高二竞赛班第13讲 天体运行轨道.教师版

高二•物理竞赛秋季班•第高二•物理竞赛秋季班•第13讲•学生版本讲前半题目是考频率最高的题目，相对来说没什么新意。后一段散射、潮汐等会更实际一些，有意义一点。本讲可能用到的参数：地球质量M=5.98x1024kg，月球质量M=5.98x1024kg，地球半径EMR=6.37x106m，月球质量M=7.35xIO22kg，月球球半径R=1.74x106m，地月距离r=3.84x108m,EMM太阳质量M=1.99x1030kg，地日距离r=1.50x1011m=1AU，木星到太阳距离r=5.02AU，火星到SESJS太阳距离r=1.52AU。万有引力常数G=6.67x10-nN-m2-kg-2MS©例题精讲本题与主题无关，用来舒活筋骨【例1】假设某人搭设了一个从地面附近一直延伸的月球附近的天梯。天梯与地月连线保持静止。天梯横截面积为S=1m2，密度为p=0.2x103kg/m3。a）为了使得天梯能保持平衡，允许在星体附近挂一个配重。求配重质量。b）在第一问基础上，求出天梯材料应当能承受压强是多少。各种变轨道。其实非常简单，利用上一讲关于轨道的结+论能量守恒/角动量守恒，完爆【例2】一卫星在半径为r的圆形轨道上运动.运动周期为T。如果给卫星一个附加的径向速度u或n一个附加的切向速度u，卫星都将沿一个椭圆轨道运动。（设加速后卫星机械能仍满足EV0）（1）T确定在这两种情况中卫星的运动周期。（2）径向速度u及切向速度u必须满足什么关系才能使卫nT星运动周期相等?【例3】一颗陨石在飞向质量为M的行星途中（沿着通过行星中心的直线）碰到绕此行星沿半径为及的圆周轨道运行的自动宇宙站。站的质量为陨石质量的10倍，碰撞使得陨石陷入站内，宇宙站过渡到与行星最近距离为R/2的新轨道上。求碰撞前陨石的速度u。【例4】从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径Rm为地球半径R0的1.50倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造卫星。第二步是在适当的时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上，如图所示。（1）为使探测器成为沿地球轨道运行的人造卫星，必须加速探测器，使之在地面附近获得多大的速度（相对于地球）?（2）当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60°，如图所示。问应在何年何月何日（时间计算仅需精确到日）点燃探测器上的火

箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面?（已知地球半径为R0=6.4X106m,取重力加速度g=9.8m/s2）【例5】如图所示，登月飞船以速度v0绕月球做圆周运动。已知飞船质量m=1.2X104kg，离月球表面的高度h=100km。飞船在A点突然向前做短时间喷气，喷气的相对速度u=1.0X104m/s,喷气后飞船在A点的速度减为vA，于是飞船将沿新的椭圆轨道运行。为使飞船能在图中的B点着陆（A、嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高H=2.05x102km，远地点离地面高H=5.0930x104km，周期约为16小时，称为16小时轨道（如nf图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。已知卫星质量m=2.350x103kg，地球半径R=6.378x103km，地面重力加速度g=9.81m/s2，月球半径r=1.738x103km。1、试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率e。2、在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小F=490N,要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续多长？3、试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度Hm约为200km，周期Tm=127分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。、参考解答：椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星

到地心的距离)r与r的算术平均值，即有nfa二1(r+r)=1「(H+R)+(H+R)]=1(H+H)+R2nf2nf2nfTOC\o"1-5"\h\z代入数据得a二3.1946x104km(2)椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有b=Qrr(3)代入数据得b=1.942x104km⑷Ia2—b2椭圆的偏心率e=(5)a代入数据即得e=0.7941(6)当卫星在16小时轨道上运行时，以v和v分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守nf恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有1GMm1GMm(7)mv2一=—mv2一(7)2nr2frnf式中M是地球质量，G是万有引力常量.因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有注意到由(7)、(8)、(9)式可得mvr=直，根据角动量守恒，有注意到由(7)、(8)、(9)式可得mvr=mvrnnffGMR2vnRrnvrnf当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有r=R+Hnn由(11)式并代入有关数据得r=R+Hffv=1.198km/sf(8)(9)(10)(11)(12)依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度H；=Hf=5.0930x104km，但新轨道近地点高度H'=6.00x102km.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为n(13)v'=1.230km/s(13)f

卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为At,有m(vf-v)=FAtff由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得(14)△t=1.5x102卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为At,有m(vf-v)=FAtff由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得(14)△t=1.5x102s(约2.5分)(15)这比运行周期小得多.3.当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小，。表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小L—rmvsin0—2mc——rvsin02其中(16)17)是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度•由于角动量是守恒的，故c是恒量•利用远1地点处的角动量，得c=rv2ff又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为T-丄c所以卫星沿轨道运动的周期由(18)、(19)、(20)式得2nabT—rvff(18)代入有关数据得S—nab(19)(20)(21)T—5.678x104s(约15小时46分)(22)注：本小题有多种解法.例如，道半长轴a与a0之比的立方，即0丿'2n丫

TIT'2n丫

TITo丿4n2TOC\o"1-5"\h\z若a0是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有=mao0a200T24n2o—a3GMgR20例7设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度R（从地心算起）延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。1•设在某次发射时，卫星在太空电梯中及其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80R处意外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。i.论证卫星脱落后不会撞击地面ii.如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星，讨论该卫星从脱落时刻起，在0-12小时及12-24小时两个时间段内被太空电梯回收的可能性。2.如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为R处有一卫星从电梯脱离（脱离x时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零），脱离后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星卓地点的经度。提示：此问要用数值方法求解高次方程。已知：地球质量M=6.0x1024kg，半径R=6.4x106m的球体；引力恒量G=6.7x10-11Ngm2醃-2；e地球自转周期T=24小时；假设卫星与太空电梯脱离后只受地球引力作用。e解答1.i.通过计算卫星在脱离点的动能和万有引力势能可知，卫星的机械能为负值.由开普勒第一定律可推知，此卫星的运动轨道为椭圆（或圆），地心为椭圆的一个焦点（或圆的圆心），如图所示.由于卫星在脱离点的速度垂直于地心和脱离点的连线，因此脱离点必为卫星椭圆轨道的远地点地点）；设近地点（或远地点）离距离为r，卫星在此点的速度为v.勒第二定律可知rv=（0.80R）解答1.i.通过计算卫星在脱离点的动能和万有引力势能可知，卫星的机械能为负值.由开普勒第一定律可推知，此卫星的运动轨道为椭圆（或圆），地心为椭圆的一个焦点（或圆的圆心），如图所示.由于卫星在脱离点的速度垂直于地心和脱离点的连线，因此脱离点必为卫星椭圆轨道的远地点地点）；设近地点（或远地点）离距离为r，卫星在此点的速度为v.勒第二定律可知rv=（0.80R）2®⑴式中w（=2兀/T）为地球自转的角速em表示卫星的质量，根据机械能律有（或近地心的由开普度.令守恒定和（2）式解得GMm1GMmmv2一=一m10.80R)w2一r20.80R2）由（1）rq0.28R（3）可见该点为近地点,而脱离处为远地点.【（3）式结果亦可由关系式：GMmr+0.80RGMm0.80R直接求得】同步卫星的轨道半径R满足GMR2=RGMmr+0.80RGMm0.80R直接求得】同步卫星的轨道半径R满足GMR2=Rw2由(3)和(4)式并代入数据得rq1.2x104km可见近地点到地心的距离大于地球半径，因此卫星不会撞击地球.(4)(5)ii.由开普勒第二定律可知卫星的面积速度为常量，从远地点可求出该常量为(6)设a和b分别为卫星椭圆轨道的半长轴和半短轴，由椭圆的几何关系有aq0.28R+0.80R2(7)bq(0.80-0.28)2(8)卫星运动的周期T为(9)Tq9.5h兀(9)Tq9.5hs代人相关数值可求出10)卫星刚脱离太空电梯时恰好处于远地点，根据开普勒第二定律可知此时刻卫星具有最小角速度，其后的一周期内其角速度都应不比该值小，所以卫星始终不比太空电梯转动得慢；换言之，太空电梯不可能追上卫星.设想自卫星与太空电梯脱离后经过1.5T(约14小时)，卫星到达近地点，而此时太空电梯已转过此点，这说明在此前卫星尚未追上太空电梯.由此推断在卫星脱落后的0-12小时内二者不可能相遇；而在卫星脱落后12-24小时内卫星将完成两个多周期的运动，同时太空电梯完成一个运动周期，所以在12-24小时内二者必相遇，从而可以实现卫星回收.2.根据题意，卫星轨道与地球赤道相切点和卫星在太空电梯上的脱离点分别为其轨道的近地点和远地点.在脱离处的总能量为11)GMmGMm11)m(Rw)2-=-xRR+Rxxe此式可化为(R)3(R)3(1R)IR丿e2GMw2R3e(12)13)这是关于R的四次方程，用数值方法求解可得x13)Rq4.7Rq3.0x104km

xe

【R亦可用开普勒第二定律和能量守恒定律求得.令o表示卫星与赤道相切点即近地xe点的速率，则有1GMm1GMm

mo2-=—m(R®)2-2eR2xR(R)(R)52GMR2GMx+=0®2R3R®2R3ee其中除R外其余各量均已知，因此这是关于R的五次方程.同样可以用数值方法解得R•】xxx卫星从脱离太空电梯到与地球赤道相切经过了半个周期的时间，为了求出卫星运行的周期T'，设椭圆的半长轴为a，，半短轴为b，有因为面积速度可表示为所以卫星的运动周期为代入相关数值可得R因为面积速度可表示为所以卫星的运动周期为代入相关数值可得R+R(14)d—xe2“匚(R-R丫\12丿(15)Q'=—R2®s2x(16)丁，兀a'b'(17)T——O，sTq6.8h(18)卫星与地球赤道第一次相切时已在太空中运行了半个周期，在这段时间内，如果地球不转动，卫星沿地球自转方向运行180度，落到西经（18QP-110。）处与赤道相切.但由于地球自转，在这期间地球同时转过了®T/2角度，地球自转角速度®=360。/24h=15。/h，因此卫星与地球赤道相切点位于赤道的经度为西经®T，0=180。—110。+二121。（19）2即卫星着地点在赤道上约西经121度处.评分标准：本题23分.第1问16分，第i小问8分，（1）、（2）式各2分，（4）式2分，（5）式和结论共2分.第ii小问8分，（9）、（10）式各2分，说出在0-12小时时间段内卫星不可能与太空电梯相遇并给出正确理由共2分，说出在12-24小时时间段内卫星必与太空电梯相遇并给出正确理由共2分.【例7】第2问7分，（11）式1分，（13）式2分，（18）式1分，（19）式3分.（数值结果允许有5%的相对误差）如图所示，一彗星以初速度v0向着太阳运动，其原始轨道与太阳中心的距离为b，太阳的质量为M,半径为R,将太阳视为静止，并略去所有其他星体的作用，试求彗星不与太阳相撞的b的可取值是多少？考虑反冲效应，从行星偷能量【例8】用恰好足以摆脱太阳引力场的速度，在离开太阳的径向轨道上从地球发射一航天器，由时间控制以使航天器在木星后面一距离穿越木星轨道。因航天器跟木星引力场有作用而偏转90°，即作用后的速度切于木星轨道（圆轨道）。则在这作用中航天器单位质量得到的能量是多少?木星的轨道半径为R.，太阳质量为M，万有引力常数为G。js潮汐【例9】利用地球质量M、月球质量M、地球半径R、月球半径R、地月距离r表达地球潮汐高EMEM度。以及如果月球上有水，对比月球上潮汐高度。【例10】某位同学写科幻小说。“Kerrigan站在月面的基地上，仰望星空。一轮蓝色地球冉冉升起。啊，那是曾经的故乡…”请指出这段小说中的硬伤。例11】地球和月球构成的体系角动量守恒，请解释由于潮汐的作用，地球自转会变慢，月亮会离地球越来越远。并计算月亮由于这个效应，最后可能距离地球最远的距离。

©你知道吗最大与最小——宇宙的奥秘Writtenby童哲在广袤的宇宙中物质的形态形