机械制图 投影法和点、直线、平面的投影课件

第1章投影法和点、直线、平面的投影

1.2点的投影

1.3直线的投影

1.4求线段实长及对投影面的倾角

1.5两直线的相对位置1.6平面的投影

1.1投影法的基本知识返回第1章投影法和点、直线、平面的投影1.2点的11.1投影法的基本知识

1.1.1投影法概念

1.1.2投影法的分类

1.1.3正投影法的基本性质1.1投影法的基本知识1.1.1投影法概念1.2

1.1.1投影法的概念投影面Pa投影投射线bS投影中心A

空间点B将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。1.1.1投影法的概念投影面Pa投影投射线bS3

1.1.2投影法的分类

1.中心投影法

投射线汇交于一点。2.平行投影法

投射线互相平行。

（1）斜投影

投射线与投影面倾斜的平行投影。

（2）正投影

投射线与投影面垂直的平行投影。1.1.2投影法的分类41.中心投影法HS1.中心投影法HS52.平行投影法----斜投影H2.平行投影法----斜投影H62.平行投影法----正投影90°H2.平行投影法----正投影90°H7

1.1.3正投影法的基本性质

1.

实形性

当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。

2.

积聚性

当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。

3.

类似性

当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。1.1.3正投影法的基本性质1.实形性当线81.实形性CDEBAHabedc当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。1.实形性CDEBAHabedc当线段或平面平行于投影面时9edca（b）CDEBAH2.积聚性当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。edca（b）CDEBAH2.积聚性当线段或平面垂直于投影103.类似性CDEedcBAabH当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。3.类似性CDEedcBAabH当线段或平面倾斜于投影面时111.1点的投影1.1.1点在两投影面体系中的投影1.1.2点在三投影面体系中的投影1.1.3两点的相对位置和重影点1.1点的投影1.1.1点在两投影面体系中的投影1.1121.1.1点在两投影面体系中的投影5.点在其他分角的投影3.点的两面投影图2.两投影面体系的建立4.两投影面体系中点的投影规律1.点的两个投影能唯一确定该点的空间位置1.1.1点在两投影面体系中的投影5.点在其他分角131.点的两个投影能唯一确定该点的空间位置HVOXaaA1.点的两个投影能唯一确定该点的空间位置HVOXa142.两投影面体系的建立XO

两投影面体系由V面和H面二个投影面构成。V面和H面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。正立投影面投影轴VH水平投影面2.两投影面体系的建立XO两投影面体系由V面和H面二153.点的两面投影图HVOXaAa点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。点A的正面投影点A的水平投影3.点的两面投影图HVOXaAa点的二面投16XHVOa

aax两面投影图的画法HHVOXa

aAax展开时，规定V面不动，H面向下旋转90。用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。XHVOaaax两面投影图的画法HHVOXaaAax17通常不画出投影面的范围XOa

aax通常不画出投影面的范围XOaaax184.两投影面体系中点的投影规律HVOXa

aAaxXOa

aax点的V面投影与H面投影之间的连线a‘a垂直于投影轴0X；点的一个投影到0X投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离，即a'ax=Aa，aax=Aa'。

4.两投影面体系中点的投影规律HVOXaaAaxXOa191.2.2点在三投影面体系中的投影1.三投影面体系的建立2.点的三面投影图3.点的三面投影与直角坐标的关系4.三投影面体系中点的投影规律5.特殊点的投影1.2.2点在三投影面体系中的投影1.三投影面体系的201.三投影面体系的建立HVXOZYW三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。1.三投影面体系的建立HVXOZYW三投影面体系由V212.点的三面投影图HVXZYWOA点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，H面向下旋转90，W面向右旋转90。aaaHa

aa

VWXOZYWYH2.点的三面投影图HVXZYWOA点的三面22a

aa

XOZYWYH通常不画出投影面的范围aaaXOZYWYH通常不画出投影面的范围23HVXZYWOayaxazxyzaaaHa

aa

VWXOZYWYHaxayazay3.点的三面投影与直角坐标的关系若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。yAxAzAHVXZYWOayaxazxyzaaaHaaaV244.三投影面体系中点的投影规律HVXZYWOayaxazxyzaaaa

aa

XOZYWYHaxayazay点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a‘a⊥0X；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a’a“⊥0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。长对正高平齐宽相等4.三投影面体系中点的投影规律HVXZYWOayaxazx255.特殊位置点的投影OXb

bc

cHVOXCcca

bBb

Aaa

a

投影面上的点

投影轴上的点

与原点重合的点5.特殊位置点的投影OXbbccHVOXCcc26三面投影体系中特殊位置的点投影三面投影体系中特殊位置的点投影27例1

已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。ZYHXYWOa

aa例1已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。ZYHX28XOZY1.两点的相对位置a

a

ab

b

bBA两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。XZYWYHOaa

ab

bb

XOZY1.两点的相对位置aaabbbBA292.重影点c(c)dda(b)abAB

若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。CD2.重影点c(c)dda(b)abAB若30XYHZYWOc(d)ba(b)acda

b

c

d

判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。XYHZYWOc(d)ba(b)acdabc31

例2已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

12106例2已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上1321.3直线的投影

1.3.1直线的三面投影

1.3.2直线对投影面的相对位置

1.3.3直线上的点1.3直线的投影1.3.1直线的三面投影1.333OXZY1.3.1直线的三面投影ABbbabaaZXabaOYYabb空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。OXZY1.3.1直线的三面投影ABbbabaa341.3.2直线对投影面的相对位置

1.投影面平行线

平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线

(1)

水平线

(2)

正平线

(3)

侧平线

2.投影面垂直线

垂直于某一投影面的直线

(1)

铅垂线

(2)

正垂线

(3)

侧垂线

3.一般位置直线

与三个投影面都倾斜的直线1.3.2直线对投影面的相对位置1.投影面平行线35

水平线—平行于水平投影面的直线XZYOaababb

Xa

b

ab

OzYHYWbaAB投影特性：1.abOX;abOYW2.ab=AB3.反映、

角的真实大小水平线—平行于水平投影面的直线XZYOaabab36XZYO正平线—平行于正面投影面的直线Xabab

baOZYHYWAB

投影特性：1、abOX;abOZ2、ab=AB3、反映、角的真实大小aababbXZYO正平线—平行于正面投影面的直线Xabab37XZYO侧平线—平行于侧面投影面的直线XZOYHYWa

b

babaAB投影特性：1、abOZ;abOYH2、ab

=AB3、反映、角的真实大小aa

b

a

bbXZYO侧平线—平行于侧面投影面的直线XZOYHYWa38OXZYZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1、ab积聚成一点2、abOX;ab

OY

3、ab=ab=AB铅垂线—垂直于水平投影面的直线ABb

a(b)a

abOXZYZbXaba(b)OYHYWa投影特性：39正垂线—垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性：1、ab积聚成一点2、ab

OX;ab

OZ

3、ab=ab=ABABzXab

baOYHYWabbababa正垂线—垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性：1、a40侧垂线—垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：1、ab积聚成一点2、ab

OYH;ab

OZ

3、ab=ab=ABbaababZXabbaOYHYWab侧垂线—垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：1、41OXZY一般位置直线ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：1、ab、ab、ab均小于实长2、ab、ab、ab均倾斜于投影轴

3、不反映

、

、

实角OXZY一般位置直线ABbbabaaZXa42直线上的点具有两个特性：

1从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。

2定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=ac:

cb=ac

:

cb

利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。

1.3.3直线上的点ABbbaaXOccCc直线上的点具有两个特性：1.3.3直线上的点ABbba43bXaabcc

例3已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C的投影。ObXaabcc例3已知线段AB的44例4已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHVO例4已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。b451.5两直线的相对位置（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。（2）平行两线段之比等于其投影之比。XbaadbbccABCDXbaabdcdc1.平行两直线OO1.5两直线的相对位置（1）两平行直线在同一投影面上的投46平行线的判断(1)平行线的判断(1)47平行线的判断(2)平行线的判断(2)48平行线的判断(3)平行线的判断(3)492.相交两直线

两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkkOO2.相交两直线两相交直线在同一投影面上的投影仍503.交叉两直线

凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。XOBDACbbaaccdd211(2)21bXaabcddc11(2)2O3.交叉两直线凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线51判断重影点的可见性XOBDACbbaaccdd(3)41(2)43341212

判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。判断重影点的可见性XOBDACbbaaccdd(352bbcddcXaa3(4)34121(2)例7判断两直线重影点的可见性ObbcddcXaa3(4)34121(2)例53dacboYWYHZXaacddcbb例6判断两直线的相对位置不用这个方法!应该怎样做!!dacboYWYHZXaacddcbb例654例题1-3(14P)例题1-3(14P)55非机p42比例法-直线相交xo例：判断直线AB、CD的相对位置c’d’cda’b’ba反证法推理1.假定相交2.检验比例.e’.21作取a2=a’b’a1=a’e’连b2,过1作1e//b2ee不在此处交叉（异面）非机p42比例法-直线相交xo例：判断直线AB、CD的相对位56例题1-4(15P)例题1-4(15P)57非机p43直线综合例：已知直线AB、CD、EF。作水平线MN与AB、CD、EF分别交于点M、S、T，N点在V面之前6(工程上缺省为mm)xoa’b’ba.cdc’d’e’f’.ef侧平正垂铅垂读图垂线积聚水平线m’n’//ox比例法定AB上的M点s’m’t’t取a2=a’b’a1=a’m’21.m.6ns..n’非机p43直线综合例：已知直线AB、CD、EF。作水平线M58四直线的换面1.将一般位置直线变为投影面平行线VHXAaBb

abV1X1a1b1a1b1

X1V1HbabaXVH四直线的换面1.将一般位置直线变为投影面平行线59例1把一般位置直线AB变为H1投影面平行线

babaXHVXH1Va1b1例1把一般位置直线AB变为H1投影面平行线60VHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaaa12.将投影面平行线变为投影面垂直线bbVHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHa61

3.将一般位置直线变为投影面垂直线XHaAabbBVV1X1H1a2b2a1b13.将一般位置直线变为投影面垂直线XHaAabb62将一般位置直线变为投影面垂直线XH1V1aaXVHbba2b2XHV1a1b1将一般位置直线变为投影面垂直线XH1V1aaXVHbba63aaXbbcc

思考题1如何求点C到直线AB的距离？XH1V1aaXVHbba2b2XHV1a1b1提示aaXbbcc思考题1如何求点C到直64aaXbbcdcd思考题2如何求两直线AB与CD间的距离？XH1V1aaXVHbba2b2XHV1a1b1V提示aaXbbcdcd思考题2如何求两65五一边平行于某一投影面的直角的投影AHBCacbcXbacba

互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。O五一边平行于某一投影面的直角的投影AHBCacbcXb66例题1-8(20P)例题1-8(20P)67作交叉二直线AB、CD的公垂线EFXa’b’c’d’cdab...eff’平行线特征e’.作交叉二直线AB、CD的公垂线EFXa’b’c’d’cdab68例：在直线AB上找一点C使与H、V等距XZYHYwOa’ab’ba”b”c”...c’c45°线另法：作ab关于ox的对称线得交点c’例：在直线AB上找一点C使与H、V等距XZYHYwOa’a69

一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投影面的倾角。

1.几何分析

2.作图要领

用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。

3.直角三角形的四个要素

实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。六一般位置线段的实长及对投影面的倾角(直角三角形法求直线的真长和对投影面的倾角）一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投影面的70几何分析|zA-zB

|ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|abO几何分析|zA-zB|ABABbbaaCXO|zA71

例5已知线段的实长AB以及ab和a’，求它的正面投影a’b’。aXabAOBb0bb0bb0b’

b’

例5已知线段的实长AB以及ab和a’，求它的正面投影72例题1-10(22p)例题1-10(22p)73已知线段AB长30,并与CD平行，求作AB的二面投影Xc’d’cd..a’a可知直线AB的投影，但要定B点用直角三角形法先定CD实长ΔzΔz.由AB长30.ab.b.b’已知线段AB长30,并与CD平行，求作AB的二面投影Xc’d74已知等腰三角形的底边BC属于水平线MN,顶点A属于直线EF,又知BC的中点为D,BC和AD等长，求作ΔABC的投影Xe’f’m’n’d’a’b’c’efmnadbcadΔzadTLAD已知等腰三角形的底边BC属于水平线MN,顶点A属于直线EF,75已知直角三角形ABC的一直角边AB//V面；斜边AC=60，且与H面成60°夹角，请完成ΔABC的投影Xa’b’ab60ACac60°ΔzACΔzACc’c已知直角三角形ABC的一直角边AB//V面；斜边AC=60，761.4平面的投影一平面的表示法二各种位置平面的投影特性三面上的点和直线1.4平面的投影一平面的表示法二各种位置平面的投771.4平面的表示法1.几何元素表示平面用几何元素表示平面有五种形式：（1）不在一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）相交两直线；（4）平行两直线；（5）任意平面图形。2.平面的迹线表示法平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。1.4平面的表示法1.几何元素表示平面781.几何元素表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd用几何元素表示平面有五种形式：（1）不在一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）相交两直线；（4）平行两直线；（5）任意平面图形。1.几何元素表示法aabcbcbaacbc792.迹线表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW2.迹线表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPX801.4各种位置平面的投影特性1.投影的垂直面(1)铅垂面(2)正垂面(3)侧垂面2.投影的平行面(1)水平面(2)正平面(3)侧平面3.一般位置平面1.4各种位置平面的投影特性1.投影的垂直面81铅垂面投影特性：1、

水平投影abc积聚为一条直线2、正面投影abc、

侧面投影abc为ABC的类似形3、abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小VWHPPHABCacbababbaccc类似性类似性聚积性铅垂面投影特性：1、水平投影abc积聚为一条直线VWHPP82铅垂面迹线表示VWHPPHPHPVPW铅垂面迹线表示VWHPPHPHPVPW83正垂面投影特性：1、正面投影abc积聚为一条直线2、水平投影abc、侧面投影abc是ABC的类似形3、abc与OX、OZ的夹角反映α、角的真实大小VWHQQVαababbacccAcCabB类似性类似性聚积性正垂面投影特性：1、正面投影abc积聚为一条直线84正垂面的迹线表示VWHQQVαγQV正垂面的迹线表示VWHQQVαγQV85侧垂面投影特性：1、侧面投影abc积聚为一条直线2、水平投影abc、正面投影abc为

ABC的类似形3、abc与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小VWHSWSCabABcabbbaaαβccc聚积性类似性类似性侧垂面投影特性：1、侧面投影abc积聚为一条直线VW86侧垂面的迹线表示VWHSHSZXOYHSHYαβ侧垂面的迹线表示VWHSHSZXOYHSHYαβ87水平面VWHCABabcbacabccabbbaacc投影特性：1.abc、abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性2.水平投影abc反映

ABC实形

积聚性实形性积聚性水平面VWHCABabcbacabccabb88正平面VWHcabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：1.abc、abc积聚为一条直线，具有积聚性2.正平面投影abc反映

ABC实形积聚性实形性积聚性正平面VWHcabbacbcabaca89侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa投影特性：1.abc、abc积聚为一直条线，具有积聚性2.侧平面投影abc反映

ABC实形

积聚性实形性积聚性侧平面VWHabbbacccabcbac90

一般位置平面abcbacababbaccbacCAB投影特性1.abc、abc、abc均为ABC的类似形2.不反映、、

的真实角度

类似性类似性类似性一般位置平面abcbacababbac911.4平面上的点和直线（1）平面上的直线

直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。（2）平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。一.平面上取直线和点1.4平面上的点和直线（1）平面上的直线一.平面92（1）

平面上取直线

属于平面上的直线，该直线一定经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。abcabcddeeABCEDFff（1）平面上取直线属于平面上的直线，该直线一定经过93（2）

平面上取点ABCDEabcabcddee点在平面上，该点一定在平面内的一直线上。（2）平面上取点ABCDEabcabcddee94例已知ABC给定一平面，（1）判断点K是否属于该平面。（2）已知平面上一点E的正面投影e’作出水平投影。kkabcabcddee11XO例已知ABC给定一平面，（1）判断点K是否属于该平面。（952.平面上的特殊位置直线VHPPVPH（1）平面上投影面平行线—既在平面上又平行于投影面的直线。在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。水平线正平线2.平面上的特殊位置直线VHPPVPH（1）平面上投影面平96例abcbacmnnm已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。例abcbacmnnm已知ABC给定一平面，试97例已知点E

在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V面10，试求点E的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015ee例已知点E在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V面98VAHCBcbXaabca1c1b1V1X1X1V/H体系变为V1/H体系c1b1a1bcabacX1.新投影体系的建立六平面的换面VAHCBcbXaabca1c1b1V199（1）新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。（2）新投影面必须垂直于原投影体系中的某一个投影面。VAHCBcbXaabcV1X1c1b1a12.新投影面的选择原则（1）新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。VAHC100acXVHbbacVHXcbabCAcBaddDX1H1a1c1b1d1dX1H1Vdb1a1c1d11.将一般位置平面变为投影面垂直面acXVHbbacVHXcbabCA101k1X1H1Vb1a1c1d1s1acbbacddss'例3求点S到平面ABC的距离k1X1H1Vb1a1c1d1s1acbbac102HXVCAcbaB2.将投影面垂直面变为投影面平行面X1V1c1b1a1V1c1b1a1X1HXVCAcbaB2.将投影面垂直面变为投影面平行103a1c1b1X1bcabacXVHacbXX1V1c1b1a1bcaa1c1b1X1bcabacXVHac104acXVHbbacddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H13.将一般位置平面变为投影面平行面

acXVHbbacddb1a1c1d1X1H105例5已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。acXVHbbacddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2例5已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，1061.5直线与平面、

平面与平面的相对位置

1.7.1平行问题1相交问题2平行问题3垂直问题4综合问题分析1.5直线与平面、

平面与平面的相对位置1.7.107相交问题积聚性法相交问题积聚性法108交点与交线的性质

直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。PABKDBCALKEF交点与交线的性质直线与平面、平面与平面不109积聚性法当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM积聚性法当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时110直线可见性的判别bbaaccmmnkn

特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性--观察法VHPHPABCacbkNKMk在平面之前直线可见性的判别bbaaccmmnkn111XOa’a(b)b’c’e’d’cefdf’kk’例6铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE相交，求交点并判别可见性。XOa’a(b)b’c’e’d’cefdf’kk’例6铅112（2）两平面相交fk求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmmlnbaccabXOfk（2）两平面相交fk求两平面交线的问题113平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLbbacn114平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLXObbacnlmcmalnfkfk平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLXObba115平行问题1直线与平面平行2平面与平面平行平行问题1直线与平面平行2平面与平面平行116直线与平面平行直线与平面平行的几何条件:

平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。特殊情况:直线和投影面垂直面平行的条件!PCDBA直线与平面平行直线与平面平行的几何条件:平面外的一条直线与117例1试判断直线AB是否平行于平面CDE。fgfgbaabcededc结论：直线AB不平行于定平面XO例1试判断直线AB是否平行于平面CDE。fgfgb118例2过点K作一水平线AB平行于已知平面ΔCDE。baaffbcededkkcXO例2过点K作一水平线AB平行于已知平面ΔCDE。ba119平面与平面平行两平面平行的几何条件:平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线。特殊情况:两平面都是投影面垂直面时平行的条件!PSEFDACB平面与平面平行两平面平行的几何条件:平面内的两相交直线对应地120fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行XO例3试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss121例4已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkkXO例4已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面122例5试判断两平面是否平行结论：两平面平行efefsrsddcaacbbrPHSHXO例5试判断两平面是否平行结论：两平面平行efefsr123垂直问题1直线与平面垂直2平面与平面垂直垂直问题1直线与平面垂直2平面与平面垂直124直线与平面垂直VHPAKLDCBE几何条件：一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。如果平面是投影面垂直面时,与该平面垂直的线应该是什么线直线与平面垂直VHPAKLDCBE几何条件：一直线垂直125定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投126acacnnmfdbdbfm例8平面由

BDF给定，试过定点M作平面的垂线。acacnnmfdbdbfm例8平面由127hhhhhhkkSVkkPVkkQH例9试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhhhkkSVkkPVkkQH例9试128两平面垂直几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。两个投影面垂直面相互垂直!它们具有积聚性的同面投影相互垂直PAB两平面垂直几何条件：若一直线垂直于一定平面，129两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线,该垂线必属于第一个平面上的直线。ABⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠAB两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的130平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。综合问题解题的一般步骤：

1.分析题意2.明确所求结果，找出解题方法3.拟定解题步骤二用投影变换法解决空间几何元素定位问题和度量问题平行、相交、及垂直等问题侧重于探131aabbaabbccddbaabccddaabbccaabb

两点之间距离aabbcc三角形实形aabbccdd

直线与平面的交点abcdabcd

两平面夹角aabbaabbccddbaabccdd132例题1-18(39P)例题1-18(39P)133例题1-20(40P)例题1-20(40P)134X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1112121babdcaXVHdc211222例2求两直线AB与CD的公垂线。

H2X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1135第1章投影法和点、直线、平面的投影

1.2点的投影

1.3直线的投影

1.4求线段实长及对投影面的倾角

1.5两直线的相对位置1.6平面的投影

1.1投影法的基本知识返回第1章投影法和点、直线、平面的投影1.2点的1361.1投影法的基本知识

1.1.1投影法概念

1.1.2投影法的分类

1.1.3正投影法的基本性质1.1投影法的基本知识1.1.1投影法概念1.137

1.1.1投影法的概念投影面Pa投影投射线bS投影中心A

空间点B将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。1.1.1投影法的概念投影面Pa投影投射线bS138

1.1.2投影法的分类

1.中心投影法

投射线汇交于一点。2.平行投影法

投射线互相平行。

（1）斜投影

投射线与投影面倾斜的平行投影。

（2）正投影

投射线与投影面垂直的平行投影。1.1.2投影法的分类1391.中心投影法HS1.中心投影法HS1402.平行投影法----斜投影H2.平行投影法----斜投影H1412.平行投影法----正投影90°H2.平行投影法----正投影90°H142

1.1.3正投影法的基本性质

1.

实形性

当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。

2.

积聚性

当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。

3.

类似性

当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。1.1.3正投影法的基本性质1.实形性当线1431.实形性CDEBAHabedc当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。1.实形性CDEBAHabedc当线段或平面平行于投影面时144edca（b）CDEBAH2.积聚性当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。edca（b）CDEBAH2.积聚性当线段或平面垂直于投影1453.类似性CDEedcBAabH当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。3.类似性CDEedcBAabH当线段或平面倾斜于投影面时1461.1点的投影1.1.1点在两投影面体系中的投影1.1.2点在三投影面体系中的投影1.1.3两点的相对位置和重影点1.1点的投影1.1.1点在两投影面体系中的投影1.11471.1.1点在两投影面体系中的投影5.点在其他分角的投影3.点的两面投影图2.两投影面体系的建立4.两投影面体系中点的投影规律1.点的两个投影能唯一确定该点的空间位置1.1.1点在两投影面体系中的投影5.点在其他分角1481.点的两个投影能唯一确定该点的空间位置HVOXaaA1.点的两个投影能唯一确定该点的空间位置HVOXa1492.两投影面体系的建立XO

两投影面体系由V面和H面二个投影面构成。V面和H面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。正立投影面投影轴VH水平投影面2.两投影面体系的建立XO两投影面体系由V面和H面二1503.点的两面投影图HVOXaAa点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。点A的正面投影点A的水平投影3.点的两面投影图HVOXaAa点的二面投151XHVOa

aax两面投影图的画法HHVOXa

aAax展开时，规定V面不动，H面向下旋转90。用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。XHVOaaax两面投影图的画法HHVOXaaAax152通常不画出投影面的范围XOa

aax通常不画出投影面的范围XOaaax1534.两投影面体系中点的投影规律HVOXa

aAaxXOa

aax点的V面投影与H面投影之间的连线a‘a垂直于投影轴0X；点的一个投影到0X投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离，即a'ax=Aa，aax=Aa'。

4.两投影面体系中点的投影规律HVOXaaAaxXOa1541.2.2点在三投影面体系中的投影1.三投影面体系的建立2.点的三面投影图3.点的三面投影与直角坐标的关系4.三投影面体系中点的投影规律5.特殊点的投影1.2.2点在三投影面体系中的投影1.三投影面体系的1551.三投影面体系的建立HVXOZYW三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。1.三投影面体系的建立HVXOZYW三投影面体系由V1562.点的三面投影图HVXZYWOA点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，H面向下旋转90，W面向右旋转90。aaaHa

aa

VWXOZYWYH2.点的三面投影图HVXZYWOA点的三面157a

aa

XOZYWYH通常不画出投影面的范围aaaXOZYWYH通常不画出投影面的范围158HVXZYWOayaxazxyzaaaHa

aa

VWXOZYWYHaxayazay3.点的三面投影与直角坐标的关系若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。yAxAzAHVXZYWOayaxazxyzaaaHaaaV1594.三投影面体系中点的投影规律HVXZYWOayaxazxyzaaaa

aa

XOZYWYHaxayazay点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a‘a⊥0X；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a’a“⊥0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。长对正高平齐宽相等4.三投影面体系中点的投影规律HVXZYWOayaxazx1605.特殊位置点的投影OXb

bc

cHVOXCcca

bBb

Aaa

a

投影面上的点

投影轴上的点

与原点重合的点5.特殊位置点的投影OXbbccHVOXCcc161三面投影体系中特殊位置的点投影三面投影体系中特殊位置的点投影162例1

已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。ZYHXYWOa

aa例1已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。ZYHX163XOZY1.两点的相对位置a

a

ab

b

bBA两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。XZYWYHOaa

ab

bb

XOZY1.两点的相对位置aaabbbBA1642.重影点c(c)dda(b)abAB

若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。CD2.重影点c(c)dda(b)abAB若165XYHZYWOc(d)ba(b)acda

b

c

d

判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。XYHZYWOc(d)ba(b)acdabc166

例2已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

12106例2已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上11671.3直线的投影

1.3.1直线的三面投影

1.3.2直线对投影面的相对位置

1.3.3直线上的点1.3直线的投影1.3.1直线的三面投影1.3168OXZY1.3.1直线的三面投影ABbbabaaZXabaOYYabb空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。OXZY1.3.1直线的三面投影ABbbabaa1691.3.2直线对投影面的相对位置

1.投影面平行线

平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线

(1)

水平线

(2)

正平线

(3)

侧平线

2.投影面垂直线

垂直于某一投影面的直线

(1)

铅垂线

(2)

正垂线

(3)

侧垂线

3.一般位置直线

与三个投影面都倾斜的直线1.3.2直线对投影面的相对位置1.投影面平行线170

水平线—平行于水平投影面的直线XZYOaababb

Xa

b

ab

OzYHYWbaAB投影特性：1.abOX;abOYW2.ab=AB3.反映、

角的真实大小水平线—平行于水平投影面的直线XZYOaabab171XZYO正平线—平行于正面投影面的直线Xabab

baOZYHYWAB

投影特性：1、abOX;abOZ2、ab=AB3、反映、角的真实大小aababbXZYO正平线—平行于正面投影面的直线Xabab172XZYO侧平线—平行于侧面投影面的直线XZOYHYWa

b

babaAB投影特性：1、abOZ;abOYH2、ab

=AB3、反映、角的真实大小aa

b

a

bbXZYO侧平线—平行于侧面投影面的直线XZOYHYWa173OXZYZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1、ab积聚成一点2、abOX;ab

OY

3、ab=ab=AB铅垂线—垂直于水平投影面的直线ABb

a(b)a

abOXZYZbXaba(b)OYHYWa投影特性：174正垂线—垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性：1、ab积聚成一点2、ab

OX;ab

OZ

3、ab=ab=ABABzXab

baOYHYWabbababa正垂线—垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性：1、a175侧垂线—垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：1、ab积聚成一点2、ab

OYH;ab

OZ

3、ab=ab=ABbaababZXabbaOYHYWab侧垂线—垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：1、176OXZY一般位置直线ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：1、ab、ab、ab均小于实长2、ab、ab、ab均倾斜于投影轴

3、不反映

、

、

实角OXZY一般位置直线ABbbabaaZXa177直线上的点具有两个特性：

1从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。

2定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=ac:

cb=ac

:

cb

利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。

1.3.3直线上的点ABbbaaXOccCc直线上的点具有两个特性：1.3.3直线上的点ABbba178bXaabcc

例3已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C的投影。ObXaabcc例3已知线段AB的179例4已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHVO例4已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。b1801.5两直线的相对位置（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。（2）平行两线段之比等于其投影之比。Xb