高二数学函数极值与导数综合测试题

高二数学函数极值与导数综合测试题高二数学函数极值与导数综合测试题高二数学函数极值与导数综合测试题选修2-21.3.2函数的极值与导数一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，以下命题中，正确的选项是( )A．导数为零的点必然是极值点B．若是在点x0周边的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．若是在点x0周边的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．若是在点x0周边的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值[答案]C[剖析]导数为0的点不用然是极值点，比方f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有( )A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3[答案]D[剖析]y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－1<x<1时，y′>0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为f(x)的极值点，则以下说法正确的选项是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0[答案]C[剖析]如：y＝|x|，在x＝0时获取极小值，但f′(0)不存在．4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件[答案]C[剖析]只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．3－3x2，给出命题：

5．对于函数f(x)＝x①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递加区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[剖析]f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0<x<2，∴①②错误．1的极值情况是( )

6．函数f(x)＝x＋xA．当x＝1时，极小值为2，但无极大值B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2[答案]D1[剖析]f′(x)＝1－2，令f′(x)＝0，得x＝±1，x函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递加，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象以下列图，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]A[剖析]由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是( )A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值[答案]D[剖析]∵y′＝1－12(x2＋1)′2＋1)′1＋x2x＝1－＝x2＋1(x－1)2x2＋1令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，当x<1时，y′>0，∴函数无极值，故应选D.3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是( )

9．已知函数f(x)＝xA．极大值为4，极小值为027B．极大值为0，极小值为427C．极大值为0，极小值为－427D．极大值为－4，极小值为027[答案]A[剖析]由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②由①②得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，1令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，极大值f314，极小值f(1)＝0.3＝2710．以下函数中，x＝0是极值点的是( )3B．y＝cos2x

A．y＝－x1C．y＝tanx－xD．y＝x[答案]B1＋cos2x[剖析]y＝cos，y′＝－sin2x，2x＝2x＝0是y′＝0的根且在x＝0周边，y′左正右负，∴x＝0是函数的极大值点．二、填空题11．函数y＝2x的极大值为______，极小值为______．x2＋1[答案]1－1[剖析]y′＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．

12．函数y＝x[答案]a＋42a－422－6＝3(x＋2)(x－2)，

[剖析]y′＝3x令y′>0，得x>2或x<－2，令y′<0，得－2<x<2，∴当x＝－2时取极大值a＋42，当x＝2时取极小值a－42.13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.[答案]－3－9[剖析]y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是

14．已知函数f(x)＝x________．[答案](－2,2)[剖析]令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大体图象如图观察图象得－2<a<2时恰有三个不同样的公共点．三、解答题3－3x2－9x＋11.15．已知函数f(x)＝x(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)谈论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，

[剖析]f′(x)＝3x令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性以下表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)

f′(x)＋0－0＋极大值极小值f(x)增减增f(－1)f(3)(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c

16．设函数f(x)＝ax的值，并求出相应的极值．[剖析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，1此时函数的表达式为f(x)＝x3－3－232x.∴f′(x)＝32－2x32.令f′(x)＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况以下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋极大极小f(x)值1值－1由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.3＋bx2－3x在x＝±1处获取极值．

17．已知函数f(x)＝ax(1)谈论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．2＋2bx－3，依题意，[剖析](1)f′(x)＝3axf′(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数．∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．3设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x0－3x0.∵f′(x0)＝3(x20－1)，故切线的方程为2y－y0＝3(x0－1)(x－x0)．注意到点A(0,16)在切线上，有16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．化简得x03＝－8，解得x0＝－2.∴切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0.a3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两

18．(2010北·京文，18)设函数f(x)＝x3个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的剖析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．[剖析]本题观察了函数与导函数的综合应用．a由f(x)＝3x∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.(1)当a＝3时，由(