=ay/7rJ-oc J-x所以1所以a=I—；yJ7T(2)p(x>-)=l-P(X<-)=\-^'ae^dx上式可写为:p(x>g)=l—^=]jJ5公=1一①(击)=1-0.761=0.239。[1/ix>023解：(1)易知X的概率密度函数为/(x)=«8 ' '0,x<0o

(2)A等待时间超过10分钟的概率是p(X>10)=[：/(x)dx=e-(3)等待时间大于8分钟且小于16分钟的概率是p(8<X<16)=f^x)dx=e~'-e~p{5<x<10}p{5<x<10}=F(10)-F(5)=e-1-e_2.(3)每天等待时间不超过五分钟的概率为p{xW5}=尸(5)=1-eT,则每•周至少有6天等待时间不超过五分钟的概率为p=可6P{尤45}6(l-p{x«5})+p{xW5}7=(l-eT)6+1)。26、解(1)这3只元件中恰好有2只寿命大于150小时的概率a为：a=C；[P(X>150)]2P(X<150)=C3[1-P(X<150)]2P(X<150),其中P(X<150)=『00.0加-03'公=0.7769于是a=3[l-P(X<150)]2P(X<150)=0.1160；(2)这个人会再买，说明这3只元件中至少有2只寿命大于150小时，这时所求的概率夕为：24、解用X,y分别表示甲、乙两厂生产的同类型产品的寿命，用Z表示从这批混合产品中随机取一件产品的寿命，则该产品寿命大于6年的概率为：P(Z>6)=P(X>6)•P(取到甲厂的产品)+P(y>6)•P(取到乙厂的产品)=0.4=0.4[—€3dx+0.6=0.4广2+0.6—=0.2749(2)该产品寿命大于8年的概率为：P(Z>8)=P(X>8)-P(取到甲厂的产品)+P(Y>8)-P(取到乙厂的产品)产1dx+0.6I—€上6=0.4e3+0&3=0.1860所求的概率为:P(Z>81Z>6)= >8)=o6772oP(Z>6)25、解：25、解：(1)由题知，/(x)=0.2产,x>0,x<0o尸=C；[P(X〉150)]2P(XW150)+C；[P(X〉150)]3=0.1271。27、解：依题知，丫的分布律为p(y=10)=p(X=2)=0.72=0.490,p(y=8)=p(X=3)=3；0.7(1-0.7)-0.7=0.294,p"=2)=p(X>4)=p(X=4)+p(X=5)=^0.7(l-0,7)2-0.7+^0.7(l-0.7)3-0.7=0.21628、解(1)由密度函数的性质可得:1=f(x)dx-Jc(4-jr2)dr=9c于是c=-9(2)设x,y的分布函数分别为：fxm，耳(无)，y的概率密度为力(x),有Fy(x)=P(Y<x)=P(.3X<x)=P(X<^x)=Fx(^x)那么，/y(X)=；/gx)=<—[4270,其他(3)设Z的分布函数为：£(无)。当xWO,显然£(x)那么，/y(X)=；/gx)=<—[4270,其他(3)设Z的分布函数为：£(无)。当xWO,显然£(x)=0。当x>0,有工(x)=P(Z<x)=P(|X|<x)=P(-x<X<x)=Fx(x)-Fx(-x),于是有/z(x)=/(x)+/(-x)=，-(4-x2),0<x<19—(4—),1<x<290,x>2从而，Z的概率密度为：fz(x)=<2 7-(4-x2),0<x<1-(4-x2),1<x<2,90,其他Z的分布函数为:02(12x-x3)/27,0<E%(x)={ ,(12x-x3+11)/27,1<x<21, x>229、解：(1)依题知，N«)乃(4)当.40时，3(/)=0,当t〉0时，FT(t)=[fN(l)(y)dy=l-e-\所以，T的概率分布函数为耳(。=e~z,0,Z>0,r<0o(2)p[t>/0+/|t>/0)=P(T＞九+1，丁＞幻P(T〉外P(T>6+，)P(T>。)「(，o+r)e~A,°30、解由题意知，X~U(0,l),即X的概率密度为:fx(x)fx(x)=fl,XG(0,l)fo,其他设x,y的分布函数分别为：4(x),4(y),其中y=xz有0,x<0Fx(x)=P(X<x)=\x,xg[0,1)1,X>1当yWO,显然有尸丫(>)=0。当y>0Fr(y)=P(Y<y)=P(Xn<y)=P(0<Xn<y)=P(0<X<^)=Fx[!^)I--i ,那么/«)=清",<y<\0,其他

31解：由题意知，X31解：由题意知，X的概率分布函数为E(x)=<0,2x3兀1,x<0,, 3n0Vx<—,2、3冗

xN—.2则p(y<y)=p(cosX<y)=p(X<arccosy)=尸(arccosy)0,4(乃一arccosy30,4(乃一arccosy3万2arccosy1 -3兀1,y<-i,,TWy<0,0<y<l,y>i-32、解由题意知，X~NWd),即X的概率密度为:fx(x)=-^=1—/2")«"),国<+0072兀・(y设X,y的分布函数分别为：Fx(x),FY(y),其中y=X2。当yWO,显然有4(y)=0。当y>0,有4(y)=P(yWy)=P(X2Wy)=h一下<X = FJ-7y)那么fY(y)=fY(y)=(4)+£(-6)]=一口"叱)+e-g加叫,y>02yly 2,2万y-cr33解:⑴由题意知,[(ax+b')dx=\133解:⑴由题意知,[(ax+b')dx=\b=—.6(2)y=J7的反函数为x=V,则

/r(y)=,A(/)2y,

o,0<y<V2,

/r(y)=,A(/)2y,

o,0<y<V2,

其他。y(2/+i)30,0<y<V2,

其他。34、解设X,Y,Z的分布函数分别为：Fx(x),FY(y),弓(z)。由丫=*,容易得出：当y40,有/；(y)=0。当y>0,有K(y)=P(Y<y)=P(ex<y)=P(X<Iny),[0,从而求得y的概率密度：4。)=<又Z=ln|X|,于是Fz(z)=P(Z<z)=P(lnIX区z)=P(|X区/)=P(-ez<X<ez)=Fx(ez)-Fx(-ez)从而<00fz(z)=lfx(ez)+fx(-ez)le<00第三章多维随机变量及其概率分布注意：这是第一稿（存在一些错误）1、解互换球后，红球的总数是不变的，即有X+Y=6,X的可能取值有：2,3,4,Y的取值为：2,3,4。则（X,Y）的联合分布律为:P(X=2,y=4)=P(X=4,y=2d=£5525223313p(x=3,y=3)=——+—-=—555525由于x+y=6,计算x的边际分布律为：p(x=2)=P(X=2,y=4)=—13p(x=3)=P(X=3,r=3)=—p(x=4)=P(X=4,y=2)=卷(1)P{X=0}=P{X=0,y=0}+P{X=0,y=l}=0.4+ap{X+Y=1}=P{X=0,丫=1}+P{X=1,丫=0}=a+b因事件｛x=0｝与事件｛x+y=1｝相互独立，则p{x=o,x+r=i}=p{x=o}•尸{x+y=i},即a=(0.4+a)(a+Z?)由（1）,（2）由（1）,（2）解得a=0.4b=0.13、解利用分布律的性质，由题意，得a+0.1+0.1+&+0.1+0.1+c=lP-0IX<2)=笠发/P(r<0,X=l)aP-0IX<2)=笠发/P(r<0,X=l)a+O.lP(X=1)~~a+OA+b0.5P{y=l}=b+c=0.5计算可得：a=c=0.2b=0.3于是X的边际分布律为：p(X=l)=a+0.1+b=0.6P(X=2)=0.1+0.1+c=0.2+c=0.4Y的边际分布律为p(y=-l)=a+0.1=0.3,P(y=0)=0.2p(y=l)=b+c=0.54解：(D由已知p{x=o,y=o}=p{x=i,y=2}=o.i,贝up{x=o,r=2}=p{r=2}-p{x=i,y=2}=o.3-o.i=o.2,p{x=o,y=i}=p{x=o}-p{x=o,y=o}-p{x=o,r=2)=o.i,p{x=i,y=o}=p{y=o}-p{x=o,y=o}=o.i,p{x=i,y=i}=p{x=i}-p{x=i,y=o}-p{x=i,y=2}=o.4。(2)p{Y=(2)p{Y=k\X=0}=p{X=0,Y=上}p{x=o}5、解(1)每次抛硬币是正面的概率为0.5,且每次抛硬币是相互独立的。由题意知，X的可能取值有：3,2,1,0,丫的取值为：3,1。贝iJ(X,Y)的联合分布律为：p(x=3,y=i)=p(x=2,y=3)=p(x=i,y=3)=尸(X=o,y=i)=oP(x=3,y=3)=©[,P(x=“=i)=%XP(x=3,y=3)=©[,P(x=“=i)=%X的边际分布律为:y的边际分布律为：P(Y=3)=P(X=0,y=3)+P(X=3,y=3)=—43p(y=D=p(x=i,y=i)+尸(X=2,y=1)=—4(2)在{丫=1}的条件下x的条件分布律为：p(x=\y=n।p(x=oir=i)=o,p(x=iiy=i)=、一，一)=_p(r=i)2p(x=21y=i)=/(X=2,丫=i)=),p(x=3ir=i)=oP(Y=1) 26解：(1)p{x=o,y=i}=p{y=i|x=o}p{x=o}=正,p{x=o,y=2}=p{y=2|x=o}p{x=o}=p{x=o,y=3}=p{y=3|x=o}p{x=o}=上，7p{x=i,y=1}= =i|x=i}〃{x=1}=—»p{X=i,k=2}=p\y-2|x=1}p{x=1}=—»p{x=i,y=3}=p{y=3|x=i}〃{x=i}=焉o(2) =i}=p{x=o,y=i}+p{x=i,y=1}=,90aop{Y=2}=p{X=0,Y=2}+p{X=l,Y=2}=—,=31=p{x=o,y=3}+“{x=i,y=3}=--。90p{x=o|r=i}=/{x=o,y=i}6p{r=p{x=o|r=i}=p{x=p{x=i|y=i}=p{x=i,y=1}

p{y=1}3541e~AAm7,解(1)已知尸(X=m)= ,m=0,l,2,3…。由题意知，每次因超速引起的事故是相互独立的，当“=0,1,2,3…时，P(Y=n\X=m)=C^(0.1)"(0.9)m-n,n=0,l,2,-m。于是(x,y)的联合分布律为：—A2mP(X=m.Y=n)=P(X=m)-P(Y=n\X=m)=- £：(0.1)〃(0.9)””，ml(n=0,1,2,---m；m=0,1,2,3---)(2)y的边际分布律为：+CC -KO-21m P~°AA(O1JVp(y=〃)=Xp(x=肛丫=〃)~m=O m=Om- 〃!(〃=0,l,2,…)即丫〜乃(O.M)。(该题与41页例3.1.4相似)8解：(1)y可取值为0,a,2a,p(X=0,丫=0)=0.6,p(x=O,y=a)=p(X=0,y=2a)=0,p(x=i,y=o)=o.3(i-p),p(X=l,y=a)=0.3p,p(X=l,y=2a)=0,p(x=2,r=o)=o.i(i-p)2,p(X=2,y=a)=0.2p(l-p),p(X=2,y=2a)=0,lp2.(2)p(y=o|x=i)=(i-p),p(Y=a\x=\)=p,p(y=2a|x=1)=0。9、解(1)由边际分布函数的定义，知f0,x<0Fx(x)=limF(x,y)=Jo.3,O<x<ly—>4-co1,X>10,y<0K(y)=limF(x,y)=]o.4,O<y<lX—>4-00（2）从x和y的分布函数，可以判断出x和y都服从两点分布，则x的边际分布律为：X01p0.30.7Y01p0.40.6(3)易判断出p(x=o,y=o)=o.i,所以(x,y)的联合分布律为：p(x=o,r=o)=o.ip(x=o,y=1)=P(X=0)-P(X=0,F=0)=0.2p(x=i,y=o)=p(y=o)-p(x=o,y=o)=o.3p(x=i,y=i)=p(y=i)-尸(X=o,r=i)=o.4oio解：(i)p{x=o,y=i}=p{y=i|x=o}p{x=o}=p{bR}p{K}=o.35,p{x=o,y=o}=p{x=o}-p{x=o,y=i}=o.35,p{x=i,y=o}=p{y=o}-p{x=o,y=o}=i-p{y=i}-p{x=o,y=o}=o.25,p{x=i,y=i}=P[x=i}-p{x=i,y=o}=o.O5。(2)当x<0或y<0时，F(x,y)=0,当0Wx<l,0Wy<l时，/(x,y)=p{X=0,丫=0}=0.35,当OW为<1,y>10'!,尸(x,y)=p{X=0,丫=0}+p{X=0,Y=l}=0.7,

当xNl,04y<1时，F(x,y)=p{X=0,Y=0}+p{X=1,丫=0}=0.6,当xNl,yNl时，F(x,y)=lo0,x<0或y<0,0.35,0<x<l,0<y<l,所以，（X,y）的联合分布函数为/（x,y）=«0.7,0<x<l,y>1,0.6,x>l,0<y<1,.Lx>l,y>1.11、解由（x,y）的联合分布律可知，在｛x=i｝的条件下，丫的条件分布律为:p(y=0IX=1)=口丫=0,X=1}P{X=1}0.25_5p(y=11%=1)=P{y=l,X=1}

P{X=1}0.05_1因此在｛x=i｝的条件下，丫的条件分布函数为匹x（Yll）=0,y<0^,0<y<ll,y>l12解:设尸{x,y}=fcty,(x,y)eD,则xNl,yNl时，k+0.2=l,即k=0.8。所以（X,Y）的联合分布函数为尸(x,y)=«o,0.8盯+0.1,

0.8x+0.1,

0.8y4-0.1,1,x<0或y<0,

0<x<l,0<y<l,

0<x<l,y>1,

x>1,0<y<1,

x>1,y>1.13,解由/(x,y)的性质，得：1=££f(x,y)dxdy=fdyc(y-x)dx=~,所以c=6(2)设Z)]={(x,y)Ix+y41,0WxWyW1},则P[X+K<1}=y)dxdy=ptZxJ1c(y-x)dy=0.5(3)设。2={(x，y)io«xwywi，x<0-5},贝uP[X<0.5}=Jj/(x,y)dxdy=fdxfc(y-x)dy=2d2 °14解：⑴由1=f『。(工一。」“*'得c=3。(2)由(1)知,f(x,y)=-%x-1),1<x<2,

0,其他。(2)由(1)知,f(x,y)=-%x-1),1<x<2,

0,其他。则/x(x)=「/(x,y)dy=3f(x-l)Jy,1<x<2,

0,其他。_,3(x-l)(4-2x),10,<x<2,其他。3j 1<y<2,4()')=L〃x,y)dx=，3r(x-l)dx,2<y<3,=

0,其他。BUT?23(3-420,2<y<3,其他。15、解(1)由题意，知当xe(0,+00),fx(x)=匚f(x,y)dy=£e~xdy=xe~x当X€(-CO,0],£(x)=°所以：fXM=\0,x<0xe-x,x>0ee7dx-e~y当ye(0,+8),当ye(-oo,0],4(y)=o所以：A(y)=0,y<0e~y,y>0/(x,y)/“x(y।x)/(x,y)/“x(y।x)=———fxM(2)当x>0时，有1 c—,0<y<xx0,)，取其他值(3)当已知{x=r时，由7nx(y।幻的公式可以判断出，丫的条件分布为［0,划上的均匀分布。16解：(1)由4|x(y|x)=」/(x，y)=%x(yk)/x(x)(2)当尤>0时，小(刈=「鬲五3）岛-JL2x=<A2ex,x>0,y>0,、0, 其他。丁加（小}区y>。，/—iy>0,0,y<0ot0' y<°。（3）p{y>l|x=1}=p{x=1}-/?<17、解（1）由题意可得：当|y|<l时,/y（y）=f（x,y）dx=当4（y）=0[―（1—y4）,|y|<1所以4（y）=8 '⑺；o,|y|>l[Y<l\x=1}=/。二%小沁”（2）当y2<1时心（e）=$=4（y）（3）当y=g时,所以P{x>-ir=-2 2*54 2x2/ 15 =. 4,yWx<i,1（）1-y0,x取其他值f32x1 ,心二）=百尸<1[o,x取其他值}=『/xiy（xlj）dx=£管以+ 2 s1518解：(1)因人(无)=1,0<X<1,0,其他。’i归z?所以/(x，y)=4ix(y|x)/x(x)=11—X0,其他。(2)fy(y)=£/(x，y)dx=•y1 ,——dx,91-x0,其他。0,0<y<其他。(l-x)ln(l-y)'0,其他.的均匀Fz(t)的均匀Fz(t)=尸(Z<f)=P{|X_H<r}=nr-(7w-z)22mt-rm219、解设事故车与处理车的距离Z的分布函数为B。)，X和丫都服从(0,m)分布，且相互独立，由题意知:—,(x,y)eD,0,其他。0<y<1,)冗4_—,(x,y)eD,0,其他。0<y<1,)冗4_710<y<0,其他。0,其他。0j<02mf—t〜 ；——,0<t<m1,/>in所以Z的概率密度函数为⑴为:2(m-1)m2' 0<t<m01取其他值20解：由题意得(X,y)U(D),即/(x,y)=

(2)p{Y<l/2}=「4(y)dy=20^jT^dy=；+*⑶同理得人(力=[!忘3°<x<L,[0,其他。所以/（x,y）Hfx（x>4（y），故x和y不独立。21、解（1）设x,丫的边际概率密度分别为/x（x），4（>），由已知条件得,川）二口（2）叱/180cl 1 （y-iy人（丁）=「/（x,y）dy=讨=64（计算的详细过程见例335）（2）有条件概率密度的定义可得：狐5M警+强力”加fx（x） 73元在｛x=o｝的条件下，y的条件概率密度为:1狐“⑼二-/一73兀⑶”「IX=O｝=L⑶”「IX=O｝=L狐30曲=工意--ky-1]2e3dy0.522解：(1)/x(x)=「/(x，y)dy=1£[/|(x，y)+72(x,y)]dy=；"x(x)+/2x(x))1-,——e2,lx<ooy[17V 114（加意小8（2）当8=0（i=1,2）时，X］与r，X2与八均独立，则/(x,y)=-[/,(^y)+f2(x,y)]=；"x(x)启(小/^⑺行。)]2tt所以，f(x,y)=/X(x)-/r(y),即X与丫独立。23、解设T表示正常工作的时间。由题意知X,~E(/l)(j=l,2,3),即0,x,.<0七(为)=「产x〉00设4(f)是设备正常工作时间的概率分布函数，%是概率密度函数。则当f〉0时FT(t)=P(T<t)=P(X1<t,X2<t)+P(X{<t,X3<t)+P(X2<t,X3<t)-2P{X,<t,X2<t,X3<t)=3(l-^)2-2(l-e^)3当「40时，耳”)=0。[0,/<0于是：3(f)= 〃2 〃3[3(1-e/产一2(1一e”了/>0f0j<0同时可求得：4(0=i〃， ,, 。24解：(1)尸(z=k)=C：p'(l-p)"'，k=0,o所以，ZB(〃,p)(2)p"=k)=p(x+y=k)=£p(X=l,Y=k-l)1=0=£cA(i-p)%：，i(i-pL/=0=C[pk(1-p)""",k=。,…,m+〃所以，WB(/n4-n,p)o

25、解设力(幻，/r(y),/zQ)分别是X，Y,Z的概率密度。利用公式(3.5.5),由题意得：x)dxa|r|<-i-ooo/z(0=Lf(x,t-x)dx=],/xMfrQ-x)dxa|r|<-i-oooTOC\o"1-5"\h\zIf(+a I=\fy(y)dx=—[P(Y<t+a)-P(Y<t-a)]2a2a+a—/J t—a—//=[①( -)-力( -)]2ab cr26解：必)=工/(尤…粒—dx,0<r<1,j3dx,1</<2,j1--dx,2<r<3,、0,其他。g。<力，3(3-z)“，1<Y2,=<32<t<3,3.0,其他。27、解设X,为一月中第i天的产煤量(i=l,2,…30),Z是一月中总的产煤量。由于30Xj~N(1.5,0.F),且相互独立，因此有Z=Zx,~N(30xL5,30x042),即i=0Z~N(45,0.3)。于是，46-45P(Z>46)=1-P(Z<46)=1-①(二)=0.034V0.328解：Fz(z)=P(X+Y<z)=P(X=O,K<z)+/>(X=100,y<z-100)+/?(X=5OO,K<Z-5OO)=0.5F(z)+0.3F(z-100)+0.2F(z-500)所以，/z(z)=0.5/(z)+0.3/(z-100)+0.2/(z-500)1,1029、解(1)由于X,〜乃(团(i=l,2,…10),且相互独立，因此有gX,〜乃(1(U)(见1=0例3.5.1),由题意知，得10 10 10 10P(£X,N2)=1-P(EX,<2)=1-P(ZX1=0)-P(ZX,=1)/=0 /=0 1=0 f=o=l-(l+10/l)e-10/l(2)所求的概率为：P(maxX>2)=l-P(maxX<2)=1-P(X1<2,Xz<2,…X|0<2)=1-P(X1<2尸=1-(1+4尸””(3)由题意可求：P(ninX,.=0)=l-P(X,>0,X2>0,---X10>0)=1-[1-P(X,=O)]lo=l-(l-^)10及P(maxX,>2,minX：=0)=P(rrrinX,=0)-P(maxX,<2,minX,=0)l<i<10 10M0 凶MIO l<i<10 l&MO=P(minX.=O)-P(iraxX,.<2)+P(nBxX.<2,minX.>0)1<1<IO LSr<10 l<i<10 l^i<10=P(minX,.=O)-P(iraxX<2)+P{0<X<21i=LZTO}Ki<10 1&M10=P(ninX,.=O)-(l+2),o^m+"必于是所求的概率为：P(maxX.>2,minX,=0)产(maxX.>21minX,=0)=― =P(minX.=0)-P(maxX.<2,minX.=0)14410 14410 P(minX,=0) KiSlO 14410 1441014410'P(minXj=0)-(1+义严"必+£%-必_ 14在10 P(minX.=0)IMiMIO[(l+2),0-2,0]e,0A= l-d-e^)1030解：①P(Z=1)=尸(X=0,y=l)=0.04,P(Z=2)=P(X=0,y=2)+尸(X=1,11)=0.14,p(z=3)=p(x=o,y=3)+p(x=i,y=2)+p(x=2,y=i)=o.3,p(z=4)=p(x=l,y=3)+P(X=2,y=2)=032,P(Z=5)=P(X=2,y=3)=02。②尸(m=i)=p(x=o,r=i)+p(x=i,r=i)=o.i,p(M=2)=p(x=0,y=2)+P(X=l,y=2)+P(X=2,y=2)=0.5,P(M=3)=04。③尸(N=0)=02,p(n=i)=p(x=i,y=i)+尸(x=i,y=2)+p(x=i,y=3)+p(x=2,y=i)=o.4p(N=2)=P(X=2,y=2)+尸(X=2,y=3)=04。31、解设T的概率密度函数为4(0»(1)串联当，>0时P(T<t)=l-P(T>t)=l-P(X>t,Y>t)=1-丸传-中心,'A2e^ydy=1-e-U|+X2),计算可得+4)e-T+-'当rWO时，显然有人。)=0。因此T的概率密度函数为于式讣为:，/、J(4+4)eY2",f>04(o=lo./<o(2)并联当，>0时P(T<0=P(X<t,Y<t)=[\e~^xdx£A2e^ydy=1-e^'-e~^'+"C"计算可得/Jr)=4""+4e-3 +4)e-(-'当」40时,显然有力■⑺=0。因此T的概率密度函数为力⑺为:

4-知+4"孙_(4 >o0,r<0(3)备份由题意知，T=X+Y,于是当IW0时，显然有力•«)=()。当f>0时fT(t)=fx(x)fY(t-x)dx=外为ef)dx［上邑_*一6乜］,4工4=根-4以力5,4=4从而所求的概率密度函数为：当人工4时［上邑_-，-0-力/>0分(，)=彳4-4［o,r<O左Q)左Q)=j0,r<0L'U>o32解：令u=32解：令,则v=2x-yF7\z)=P(2X-Y<z)=JJf(x,y)dxdy2x-y^z=£J^/(w,2w-v)rfwJv0,z<0,0,=<］；0<z<4,z>4.0, z<0,=> ,0<z<4,2161, z>4.所以,/z(Z)=]20<Z~4,[0,其他。33、解(1)由题意得，对X独立观察〃次，〃次观察值之和卬的概率分布律为：p(w=k)=c^pk(l-p)i,k=0,1,2,3,…,〃(2)X的可能取值为：0,1,Z的可能取值为：0,1,因此(X,Z)的联合分布律为:p(x=o,z=o)=p(x=o,x+y#i)=p(x=o,y=o)=(i-p(x=o,z=i)=p(x=o,x+y=i)=p(x=o,y=i)=p(i-p)p(x=i,z=o)=p(x=i,x+y#i)=p(x=i,y=i)=p2p(x=i,z=i)=p(x=i,x+y=i)=p(x=i,y=o)=p(i-p)u=x34解：令< x，则v=——y=JJf(x,y)dxdy56<x<i,0<y<l0, r<0.2t20,/>1,0<2t20,/>1,0<r<1,

r<0.1fz3="；，0,/>1,0</<1,

t<0.第四章随机变量的数字特征注意：这是第一稿(存在一些错误)—N_ _ N1、解每次抽到正品的概率为：——，放回抽取，抽取〃次，抽到正品的平均次数为：——nM M2、方案一：平均年薪为3万方案二：记年薪为X,则p(X=1.2)=0.2,p(X=4.2)=0.8=1.2x0.2+4.2x0.8=3.6>3故应采用方案二3、解由于：= 一^^Zx=-ln(l+x2)r=+ooTOC\o"1-5"\h\z। 力刀"(l+X) 7T所以X的数学期望不存在。4、p(X=2)=*，p(X=3)=得，P(X=4)=/,P(X=5)=1,p(X=6)=费,3 1P(X=7)=r，p(X=2)=屋1 1 3 15 3 1=2x—+3x—+4x—+5x-+6x—+7x—+8x-=6«28 14 28 7 28 14 45、解每次向右移动的概率为p,到时刻〃为止质点向右移动的平均次数，即功的期望为:时刻〃质点的位置5“的期望为：E(S,)=〃p-〃(1一p)=〃(2p-1)6、不会7、解方法1：由于P(TNO)=1,所以T为非负随机变量。于是有:E(T)=「(1一/(。)力=£7P(T>t)dt=Pe~'(1+e^')dt=-方法二：由于尸(T20)=1,所以，可以求出T的概率函数：0,/<0=J1[2于是EQ)=「||/«劝==18、fx(x)=j =j—e~2xdy=2e'2x,0<x<4-ooEX-£xfx=£2xe~2xdx=—£(3X-1)=3£X-1=-E(X,K)= £xyf(x,yylxdy=Jxy—e^2xdydx=—o9.解设棍子上的点是在。1]之间的，Q点的位置距离端点。的长度为q。设棍子是在I点处跌断，t服从[0,1]的均匀分布。于是：包含Q点的棍子长度为T,则：</<1T=< <q,q<t<\[min(q,l_q)/=q于是包Q点的那一段棍子的平均长度为：E(T)=[Tdx=[(l—f)力+[fdf=g+g_q210、XU(8,9),YU(8,9)E|x_y|=f,卜_力(乂曰公6=；(小时)即先到的人等待的平均时间为20分钟。11、解(1)每个人化验一次，需要化验500次(H)分成k组，对每一组进行化验一共化验随次，每组化验为阳性的概率为：1-0.7*,k若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k次，于是该方法需要化验的次数为：—(1+(1-0.7*)Jl)ok将(II)的次数减去⑴的次数，得：—(1+(1-0.7aU)-500=500(--0.74)k k于是:

当!-0.7«<0时，第二种方法检验的次数少一些：当0.7«>0时，第一种方法检验的k k次数少一些：当,-0.7*=0时，二种方法检验的次数一样多。12、12、f(t)=<r>0,0, r<0.ET=ftAe-Atdt+「8及"力=1~e-o』) A 213、解由题意知：‘1 f2 [2¥(、一在圆内 一,-r<x<r —,-r<y<r/(x,y)=J;rr ，fx(x)=<nr ,fY(x)=<7vr0,其他值 [o,其他值 [o,其他值rr2计算可得E(X)=E(Y)=rX—dx=OLrnrA的位置是(x,y),距中心位置(0,0)的距离是：y/x2+y2,于是所求的平均距离为：E(VF+F)=ff旧+丫2鼻岫岩TOC\o"1-5"\h\z2"2 九丫 314、⑴。=1时，p©=0)=*，p(S,=l)=^^心.胆—C.5 153「2 I xt2/2时，p值=0)=,，p低=1)=-^.，p俗=2)=/。15 “5r'C'c C2la%=lx^^+2x木正。15 %1°4山Eg?=§得，Q=l°。(2)。仁=4)=*，p值=5)=*,p值=6)=*TOC\o"1-5"\h\zC15 ^15 J507「2 08「1 「9「0，(殳=7)=*，p(a=8)=*，p(,=4)=怜L]5 ^15

15、解fnx(y\x)=/(x,y)fxMfy\x15、解fnx(y\x)=/(x,y)fxMfy\x(yI一, <y<—2r2 20,其他值于是：e（yix=*）=£《她=016、记y为进入购物中心的人数，x为购买冷饮的人数，则Px(X=A)=£py(y=m)C：p*(l-p)"Tm=koojm-A=y7—；—p(i-p)k!2ml_(即一'k\故购买冷饮的顾客人数服从参数为的泊松分布，易知期望为/Ip。17、解：由题意知P(X=jt)=—,其中女=0,1,2,…10。于是P(Y=k,X=i)=0,i=k+l,…，11P(Y=k,X=i)=P(X=i)P(Y=k\X=i)=-——?一,i=0,l，…次11ll-l

从而p(y=k)=，p(y=k,x=i)=S；j4i=0 i=01111—I10ki于是：E(Y)=XXkTi~=7-5k=0i=0II-I乂P(z=k)=邺#1=1 118 10 1从而E(Z)=ZP(Z=k"=Zk"；=3.02hl i=l(1―I)19、解E(Xk)=rxAxa-'e-A'dx=£^±A25(Jt>Dr(a) #「(a)D(X)==IW2)rwi)2D(X)=)「(a) A2r(a)H(a)A220、EX=jtf(x)dx=0,DX=EX2=-Px2e~^dx=22L£|x|=；［：|x|”dx=lD|x|=E|x|2-(£|x|)2=l£xVl^-i=i21、解(1)设P表示从产品取到非正品的概率，于是有：p=(1-98%)*0.7+0.2*(1-90%)+0.1*(1-74%)=0.06,用X表示产品中非正品数，X服从二项分布B(100,0.06),有：100E(X)=£kP(X=^)=100x0.06=6i=0D(X)=100p(l-p)=5.64(参考77页的例4.2.5)(3)用丫表示在该条件下正品数，丫服从二项分布B(100,0.98),于是E(y)=100x0.98=98D(X)=100x0.98x(l-0.98)=1.96

22、(1)(2)p(x=o)=p(x=i)=p(y=o)=p(y=i)=22、(1)(2)p(x+yni)=p(x=o,y=i)+p(x=i,y=i)+p(x=i,y=o)=p(x=o”(y=i)+p(x=i)p(y=i)+p(x=i)“y=o)_3-4e(x-(-i)rj=o(-i)°p(x=o)p(r=o)+o-(-i)'p(x=o)p(y=i)+i-(-i)°p(x=i)/?(y=o)+i-(-i)'p(x=i)/?(r=i)=o(X.(-1/)=E(X.(-l)r)2-[E(X.(-l/)]2=E(X.(T)]Jo(T)°]2p(x=o)p(y=o)+[o(T)Tp(x=o)p(y=i)+[i(-i)°]2p(x=i)p(y=o)+[i(-i)Z=min{X,Y}Fz⑶=P(Z4Z=min{X,Y}Fz⑶=P(Z4z)=1-[(1-FX(z))(l-Fjz))]=<故Z服从参数为2=6的指数分布，故EZ=1,DZ=—o故Cv(Z)=Y02=l。6 36v7EZi-223、解证明：D(XY)=E((XY)2)-(E(XY))2=E(X2Y2)-(E(XY))2=£(*2)成丫2)-(£(*)七(丫))2(由于*,丫相互独立)=(D(X)+£(X)2)-(D(r+E(r)2)-E(X)2E(y)2=D(x)D(y)+(E(x))2-D(y)+(£(r))2D(x)24、/x(x)=,2e~2x,x>0,0, x<0.4厂\y>0,0,y<0.e~2x,x>0,0,x<0.'-f,y>0,0, y<0.1-1-产，z>0,0,z<0.(2)Z=max{X,y}/、 / \t\(\ (1—e)(1—e」'),z>0,五z(z)=P(ZWz)=6(z)4(z)=(l 八'0, z<0.EZ=「z%(z)=V，DZ=EZ2-(EZy=rz2dFz(z)--=—,' 7小zv7144144故o(z)=®=叵。v7EZ7(3)z=x+y,3 5EZ=EX+EY=-,DZ=DX+DY=—,4 16°(z卜返空')EZ325、解(1)由相关系数的定义，得：''凶='其中Cov(X,\X\)=E(X\X\)-E(X)E(|X|)通过计算得Cov(X,|X|)