土壤 作物系统模拟的优化方法简介06课件

土壤作物系统模拟的优化方法简介06课件1

现代农业生产的目标是多方面的，不仅要求具有很好的经济效益，同时也需要一定的社会及生态效益。

在生产过程中仅追求高的产量常导致资源的低效利用，并伴随环境污染问题；

由此，按农业可持续发展的要求，应在达到一定目标产量的前提下，要求资源利用效率尽可能提高，从而实现农业生产的高产高效。反之，若只重视资源的高效利用又可能存在低产的现象。现代农业生产的目标是多方面的，不仅要求具有2拟建整合模型的主要内容和结构作物生长发育（生理响应等）根冠形态发育3维模型根系吸收水分模型根系吸收养分模型土壤水分、热、养分运移和转化模型调控途径逆境条件拟建整合模型的主要内容和结构作物生长发育根冠形态发育根系吸收3土壤－作物系统模拟的优化问题一、管理措施的优化选择合适的灌水、施肥量，使得作物产量、水分利用效率(WUE)和氮素利用效率(NUE)都达到最优。常用的优化方法:1.线性规划土壤－作物系统模拟的优化问题一、管理措施的优化选择合适的灌水4例1：农业用水最优分配的线性规划模型

农业用水对象为小麦、玉米、经济作物、果树等四项，其用水对策拟定为畦灌、喷灌、滴灌、雨养（即不灌）四项。经过两层次二元组合，得出14个决策变x1~x14，由于滴灌应用于大田作物是不适宜的，所以不考虑小麦、玉米的滴灌方案。目的：每万亩土地净收益最大例1：农业用水最优分配的线性规划模型农业用水对象为小5

决策变量

小麦

玉米

经济作物

果树畦灌x1x4x7x11喷灌x2x5x8x12滴灌

x9x13雨养x3x6x10x14用水对象用水对策限制因素：1.（总面积限制）2.x1+x2+x3

≤77（小麦面积限制）决策变量

畦63.

（小麦畦灌面积限制）4.

（小麦喷灌面积限制）5.x4+x5+x6≤20（玉米面积限制）

6.

（玉米畦灌面积限制）7.（玉米喷灌面积限制）8.x7+x8+x9+x10

≤26（经济作物面积限制）

3.（小麦畦灌面积限制）4.（小麦喷灌面积限制）79.（经济作物畦灌面积限制）10.（经济作物喷灌面积限制）11.x9

≥4.1（经济作物滴灌面积限制）

12.x11+x12+x13+x14≤4.1（果树面积限制）

13.x11≤2（果树畦灌面积限制）14.（果树喷灌面积限制）9.（经济作物畦灌面积限制）10.（经济作物喷灌面积限制815.x13≥0.9(果树滴灌面积限制）16.210x1+110x2+190x4+100x5+200x7+100x8+70x9+180x11+95x12+60x13

≤11707（水资源量限制）xj≥0(j=1,2,…,6)（非负限制）

(式中变量的系数为水资源消耗系数,如x1的系数210表示畦灌每万亩小麦耗水210万立方米。)目标函数：Maxf=60x1+55x2+35x3+52x4+47x5+30x6+100x7+90x8

+85x9+60x10+600x11+550x12+520x13+350x14

目标函数中各系数均为每万亩土地净收益（万元）15.x13≥0.99线性规划模型的一般形式求一组决策变量x1，x2，…，xn，满足下列约束条件：使目标函数取最大值（或最小值）。

线性规划问题的解法：单纯形法！

线性规划模型的一般形式求一组决策变量x1，x2，…，xn，满10

例1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知有关数据见下表：III拥有量原材料2111设备1210利润元/件810试求获利最大的生产方案。2.目标规划：例1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知有关数据11解：这是一个单目标问题，用线性规划模型描述为：最优解为：元但实际上工厂在作决策时，要考虑市场等一系列其他条件：（1）根据市场信息，产品I的销售量有下降的趋势，故考虑产品甲的产量不大于产品II。（2）超过计划供应的原材料时，需要高价采购，这就使成本增加。（3）应尽可能利用设备I，但不希望加班。（4）应尽可能达到并超过计划利润指标56元。解：这是一个单目标问题，用线性规划模型描述为：最优解为：元但121.偏差变量

设为决策变量，此外，引进正、负偏差变量正偏差变量表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。1.偏差变量设为决132、绝对约束和目标约束绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束,是硬约束；目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，是软约束。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。2、绝对约束和目标约束绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不143、优先因子（优先等级）与权系数一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或轻重缓急的不同。凡要求第一位达到的目标赋于优先因子P1，次位的目标赋于优先因子P2，…，并规定Pk>>Pk+1,k=1,2,…,K。表示Pk比Pk+1有更大的优先权。即首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的；以此类推，若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时可分别赋于它们不同的权系数j，这些都由决策者按具体情况而定。3、优先因子（优先等级）与权系数一个规划问题常常有若干目标。154、目标规划的目标函数目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先因子而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因此目标规划的目标函数只能是其基本形式有三种：4、目标规划的目标函数目标规划的目标函数(准则函数)是按各目16（2）要求不超过目标值，既允许达不到目标值，就是正偏差变量尽可能地小，这时（3）要求超过目标值，既超过量不限，但必须是负偏差变量尽可能地小，这时（1）要求恰好达到目标值，既正、负偏差变量都要尽可能地小，这时（2）要求不超过目标值，既允许达不到目标值，就是正（3）要求17目标规划的数学模型目标规划模型的一般形式为：使目标函数：

求x=(x1,…,xn)T，满足条件：目标规划的数学模型目标规划模型的一般形式为：使目标函数：求183.非线性目标规划非线性目标规划模型：在目标规划的基础上，其目标函数以及约束条件之一是非线性的。例：冬小麦－夏玉米水氮管理措施的优化－王凤仙，陈研，李韵珠；2000这是一个多效应指标的综合优化分析，水氮效应函数多为非线性函数，从而选择非线性目标函数。3.非线性目标规划非线性目标规划模型：在目标规划的基础上，19优化目标（优先级）：产量（Y）；2.土壤水资源利用效率（WUE）；3.土壤氮资源利用效率（NUE）。约束条件：1.冬小麦：灌水总量为40～440mm;施氮总量为0～320kg/hm22.夏玉米:灌水总量为40mm;施氮总量为0～320kg/hm23.冬小麦-夏玉米周年:灌水总量为80～480mm;

施氮总量为0～640kg/hm2决策变量：灌水总量I，施氮总量N；优化目标（优先级）：产量（Y）；2.土壤水资源利用效20优化设计方案：冬小麦:干旱、中等、湿润3种降雨年型;灌水处理为5个,即40、140、240、340和440mm;施氮量也是5个处理,0、80、160、240、320kg/hm2。2.夏玉米:以前茬冬小麦为干旱年型、灌水量240mm、施氮量160kg/hm2为基础条件,夏玉米降雨年型分为干旱、中等及湿润3种;播前灌40mm,无灌水处理;氮处理5个,数量与小麦同。3.冬小麦-夏玉米周年:冬小麦、夏玉米均为中等降雨年型,两种作物的水氮处理同上,即周年灌水总量处理在80至480mm之间,施氮总量在0至640kg/hm2之间。目标函数见原文。优化设计方案：冬小麦:干旱、中等、湿润3种降雨年型;灌水处214.动态规划动态规划是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策过程（multistepdecisionprocess）的最优化方法。多阶段决策：有一类活动的过程，由于其特殊性，可以分为若干个互相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。各个阶段的决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的一条活动路线。这种把一个问题可看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。4.动态规划动态规划是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策过22动态规划的基本概念：(1)阶段

把所给定问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序去求解，描述阶段的变量成为阶段变量。(2)状态

在动态规划模型中，状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它包含了描述系统情况所必需的信息，所以状态又叫做不可控因素。状态既是该阶段的起始状况，又是前一阶段末时的状况，通常一个阶段有若干个状态，描述过程状态的变量称为状态变量。动态规划的基本概念：(1)阶段把所给定问题23状态应具有下面的性质：如果某阶段状态给定后，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。换句话说，过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展。这个性质称为无后效性。（马尔科夫性）(3)决策当过程处于某一阶段的某个状态时，可以做出不同的决定（或选择），从而确定下一阶段的状态，这种决定（或选择）称为决策，决策用决策变量来描述。(4)策略按顺序排列的决策组成的集合状态应具有下面的性质：如果某阶段状态给定后，则在这阶段(3)24(5)状态转移方程状态转移方程，又叫系统方程，是确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程。(6)指标函数和最优值函数任何决策过程都必然有一个衡量其策略优劣的尺度，一个数量指标，称为指标函数（目标函数）。指标函数的最优值，称为最优值函数(5)状态转移方程状态转移方程，又叫系统方程，是确定过程25k=1k=2kk=n…………x1x2x3xk+1xn+1xku1u2ukunf1(x2)f2(x3)fk(xk+1)fn(xn+1)动态规划中各阶段、各变量之间关系xi:状态ui:决策变量

是指第k阶段状态为xk+1时，相对于始点的最优指标函数值。而表示第阶段状态为取决策为时对本阶段的阶段效益值。在一些动态规划模型中，每个阶段内都有多于一个的目标函数，动态规划和目标规划的思想常常结合起来加以应用！k=1k=2kk=n…………x1x2x3xk+1xn+1xk26例：基于作物生长模型的冬小麦田间优化管理－冯凌，陈研。2005作物生长模型——PS123模型PS123模型是荷兰Wageningen大学土壤地质系DriessenP.M.教授等人开发的用于定量化土地生产力评价的普适模型，可以用来进行小麦、玉米、粟类及棉花等多种作物生产的生长模型。PS123模型描述了生产水平的层次性。例：基于作物生长模型的冬小麦田间优化管理作物生长模型——PS27PS1（最简单的生产水平）：是在作物生理可能达到的范围内把作物行为定量为只是有效的太阳辐射和温度的影响；其它的土地质量因子则假设为充分满足相应的土地利用需求。PS2：改变水分供给最适宜的假设，即认为作物生产是由所截获的太阳辐射量、温度和有效水分共同决定的，其它在实际农田生产中影响生产的土地产量因子都假设为最适宜。PS3：有效养分成为附加考虑的因子

在原PS2模型中主要采用的是水量平衡模型计算实际的作物蒸腾（TR）和作物充分供水下的实际蒸腾速率TRM，从而求得作物水分满足系数。PS1（最简单的生产水平）：是在作物生理可能达到的范围内PS28平衡模型在应用于区域均衡研究时，避开了一些土壤水分物理参数，计算相对简单；然而某些分量难以准确确定，因而精度不够高。1.通过基于水动力学的土壤模块计算提供TR和TMR，在动态定量化地考虑土壤水转化和作物吸水等因素时更为直观、精确。对原PS123模型的改进：2.参照了Daisy模型对PS3模型进行了修正，并计算氮胁迫系数平衡模型在应用于区域均衡研究时，避开了一些土壤水分物理1.29动态规划模型：阶段变量：状态变量：将冬小麦的生育期划分为六个阶段（stage=6）1.t

阶段初始时可用于分配的灌水量（mm/ha）；2.

t

阶段初始时可用于分配的氮肥施用量（kg/ha）；3.

t

阶段初始时冬小麦的生物量（包括叶、根、茎、穗分别的生物量）（kg/ha）。播种-出苗、出苗-返青，返青-拔节，拔节-抽穗，抽穗-灌浆，灌浆-成熟。动态规划模型：阶段变量：状态变量：将冬小麦的生育期划分为六个30决策变量：（mm/ha）：表示t

阶段初的灌水决策。

（kg/ha）:表示

t

阶段初的施氮决策。

状态转移方程（系统方程）1.水量分配方程:

2.肥量分配方程:

3.本模型属于土壤-作物系统中的一个子模块，因此，第三个状态转移函数的角色由土壤模块和作物生长模块共同担任。决策变量：（mm/ha）：表示t阶段初的灌水决策。（31目标函数：

作物各器官干物质的增加量同水分胁迫系数和氮胁迫系数的乘积成正比。而对于特定作物品种来说，粒穗比是一定的，即贮藏器官的干物重与经济产量成正比。目标函数：作物各器官干物质的增加量同水分胁迫系数和氮胁迫32具体为：具体为：331.初始阶段初始时可用于分配的灌水量（mm/ha）；2.

初始阶段初始时可用于分配的氮肥施用量（kg/ha）；3.

初始阶段初始时冬小麦的生物量（包括叶、根、茎、穗分别的生物量）（kg/ha）。初始条件：约束条件：1.初始阶段初始时可用于分配的灌水量（mm/ha34每次进行田间管理时，一次性灌水量最大值为160mm/ha，即灌水允许决策集合为0~160mm/ha；一次性施氮量最大值为220kg/ha，施肥允许决策集合为0~220kg/ha。存在的问题：状态的设计是否满足无后效性？进一步的研究：降雨对决策的影响每次进行田间管理时，一次性灌水量最大值为160mm/ha，35优化部分流程图：优化部分流程图：365.随机规划带有随机参数的数学规划模型一般来说可以描述如下：式中,X为n

维决策向量;为随机向量;为目标函数;

是事先给定的约束条件的置信水平;Pr{·}为表示{·}中事件成立的概率。5.随机规划带有随机参数的数学规划模型一般来说可以描述如下37常见的约束方程的表达形式：i=1,2,…m线性约束条件基于作物生长模型的田间随机优化管理模型：多目标非线性随机规划常见的约束方程的表达形式：i=1,2,…m线性约束条件基于作38二、反求参数对土壤－作物系统的定量描述应包括以下三方面的内容（1）过程的概化－模型的建立（2）模型的求解－计算方法的选用（3）各类参数的准确测定与计算二、反求参数对土壤－作物系统的定量描述应包括以下三方面的内容39反求参数法

反求参数法就是从已知实测结果和计算结果来反求参数，也叫做求逆问题或反问题。一般情况下，通过室内实验求得的参数，和田间实验求得的参数相差很多，这样就给实际计算带来很大的误差；无法通用。近年来引入了求解微分方程逆问题的方法，并结合实验来反求参数。逆问题的类型：1.单纯求方程的参数；2.求源汇项3.求初始条件4.求边界条件5.以上几种类型的混合反求参数法反求参数法就是从已知实测结果和计算40使初始参数有现有的实验或资料决定，曲线拟合时采用优化方法用优化方法反求参数的基本思想是：求一组参数使初始参数有现有的实验或资料决定，曲线拟合时采用优化方法用优41

单纯形法

单纯形法是对n维空间中的（n+1）个点（它们构成一个单纯形的顶点，如平面上一个三角形的三顶点）上的函数值进行比较，丢掉其中最坏点代之以新点，从而构成一个新的单纯形，以此逐步逼近极小点。初始单纯形的选取：

取n+1个顶点…………的正规单纯形单纯形法单纯形法是对n维空间中的（n+1）个点42其中a为单纯形边长

令

单纯形法的迭代过程，包括下述四种运算：其中a为单纯形边长令单纯形法的迭代过程，包括下述四种运431．反射：设其中xn+1是单纯形的顶点中除去xh以后诸点的中心点，即>0为反射系数，一般取

=1，xn+2是xh关于xn+1的反射点。x1x2xhx3x4反射点＝11．反射：设其中xn+1是单纯形的顶点中除去xh以后诸点的中442．延伸：若则将向量延伸，得

>1为延伸系数，通常取

=2。又若则以xn+3代替xh，而构成新的单纯形，否则以xn+2代替xh而构成新的单纯形，转去作1。

若

则转去作3。

2．延伸：若则将向量45延伸过程的几何意义（二维情形）

x1x2xhx3x4x5(延伸点)延伸过程的几何意义（二维情形）x1x2xhx3x4x5(延463．收缩：若这时不能延伸，但亦不收缩，以xn+2代替xh，构成新的单纯形。若都有则将向量收缩，即令0<<1为压缩系数，通常取

=0.5。

转去作4。若如果时，则以xn+4代替xh，否则收缩失败，3．收缩：若这时不能延伸，但亦不收缩，以xn+2代替xh，构47将向量收缩，即如有，则以xn+5替代xh而构成新单纯形，

否则收缩失败，转去作4。

x1x2xhx3x4x5x6（收缩点）将向量收缩，即如有484．缩小边长：若则将向量的长度缩小一半，即令

此时，对缩小后的新单纯形继续迭代，直到满足精度要求为止。对于的情形亦同样处理。x1xe=x2xh4．缩小边长：若则将向量的长度缩小一半，即495．精度：设允许误差为

<0，每次迭代得到新单纯形后，若各顶点的函数值满足则迭代可停止，此时xe可作为所求的近似解。5．精度：设允许误差为<0，每次迭代得到新单纯形后，50非线性最小二乘法拟和求解

在自然界，以及社会、经济活动中，有些因素之间的相互影响，往往呈现非线性关系。

例如

或这样的模型，称为本质非线性模型或纯非线性模型。一般非线性模型的形式为

其中f是待定参数b1,b2,…,bm的非线性函数X可以是单个变量也可以是p个变量X=(x1,x2,…,xp)非线性最小二乘法拟和求解在自然界，以及社会、经济活51给出N组观测值（）k=1,2,…,N，在最小二乘意义下确定m个参数b1,b2,…,bm。1．基本算法――台劳级数展开法

一般的非线性问题，无法直接求解，数值计算中通常采用逐次逼近的方法，即逐次“线性化”方法。

先给bi一个初始值，记为，并记初值与真值之差（未知）为i，这时有确定bi的问题化为确定修正值i的问题

给出N组观测值（）k=1,52的项得可在附近作台劳级数展开，并略去i的二次及二次以上当给定时，它们都是自变量X的函数，可以直接算出。的项得可在附近作台劳级数展开，并略去i的二次及二53类似线性回归模型的推导

类似线性回归模型的推导54记可得方程组记可得方程组55当观测值给定，并给出近似值后，系数aij（对称的）及右端可以一一算出，因此可解得i，进而得bi值i=1,2,…,m这种方法常称为台劳级数展开法，也称为高斯－牛顿法。

要点：（1）给出初值，并记，把求解bi的问题化为求解；（2）利用台劳展式“线性化”；

（3）以修正之后作为新的初值，重复(1)、(2)直至，其中eps是允许误差。当观测值给定，并给出近似值后，系数aij（对称的）及562．改进算法――麦夸尔特法在原系数矩阵的对角线上加上一个“阻尼因子”d,d≥0。当d=0时，麦夸尔特法退化为台劳级数展开法。令可以证明：（1）当d越来越大时，的长度越来越小，并以零为极限。2．改进算法――麦夸尔特法在原系数矩阵的对角线上加上一个“57（2）当d越来越大时，与ay两矢量的夹角越来越小，并以零为极限。由于ay不随d改变，（2）的结论实际上指出的方向将随着d的增大而逐渐接近ay的方向。由于ay的方向就是梯度方向（最速下降方向），沿着这个方向，只要步长不太大，残差平方和Q可以逐渐减小。所以只要d充分大，定能保证下一次迭代中得到的Q值比上一次的小，除非Q已达到最小值。（2）当d越来越大时，与ay两矢量的夹角越来越小，58阻尼因子d的选取原则:在收敛的情况下，为减少迭代次数，d宜选较小的值；仅当不能保证相应的Q比前次的小的情况下，才被迫选较大的d值。因此，d是随迭代过程变化的。

阻尼因子d的选取原则:在收敛的情况下，为减少迭代次数，d59具体的选取方法：（1）算出初值所对应的残差平方和，并记为Q(0)；指定一个常数c（c>1，例如c=10）；并给出d的一个初值d(0)（例如当aii=1时，令d(0)=0.01）。（2）进行下一次迭代时，令d=cd(0)

=-1,0,1,2,…

（进而是bi）相应的残差平方和Q不大于Q(0)，即

这里的值尽可能取得小些，只需保证解出的Q<Q(0)

（＊）具体的选取方法：（1）算出初值所对应的残差平方和，并记为Q(60令若（＊）成立则这次迭代完成；否则令若（＊）成立则这次迭代完成；否则令可以证明，只要d=cd(0)充分大，总能保证（＊）成立，从而结束这次迭代。

（3）以d，bi和Q的当前值（即结束上一次迭代时的值）代替和Q(0)，重复（2）作下一次迭代，直至

令若（＊）成立则这次迭代完成；否则令若（＊）成立则这次迭61土壤作物系统模拟的优化方法简介06课件62

现代农业生产的目标是多方面的，不仅要求具有很好的经济效益，同时也需要一定的社会及生态效益。

在生产过程中仅追求高的产量常导致资源的低效利用，并伴随环境污染问题；

由此，按农业可持续发展的要求，应在达到一定目标产量的前提下，要求资源利用效率尽可能提高，从而实现农业生产的高产高效。反之，若只重视资源的高效利用又可能存在低产的现象。现代农业生产的目标是多方面的，不仅要求具有63拟建整合模型的主要内容和结构作物生长发育（生理响应等）根冠形态发育3维模型根系吸收水分模型根系吸收养分模型土壤水分、热、养分运移和转化模型调控途径逆境条件拟建整合模型的主要内容和结构作物生长发育根冠形态发育根系吸收64土壤－作物系统模拟的优化问题一、管理措施的优化选择合适的灌水、施肥量，使得作物产量、水分利用效率(WUE)和氮素利用效率(NUE)都达到最优。常用的优化方法:1.线性规划土壤－作物系统模拟的优化问题一、管理措施的优化选择合适的灌水65例1：农业用水最优分配的线性规划模型

农业用水对象为小麦、玉米、经济作物、果树等四项，其用水对策拟定为畦灌、喷灌、滴灌、雨养（即不灌）四项。经过两层次二元组合，得出14个决策变x1~x14，由于滴灌应用于大田作物是不适宜的，所以不考虑小麦、玉米的滴灌方案。目的：每万亩土地净收益最大例1：农业用水最优分配的线性规划模型农业用水对象为小66

决策变量

小麦

玉米

经济作物

果树畦灌x1x4x7x11喷灌x2x5x8x12滴灌

x9x13雨养x3x6x10x14用水对象用水对策限制因素：1.（总面积限制）2.x1+x2+x3

≤77（小麦面积限制）决策变量

畦673.

（小麦畦灌面积限制）4.

（小麦喷灌面积限制）5.x4+x5+x6≤20（玉米面积限制）

6.

（玉米畦灌面积限制）7.（玉米喷灌面积限制）8.x7+x8+x9+x10

≤26（经济作物面积限制）

3.（小麦畦灌面积限制）4.（小麦喷灌面积限制）689.（经济作物畦灌面积限制）10.（经济作物喷灌面积限制）11.x9

≥4.1（经济作物滴灌面积限制）

12.x11+x12+x13+x14≤4.1（果树面积限制）

13.x11≤2（果树畦灌面积限制）14.（果树喷灌面积限制）9.（经济作物畦灌面积限制）10.（经济作物喷灌面积限制6915.x13≥0.9(果树滴灌面积限制）16.210x1+110x2+190x4+100x5+200x7+100x8+70x9+180x11+95x12+60x13

≤11707（水资源量限制）xj≥0(j=1,2,…,6)（非负限制）

(式中变量的系数为水资源消耗系数,如x1的系数210表示畦灌每万亩小麦耗水210万立方米。)目标函数：Maxf=60x1+55x2+35x3+52x4+47x5+30x6+100x7+90x8

+85x9+60x10+600x11+550x12+520x13+350x14

目标函数中各系数均为每万亩土地净收益（万元）15.x13≥0.970线性规划模型的一般形式求一组决策变量x1，x2，…，xn，满足下列约束条件：使目标函数取最大值（或最小值）。

线性规划问题的解法：单纯形法！

线性规划模型的一般形式求一组决策变量x1，x2，…，xn，满71

例1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知有关数据见下表：III拥有量原材料2111设备1210利润元/件810试求获利最大的生产方案。2.目标规划：例1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知有关数据72解：这是一个单目标问题，用线性规划模型描述为：最优解为：元但实际上工厂在作决策时，要考虑市场等一系列其他条件：（1）根据市场信息，产品I的销售量有下降的趋势，故考虑产品甲的产量不大于产品II。（2）超过计划供应的原材料时，需要高价采购，这就使成本增加。（3）应尽可能利用设备I，但不希望加班。（4）应尽可能达到并超过计划利润指标56元。解：这是一个单目标问题，用线性规划模型描述为：最优解为：元但731.偏差变量

设为决策变量，此外，引进正、负偏差变量正偏差变量表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。1.偏差变量设为决742、绝对约束和目标约束绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束,是硬约束；目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，是软约束。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。2、绝对约束和目标约束绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不753、优先因子（优先等级）与权系数一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或轻重缓急的不同。凡要求第一位达到的目标赋于优先因子P1，次位的目标赋于优先因子P2，…，并规定Pk>>Pk+1,k=1,2,…,K。表示Pk比Pk+1有更大的优先权。即首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的；以此类推，若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时可分别赋于它们不同的权系数j，这些都由决策者按具体情况而定。3、优先因子（优先等级）与权系数一个规划问题常常有若干目标。764、目标规划的目标函数目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先因子而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因此目标规划的目标函数只能是其基本形式有三种：4、目标规划的目标函数目标规划的目标函数(准则函数)是按各目77（2）要求不超过目标值，既允许达不到目标值，就是正偏差变量尽可能地小，这时（3）要求超过目标值，既超过量不限，但必须是负偏差变量尽可能地小，这时（1）要求恰好达到目标值，既正、负偏差变量都要尽可能地小，这时（2）要求不超过目标值，既允许达不到目标值，就是正（3）要求78目标规划的数学模型目标规划模型的一般形式为：使目标函数：

求x=(x1,…,xn)T，满足条件：目标规划的数学模型目标规划模型的一般形式为：使目标函数：求793.非线性目标规划非线性目标规划模型：在目标规划的基础上，其目标函数以及约束条件之一是非线性的。例：冬小麦－夏玉米水氮管理措施的优化－王凤仙，陈研，李韵珠；2000这是一个多效应指标的综合优化分析，水氮效应函数多为非线性函数，从而选择非线性目标函数。3.非线性目标规划非线性目标规划模型：在目标规划的基础上，80优化目标（优先级）：产量（Y）；2.土壤水资源利用效率（WUE）；3.土壤氮资源利用效率（NUE）。约束条件：1.冬小麦：灌水总量为40～440mm;施氮总量为0～320kg/hm22.夏玉米:灌水总量为40mm;施氮总量为0～320kg/hm23.冬小麦-夏玉米周年:灌水总量为80～480mm;

施氮总量为0～640kg/hm2决策变量：灌水总量I，施氮总量N；优化目标（优先级）：产量（Y）；2.土壤水资源利用效81优化设计方案：冬小麦:干旱、中等、湿润3种降雨年型;灌水处理为5个,即40、140、240、340和440mm;施氮量也是5个处理,0、80、160、240、320kg/hm2。2.夏玉米:以前茬冬小麦为干旱年型、灌水量240mm、施氮量160kg/hm2为基础条件,夏玉米降雨年型分为干旱、中等及湿润3种;播前灌40mm,无灌水处理;氮处理5个,数量与小麦同。3.冬小麦-夏玉米周年:冬小麦、夏玉米均为中等降雨年型,两种作物的水氮处理同上,即周年灌水总量处理在80至480mm之间,施氮总量在0至640kg/hm2之间。目标函数见原文。优化设计方案：冬小麦:干旱、中等、湿润3种降雨年型;灌水处824.动态规划动态规划是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策过程（multistepdecisionprocess）的最优化方法。多阶段决策：有一类活动的过程，由于其特殊性，可以分为若干个互相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。各个阶段的决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的一条活动路线。这种把一个问题可看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。4.动态规划动态规划是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策过83动态规划的基本概念：(1)阶段

把所给定问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序去求解，描述阶段的变量成为阶段变量。(2)状态

在动态规划模型中，状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它包含了描述系统情况所必需的信息，所以状态又叫做不可控因素。状态既是该阶段的起始状况，又是前一阶段末时的状况，通常一个阶段有若干个状态，描述过程状态的变量称为状态变量。动态规划的基本概念：(1)阶段把所给定问题84状态应具有下面的性质：如果某阶段状态给定后，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。换句话说，过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展。这个性质称为无后效性。（马尔科夫性）(3)决策当过程处于某一阶段的某个状态时，可以做出不同的决定（或选择），从而确定下一阶段的状态，这种决定（或选择）称为决策，决策用决策变量来描述。(4)策略按顺序排列的决策组成的集合状态应具有下面的性质：如果某阶段状态给定后，则在这阶段(3)85(5)状态转移方程状态转移方程，又叫系统方程，是确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程。(6)指标函数和最优值函数任何决策过程都必然有一个衡量其策略优劣的尺度，一个数量指标，称为指标函数（目标函数）。指标函数的最优值，称为最优值函数(5)状态转移方程状态转移方程，又叫系统方程，是确定过程86k=1k=2kk=n…………x1x2x3xk+1xn+1xku1u2ukunf1(x2)f2(x3)fk(xk+1)fn(xn+1)动态规划中各阶段、各变量之间关系xi:状态ui:决策变量

是指第k阶段状态为xk+1时，相对于始点的最优指标函数值。而表示第阶段状态为取决策为时对本阶段的阶段效益值。在一些动态规划模型中，每个阶段内都有多于一个的目标函数，动态规划和目标规划的思想常常结合起来加以应用！k=1k=2kk=n…………x1x2x3xk+1xn+1xk87例：基于作物生长模型的冬小麦田间优化管理－冯凌，陈研。2005作物生长模型——PS123模型PS123模型是荷兰Wageningen大学土壤地质系DriessenP.M.教授等人开发的用于定量化土地生产力评价的普适模型，可以用来进行小麦、玉米、粟类及棉花等多种作物生产的生长模型。PS123模型描述了生产水平的层次性。例：基于作物生长模型的冬小麦田间优化管理作物生长模型——PS88PS1（最简单的生产水平）：是在作物生理可能达到的范围内把作物行为定量为只是有效的太阳辐射和温度的影响；其它的土地质量因子则假设为充分满足相应的土地利用需求。PS2：改变水分供给最适宜的假设，即认为作物生产是由所截获的太阳辐射量、温度和有效水分共同决定的，其它在实际农田生产中影响生产的土地产量因子都假设为最适宜。PS3：有效养分成为附加考虑的因子

在原PS2模型中主要采用的是水量平衡模型计算实际的作物蒸腾（TR）和作物充分供水下的实际蒸腾速率TRM，从而求得作物水分满足系数。PS1（最简单的生产水平）：是在作物生理可能达到的范围内PS89平衡模型在应用于区域均衡研究时，避开了一些土壤水分物理参数，计算相对简单；然而某些分量难以准确确定，因而精度不够高。1.通过基于水动力学的土壤模块计算提供TR和TMR，在动态定量化地考虑土壤水转化和作物吸水等因素时更为直观、精确。对原PS123模型的改进：2.参照了Daisy模型对PS3模型进行了修正，并计算氮胁迫系数平衡模型在应用于区域均衡研究时，避开了一些土壤水分物理1.90动态规划模型：阶段变量：状态变量：将冬小麦的生育期划分为六个阶段（stage=6）1.t

阶段初始时可用于分配的灌水量（mm/ha）；2.

t

阶段初始时可用于分配的氮肥施用量（kg/ha）；3.

t

阶段初始时冬小麦的生物量（包括叶、根、茎、穗分别的生物量）（kg/ha）。播种-出苗、出苗-返青，返青-拔节，拔节-抽穗，抽穗-灌浆，灌浆-成熟。动态规划模型：阶段变量：状态变量：将冬小麦的生育期划分为六个91决策变量：（mm/ha）：表示t

阶段初的灌水决策。

（kg/ha）:表示

t

阶段初的施氮决策。

状态转移方程（系统方程）1.水量分配方程:

2.肥量分配方程:

3.本模型属于土壤-作物系统中的一个子模块，因此，第三个状态转移函数的角色由土壤模块和作物生长模块共同担任。决策变量：（mm/ha）：表示t阶段初的灌水决策。（92目标函数：

作物各器官干物质的增加量同水分胁迫系数和氮胁迫系数的乘积成正比。而对于特定作物品种来说，粒穗比是一定的，即贮藏器官的干物重与经济产量成正比。目标函数：作物各器官干物质的增加量同水分胁迫系数和氮胁迫93具体为：具体为：941.初始阶段初始时可用于分配的灌水量（mm/ha）；2.

初始阶段初始时可用于分配的氮肥施用量（kg/ha）；3.

初始阶段初始时冬小麦的生物量（包括叶、根、茎、穗分别的生物量）（kg/ha）。初始条件：约束条件：1.初始阶段初始时可用于分配的灌水量（mm/ha95每次进行田间管理时，一次性灌水量最大值为160mm/ha，即灌水允许决策集合为0~160mm/ha；一次性施氮量最大值为220kg/ha，施肥允许决策集合为0~220kg/ha。存在的问题：状态的设计是否满足无后效性？进一步的研究：降雨对决策的影响每次进行田间管理时，一次性灌水量最大值为160mm/ha，96优化部分流程图：优化部分流程图：975.随机规划带有随机参数的数学规划模型一般来说可以描述如下：式中,X为n

维决策向量;为随机向量;为目标函数;

是事先给定的约束条件的置信水平;Pr{·}为表示{·}中事件成立的概率。5.随机规划带有随机参数的数学规划模型一般来说可以描述如下98常见的约束方程的表达形式：i=1,2,…m线性约束条件基于作物生长模型的田间随机优化管理模型：多目标非线性随机规划常见的约束方程的表达形式：i=1,2,…m线性约束条件基于作99二、反求参数对土壤－作物系统的定量描述应包括以下三方面的内容（1）过程的概化－模型的建立（2）模型的求解－计算方法的选用（3）各类参数的准确测定与计算二、反求参数对土壤－作物系统的定量描述应包括以下三方面的内容100反求参数法

反求参数法就是从已知实测结果和计算结果来反求参数，也叫做求逆问题或反问题。一般情况下，通过室内实验求得的参数，和田间实验求得的参数相差很多，这样就给实际计算带来很大的误差；无法通用。近年来引入了求解微分方程逆问题的方法，并结合实验来反求参数。逆问题的类型：1.单纯求方程的参数；2.求源汇项3.求初始条件4.求边界条件5.以上几种类型的混合反求参数法反求参数法就是从已知实测结果和计算101使初始参数有现有的实验或资料决定，曲线拟合时采用优化方法用优化方法反求参数的基本思想是：求一组参数使初始参数有现有的实验或资料决定，曲线拟合时采用优化方法用优102

单纯形法

单纯形法是对n维空间中的（n+1）个点（它们构成一个单纯形的顶点，如平面上一个三角形的三顶点）上的函数值进行比较，丢掉其中最坏点代之以新点，从而构成一个新的单纯形，以此逐步逼近极小点。初始单纯形的选取：

取n+1个顶点…………的正规单纯形单纯形法单纯形法是对n维空间中的（n+1）个点103其中a为单纯形边长

令

单纯形法的迭代过程，包括下述四种运算：其中a为单纯形边长令单纯形法的迭代过程，包括下述四种运1041．反射：设其中xn+1是单纯形的顶点中除去xh以后诸点的中心点，即>0为反射系数，一般取

=1，xn+2是xh关于xn+1的反射点。x1x2xhx3x4反射点＝11．反射：设其中xn+1是单纯形的顶点中除去xh以后诸点的中1052．延伸：若则将向量延伸，得

>1为延伸系数，通常取

=2。又若则以xn+3代替xh，而构成新的单纯形，否则以xn+2代替xh而构成新的单纯形，转去作1。

若

则转去作3。

2．延伸：若则将向量106延伸过程的几何意义（二维情形）

x1x2xhx3x4x5(延伸点)延伸过程的几何意义（二维情形）x1x2xhx3x4x5(延1073．收缩：若这时不能延伸，但亦不收缩，以xn+2代替xh，构成新的单纯形。若都有则将向量收缩，即令0<<1为压缩系数，通常取

=0.5。

转去作4。若如果时，则以xn+4代替xh，否则收缩失败，3．收缩：若这时不能延伸，但亦不收缩，以xn+2代替xh，构108将向量收缩，即如有，则以xn+5替代xh而构成新单纯形，

否则收缩失败，转去作4。