2015考研数学线性代数零基础入门讲义

考研数学线性代数零基础入门讲欢迎使TOC\o"1-1"\h\z\u第一讲行列 第二讲矩 第三讲线性方程 第一讲行列式一、矩阵的概念与方定 由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的m行n列的数 am 称为mn列矩阵,简称mn体字母表示它,记为A

a1n a2n

amnmnA的元素,aijA的第ijmnA

AAmn(aij)mn或A(aij特别地，当mn时，这个矩阵也叫n阶方阵，简记An二、方阵的行列式运定义由nAA的行列式,记作|A|或detA.注:方阵与行列式是两个不同的概念,n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表,而n三、n阶行列式的排列与逆1由自然数1,2,n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n级排2在一个n级排列(i1i2itisin中，若数itis,则称数it与is构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数,N(i1i2in).ni1i2init(t1,2,nitti则ti的逆序的个数为tinN(i1i2in)t1t2tnti【例】求排列n(n1)(n1)321的逆序数, 其奇偶性n4由n2个元素aij(i,j1,2,n a1n 称为n阶行列式,其中横排称为行,竖排称为列,它表示所有取自不、不同列的n个a1ja2janj

a2n

(1)N(jjj)a 1

an

j1j2

1j12 其中j1j2

nj1j2jndet(aij或|aij|里数

称为行列式的元素，称(1Nj1j2jn

1

a2

为行列式的一般项2n(1)nn2na 的符号为(1)N(j1j2jn)(不算元素本身所带的符号1j12 一阶行列式|a|a,不要与绝对值记号

（1）

（2）1

3】证明n阶行列

1 )

0

a2n

123x12x31x23x13【例5】f(123x12x31x23x13四、行列式的基本性23行列式的某一行（列）零．4

Dbi1 bi2ci2bincin 则 D 素上,行列式不变.注kj行加到第irikrjkj列加到第icikcj

2310231021002232D

DDD 00ccbbD1det(aij) 五、行列式按行（列）展开定定义nDaij所在的第ij列后,余下的n1称为D中元素aij的式,记为Mij,再Aij(1)ijM称Aij为元素aij的代数式

aA，其中A为a的代 11 an （2）nDi行所有元素除aij外都为零，则该行列式等于aij与它的代数式的乘积，即DaijAij定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数式乘积之和,Dai1Ai1ai2Ai2ain Da1jA1ja2jA2janj 推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代

ai1Aj1ai2Aj2ainAjn i a1iA1ja2iA2janiAnj i231023102100223

21 0 13 , 21 0 13 A11A12A13A14M11M21M31M41第二讲矩阵一、几类特殊矩阵与行（列）向所有元素均为零的矩阵称为零矩阵,记为0如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，则称这两个矩阵为同型矩阵ABAB相等ABA(a1a2anA(a1,a2,,anb1 Bb2 称为列矩阵或列向量n阶方 0 称为n阶对角矩阵,对角矩阵也记

nAdiag(1,2,,n)n阶方0 01 00 1称为n阶单位矩阵nEEn（或IIn当一n阶对角矩阵A的对角元素全部相等且等于某一数a时，称A为n阶数量矩阵即 A

00 aA

A21

An2A. A nn称为矩阵A的伴随矩阵二、矩阵的运矩阵的线性运1设有两个mnAaijBbijABABa11 a12 a1nb1na bAB(aijbij

2n

mnA(aij)称AAA(A)O由此规定矩阵的减法

ABA(B)2数kAkAAk kAAk(ka)

ka1nka2n mn数与矩阵的乘积运算称为数乘运算ABCO都是同型矩阵,kl是常数,则ABB(AB)CA(BC)AOA(A)1Ak(l)A(kl)AkAk(AB)kA注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算矩阵的乘定义

a1s

b1n

2s

b2nA

,B ams

bs bsn c1n

c2nAB(cij cmnscijai1b1jai2b2jaisbsjaikbkji1,2,mj1,2,k若CAB，则矩阵C的元素cijA的第iBj

b1j C(a,a ,a

2ja a ab i

is

i11 i22 is bsj(AB)C(AB)CACC(AB)CAk(AB)(kA)B 4 4 例如,设A 2,B3 4 16AB

36 16 4 0 BA3

2 于是ABBA;BA

0从上例还可看出:两个非零矩阵相乘,可能是零矩阵,故不能从ABOAOB 例如,1 1 1A03,B04,C0 21 1 01 AC 030 0 040但A定义

AB注：对于单位矩阵E,容易证明EmAmnAmn,AmnEnAmn

EAAE更进一步1B是一个nBB与任何n阶矩A可换.2AB均为nAB(AB)2A22AB(AB)2A22AB(AB)(AB)(AB)(AB)A2 0 【例1】A ,B

ABa1 【例2设A,B分别是n1和1n矩阵且Aa2，Bb,b ,b计算AB和BA a an3】证明AA*A*AAEn.其中A*A的伴随矩a11x1a12x2a1nxn xa

222a2nxnb2 a1n x1 b1 A

a2n

x b,2,

,X ba a

x b mn n mAX xjcjj1,2,n是方程组(1c1 cn则A这时也称C是矩阵方程(2)的解;反之,如果列矩阵C是矩阵方程(2)的解,即有矩阵等式ACbx,xjcjj1,2,n也是线性方程组(1组(1)的便等价于对矩阵方程(2)的.特别地,齐次线性方程组可以表示为Ax论联系起来，这给线性方程组的带来很大的便利.矩阵的转定义AAATAAA

a1na2n amn则 am1 AT m2 mn(AT)T(AB)TATBT(AB)TBTAT a1n 定义设A 2n是一个n阶矩阵，如果ATA，aa aa n nnaijaji(i,j1, n，则称A为对称矩阵方阵的定义Aaij)nnAkAk

A0

个AkAA k为自然数AmAn (Am)n注:一般地,(AB)mAmBm m为自然方阵的多项 k 设f(x)axk xk1 axa是x的k次多项式，A k fA)aAk Ak1 aAaEA的k k 0a0En方阵乘积的行列定义由nAA的行列式,记作|A|或detA.注:方阵与行列式是两个不同的概念,n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表,而nA的行列式|A|AB为n阶方阵,k|kA|kn|A|AB||A||B|进一步ABABB1A为nA* 0

An1 0，矩阵B满足ABA*2BA*E，则B 1 三、逆矩逆矩阵的概在数的运算中,对于数a0,总存在唯一一个数a1aa1a1aaxa0xa1对于nA,如果存在一个nBABBA2如果nA的行列式|A|0A1nA可逆的充分必要条件是其行列式|A|0AA11|A逆矩阵的运算性AA1A1)1A可逆,数k0,则(kA)11A1k(AB)1AATAT)1A1)TA|A1||A|1【例1】设矩阵A满足A2A5EO,其中E为单位矩阵，则A2E1 b

Ad四、初等变换与初等初等变换的定krikcik0rikrj或cikcjrirj,cicj注：i）ii）初等矩初等倍乘矩阵Ei(c,1)Ei(c)是由单位矩阵第i i初等倍加矩阵E(c) j Eij(c是由单位矩阵第i行乘cjj列乘c加到第i

i

E

j Eij是由单位矩阵第i,j

a13 a23 a a 23 13 a13 a23E12 a a 23 13Ei(cAA的第i行乘cEij(cAA的第i行乘cjEijAA的第i行与第j行对换位置.：iET(c)E(c),ET(c)E(c)，ETE E1(c) 1,E1(c)

(c)，E1E Ei(c 1E*(c)cE(),Eij*(c)Eij(c),E*Eijii i 2列得C，记P

0， 010 010 (A)CP1 (B)C (C)CPT (D)C

1 0 0C C 3 1

【例3】设P 2, ,APPA (2)(A)A32A2第三讲线性方程组一、线性方程组的概念、解与通a11x1a12x2 a1nxnb1axax ax21 22 2n amnxn称为m个方程n个未知量的非齐次线性

a1n x1 b1 x b A 2n,X2,b2 x b m mn n m则（1）可表为Aｍｎx (Ax 其中，A 2n称为线性方程组的系数矩阵 mn a1nb1 A 2称为线性方程组的 b na11 a12 a1n b1 a22 b , ,2n,2 bm1 m2 mn m xnn.(x11x22 xnn【概念理解点睛】系数矩阵的行数=方程的个数，系数矩阵的列数=变量的个数解与通【概念理解点睛】齐次线性方程组总有二、消元krikcik0rikrj或cikcjrirj,cicj注：i）ii）消元叫 消元.其中，所