高考二项式定理十大典型问题例题

高中高考二项式定理十大典型问题及例题高中高考二项式定理十大典型问题及例题高中高考二项式定理十大典型问题及例题学科教师指导讲义1．二项式定理：(ab)nCn0anCn1an1bLCnranrbrLCnnbn(nN)，2．基本看法：①二项式张开式：右边的多项式叫做(ab)n的二项张开式。②二项式系数:张开式中各项的系数Cnr(r0,1,2,,n).③项数：共(r1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：张开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式张开式的通项。用Tr1Cnranrbr表示。3．注意要点点：①项数：张开式中总合有(n1)项。②序次：注意正确选择a,b,其序次不能够更正。(ab)n与(ba)n是不同样的。③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn0,Cn1,Cn2,,Cnr,,Cnn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。4．常用的结论：令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2LCnrxrLCnnxn(nN)令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2LCnrxrL(1)nCnnxn(nN)5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn0Cnn，···CnkCnk1②二项式系数和：令ab1,则二项式系数的和为Cn0Cn1Cn2LCnrLCnn2n，变形式Cn1Cn2LCnrLCnn2n1。③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b1，则Cn0Cn1Cn2Cn3L(1)nCnn(11)n0，从而获取：Cn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3LCn2r112n2n12④奇数项的系数和与偶数项的系数和：(ax)nCn0anx0Cn1an1xCn2an2x2LCnna0xna0a1x1a2x2Lanxn(xa)nC0a0xnC1axn1C2a2xn2LCnanx0axnLa2x2ax1a0nnnnn1令x1,则a0a1a2a3Lan(a1)n①令x1,则a0a1a2a3Lan(a1)n②①②得,a0a2a4Lan(a1)n(a1)n(奇数项的系数和)2①②得,a1a3a5Lan(a1)n(a1)n(偶数项的系数和)2n⑤二项式系数的最大项：若是二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2获取最大值。n1n1若是二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn2,Cn2同时获取最大值。⑥系数的最大项：求(abx)n张开式中最大的项，一般采用待定系数法。设张开式中各项系数分别为A1,A2,,An1，设第rAr1Ar，从而解出r来。1项系数最大，应有ArAr12题型一：二项式定理的逆用；例：Cn1Cn26Cn362LCnn6n1.解：(16)nCn0Cn16Cn262Cn363LCnn6n与已知的有一些差距，Cn1Cn26Cn362LCnn6n11(Cn16Cn262LCnn6n)1(Cn061[(16)n1(7nCn16Cn262LCnn6n1)1]1)666练：Cn13Cn29Cn3L3n1Cnn.解：设SnCn13Cn29Cn3L3n1Cnn，则3SnCn13Cn232Cn333LCnn3nCn0Cn13Cn232Cn333LCnn3n1(13)n1Sn(13)n14n133题型二：利用通项公式求xn的系数；例：在二项式(413x2)n的张开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？x解：由条件知Cnn245，即Cn245，n2n900，解得n9(舍去)或n10，由C10r(x12C10rx10r2r10r2rTr14)10r(x3)r43，由题意3,解得r6，43则含有x3的项是第7项T61C106x3210x3,系数为210。练：求(x21)9张开式中x9的系数？2x1)r1)rxr1)rx183r，令183r解：Tr1C9r(x2)9r(C9rx182r(C9r(9,则r32x22故x9的系数为C93(1)321。22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式(x21)10的张开式中的常数项？2x解：Tr1C10r(x2)10r(1)rC10r(1)rx5，令205r0，得r8，所以T9C108(1)84520r2x222256练：求二项式(2x1)6的张开式中的常数项？2x解：Tr1C6r(2x)6r(1)r(1)r(1)rC6r26r(1)rx62r，令62r0，得r3，所以T4(1)3C63202x2练：若(x21)n的二项张开式中第5项为常数项，则n____.x解：T5Cn4(x2)n4(1)4Cn4x2n12，令2n120，得n6.x题型四：利用通项公式，再谈论而确定有理数项；例：求二项式(x3x)9张开式中的有理项？1127r27r解：Tr1C9r(x2)9r(x3)r(1)rC9rx6，令Z,(0r9)得r3或r9，6所以当r3时，27r4，T4(1)3C93x484x4，6当r9时，27r3，T10(1)3C99x3x3。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若(x21)n张开式中偶数项系数和为256，求n.3x2解：设(x21)n张开式中各项系数依次设为a0,a1,an,3x2令x1,则有a0a1an0,①，令x1,则有a0a1a2a3(1)nan2n,②将①-②得：2(a1a3a5)2n,a1a3a52n1,有题意得，2n125628，n9。11n的张开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。练：若(35x2)x解：QCn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3LCn2r12n1，2n11024，解得n11Cn5(31)6(512)5462x461所以中间两个项分别为n6,n7，T51，T61462x15xx题型六：最大系数，最大项；例：已知(12x)n，若张开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求张开式中二项式系数最大项2的系数是多少？解：QCn4Cn62Cn5,n221n980,解出n7或n14，当n7时，张开式中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数C73(1)42335,，T5的系数C74(1)32470,当n14时，张开式中二项式系数最大222的项是T8，T8的系数C147(1)7273432。2练：在(ab)2n的张开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2nTn1，也就是第n1项。21练：在(x1)n的张开式中，只有第5项的二项式最大，则张开式中的常数项是多少？23x解：只有第5项的二项式最大，则n8,所以张开式中常数项为第七项等于61215，即nC8(2)72练：写出在(ab)7的张开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：由于二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时获取最大值，从而有T4C73a4b3的系数最小，T5C74a3b4系数最大。练：若张开式前三项的二项式系数和等于79，求(12x)n的张开式中系数最大的项？2解：由Cn0Cn1Cn279,解出n12,假设Tr1项最大，Q(12x)12(1)12(14x)1222Ar1ArC12r4rC12r14r1，化简获取9.4r10.4，又Q0r12，r10，张开式中系数最Ar1Ar2C12r4rC12r14r1大的项为T11,有T11(1)12C1210410x1016896x102练：在(12x)10的张开式中系数最大的项是多少？解：假设Tr1项最大，QTr1C10r2rxrAr1ArC10r2rC10r12r1解得2(11r)r，化简获取6.3k7.3，又Q0r10，C10r2rC10rAr1Ar212r1,r12(10r)r7，张开式中系数最大的项为T8C10727x715360x7.题型七：含有三项变两项；例：求当(x23x2)5的张开式中x的一次项的系数？解法①：(x23x2)5[(x22)3x]5，Tr1C5r(x22)5r(3x)r，当且仅当r1时，Tr1的张开式中才有x的一次项，此时Tr1T2C51(x22)43x，所以x得一次项为C51C44243x它的系数为C51C44243240。解法②：(x23x2)5(x1)5(x2)5(C50x5C51x4C55)(C50x5C51x42C5525)故张开式中含x的项为C54xC5525C54x24240x，故张开式中x的系数为240.练：求式子(x12)3的常数项？x解：(x12)3(x1)6，设第r1项为常数项，则TrC6r(1)r6r(1)r(1)6C6r62r1xx，得xxx62r0,r3,T31(1)3C6320.题型八：两个二项式相乘；例：求(12x)3(1x)4张开式中x2的系数.解：Q(12x)3的张开式的通项是C3m(2x)mC3m2mxm,(1x)4的张开式的通项是C4n(x)nC4n1nxn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,所以(12x)3(1x)4的张开式中x2的系数等于C3020C42(1)2C3121C41(1)1C3222C40(1)06.练：求(13x)6(11)10张开式中的常数项.4x1)mn4m3n解：(13x)6(110张开式的通项为C6mx3C10nx4C6mC10nx124x其中m0,1,2,,6,n0,1,2,当且仅当4m3n,即m0,或m3,或m6,,10,n0,n4,n8,时得张开式中的常数项为C60C100C63C104C66C1084246.练：21n*xx)(xx3)的张开式中没有常数项,nN且2n8,则n______.已知(1解：(x13)n张开式的通项为Cnrxnrx3rCnrxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得xCnrxn4r,Cnrxn4r1,Cnrxn4r2,Q张开式中不含常数项,2n8n4r且n4r1且n4r2，即n4,8且n3,7且n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x2)2006的二项张开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x2时,S_____.解：设(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3La2006x2006-------①(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3La2006x2006-------②①②得2(a1xa3x3a5x5La2005x2005)(x2)2006(x2)2006(x2)2006张开式的奇次幂项之和为S(x)1[(x2)2006(x2)2006]232006当x2时,S(2)1[(22)2006(22)2006]222300822题型十：赋值法；例：设二项式(33x1)n的张开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若xps272,则n等于多少？解：若(33x1)na0a1xa2x2anxn，有Pa0a1an，SCn0Cnn2n，x令x1得P4n，又ps272,即4n2n272(2n17)(2n16)0解得2n16或2n17(舍去)，n4.练：若的张开式中各项系数之和为64，则张开式的常数项为多少？解：令x1，则的张开式中各项系数之和为2n64，所以，则张开式的常数项为540.：20091232009a1a2a2009若(12x)a0a1xa2xa3xLa2009x(xR),则22222009的值为解：令x1a1a2a20090,a1a2a2009a0,可得a022222009222220092在令x0可得a01,所以a1a2a20091.22222009：若(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1x1a0,则a1a2a3a4a5____.解：令x0得a032,令x1得a0a1a2a3a4a51,a1a2a3a4a531.型十一：整除性；例：明：32n28n9(nN*)能被64整除：32n28n99n18n9(81)n18n9Cn018n1Cn118nCnn1182Cnn181Cnn118n9Cn018n1Cn118nCnn11828(n1)18n9Cn018n1Cn118nCnn1182由于各均能被64整除32n28n9(nN*)能被64整除1、(x－1)11张开式中x的偶次系数之和是1、f(x)=(x-1)11,偶次系数之和是f(1)f(1)(2)11/2102422、Cn03C1n32Cn23nCnn2、2、4n3、(351)20的张开式中的有理是张开式的第53、3,9,15,214、(2x-1)5张开式中各系数之和是4、(2x-1)5张开式中各系数系数之和(2x+1)5张开式系数之和，故令x=1，所求和355、求(1+x+x2)(1-x)10张开式中x4的系数5、(1xx2)(1x)10(1x3)(1x)9,要获取含x4的，必第一个因式中的1与(1-x)9张开式中的C94(x)4作，第一个因式中的－x3与(1-x)9张开式中的C91(x)作，故x4的系数是C19C941356、求(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)10张开式中x3的系数6、(1x)(1x)2（110(1x)[1(1x)10](x1)11(x1)3分子中的4x）1(1x)=x，原式中xx，所求系数C1177、若f(x)(1x)m(1x)n(mnN)张开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？7、由条件得m+n=21，x2的项为Cm2x2Cn2x2，则Cm2Cn2(n21)2399.因n∈N，故当n=10或11时上式有m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小24最小值，也就是8、自然数n为偶数时，求证：12C1nCn22C3nCn42Cnn1Cnn32n18、原式=(Cn0C1nCn2Cnn1Cnn)(C1nC3nC5nCnn1)2n2n13.2n19、求8011被9除的余数9、8011(811)11C1108111C1118110C111081181k1(kZ),k∈Z,∴9k-1∈Z，∴8111被9除余810、在(x2+3x+2)5的张开式中，求x的系数10、(x23x2)5(x1)5(x2)5在(x+1)5张开式中，常数项为1，含x的项为C155x，在(2+x)5张开式中，常数项为25=32，含x的项为C5124x80x∴张开式中含x的项为1(80x)5x(32)240x，此张开式中x的系数为24011、求(2x+1)12张开式中系数最大的项11、设T的系数最大，则T的系数不小于T与T的系数，即有r+1r+1rr+2C12r212rC12r1213rC12r2C12r1C12r212rC12r11211r2C12rC12r131r41,r433∴张开式中系数最大项为第447920x45二项式定理1．二项式定理：(ab)nCn0anCn1an1bLCnranrbrLCnnbn(nN)，2．基本看法：①二项式张开式：右边的多项式叫做(ab)n的二项张开式。②二项式系数:张开式中各项的系数Cnr(r0,1,2,,n).③项数：共(r1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：张开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式张开式的通项。用Tr1Cnranrbr表示。3．注意要点点：①项数：张开式中总合有(n1)项。②序次：注意正确选择a,b,其序次不能够更正。(ab)n与(ba)n是不同样的。③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn0,Cn1,Cn2,,Cnr,,Cnn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。4．常用的结论：令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2LCnrxrLCnnxn(nN)令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2LCnrxrL(1)nCnnxn(nN)5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn0Cnn，···CnkCnk1②二项式系数和：令ab1,则二项式系数的和为Cn0Cn1Cn2LCnrLCnn2n，变形式Cn1Cn2LCnrLCnn2n1。③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b1，则Cn0Cn1Cn2Cn3L(1)nCnn(11)n0，从而获取：Cn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3LCn2r112n2n12④奇数项的系数和与偶数项的系数和：(ax)nCn0anx0Cn1an1xCn2an2x2LCnna0xna0a1x1a2x2Lanxn(xa)nCn0a0xnCn1axn1Cn2a2xn2LCnnanx0anxnLa2x2a1x1a0令x1,则a0a1a2a3Lan(a1)n①令x1,则a0a1a2a3Lan(a1)n②①②得,a0aaLa(a1)n(a1)n(奇数项的系数和)24n2①②得,a1a3a5Lan(a1)n(a1)n(偶数项的系数和)2n⑤二项式系数的最大项：若是二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2获取最大值。n1n1若是二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn2,Cn2同时获取最大值。⑥系数的最大项：求(abx)n张开式中最大的项，一般采用待定系数法。设张开式中各项系数分别为A1,A2,,An1，设第rAr1Ar，从而解出r来。1项系数最大，应有ArAr12题型一：二项式定理的逆用；例：C1nCn26Cn362LCnn6n1.练：C1n3Cn29Cn3L3n1Cnn.题型二：利用通项公式求xn的系数；例：在二项式(413x2)n的张开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？x练：求(x21)9张开式中x9的系数？2x题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式(x21)10的张开式中的常数项？2x练：求二项式(2x1)6的张开式中的常数项？2x练：若(x21)n的二项张开式中第5项为常数项，则n____.x题型四：利用通项公式，再谈论而确定有理数项；例：求二项式(x3x)9张开式中的有理项？题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若(x21)n张开式中偶数项系数和为256，求n.3x2练：若(31512)n的张开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。xx题型六：最大系数，最大项；例：已知

(1

2x)

n，若张开式中第

5项，第

6项与第

7项的二项式系数成等差数列，求张开式中二项式系数最大项2的系数是多少？练：在(ab)2n的张开式中，二项式系数最大的项是多少？练：在(x1)n的张开式中，只有第5项的二项式最大，则张开式中的常数项是多少？2