北师大版七年级数学下册-习题课件-第二章 相交线与平行线-1两条直线的位置关系

第二章 相交线与平行线第二章 相交线与平行线1两条直线的位置关系1两条直线的位置关系知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点一

两条直线的位置关系在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.名师解读

1.两条直线相交只能有一个交点(如果有两个公共点时,根据“两点确定一条直线”是一条直线),因此,两条直线在同一平面内的位置关系只有两种:相交和平行.2.通过平行线的概念,可以知道它的三个特征:(1)两条直线必须在同一平面内,在空间中就存在不相交也不平行的两条直线;(2)必须是直线,不能说“在同一平面内,不相交的两条线段或射线”是平行线,而线段或射线平行都是指它们所在的直线平行;(3)必须是不相交的直线.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点一两知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点二

对顶角及其性质概念:如果两个角有公共顶点,且它们的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角.性质:对顶角相等.名师解读

要判断两个角是否为对顶角必须具备两个条件:(1)有公共顶点;(2)两个角的两条边互为反向延长线,这两个条件缺一不可.不能错误地认为“顶点对顶点”的两个角就是对顶角.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点二对知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点三

互为补角和互为余角及其性质概念:如果两个角的和等于180°,那么称这两个角互为补角.如果两个角的和为90°,那么称这两个角互为余角.性质:同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等.名师解读

1.理解互为补角(余角)的定义要注意下列三个条件:(1)互为补角(余角)指两个角之间的关系;(2)两个角相加等于180°(90°);(3)只与角的度数有关,与角的位置无关.2.理解性质:(1)如果∠1和∠2都是∠3的余角(或补角),那么∠1=∠2;(2)如果∠1和∠2分别是∠3和∠4的余角(或补角),且∠3=∠4,那么∠1=∠2.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点三互知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点四

垂线的概念及画法定义:两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.两条直线互相垂直通常用“⊥”表示垂直.如图,直线AB与直线CD垂直,可记作为AB⊥CD,如果用l,m表示这两条直线,记作l⊥m,点O为垂足.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点四垂知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六画法:画垂线可以借助于手中的工具尺,常用的有两种方法:(1)用三角板画垂线:利用三角尺画垂线的基本要点是“一靠、二过、三画”,即用三角板画一条直线的垂线的一般步骤,第一步,把三角尺的一条直角边靠在已知直线上;第二步,使三角尺的另一条直角边经过已知点;第三步,沿已知点所在的直角边画出直线,如图1.(2)用量角器画垂线:用量角器画一条直线的垂线如图2.另外,还可利用方格纸、折纸等画一条直线的垂线.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六画法:画垂线知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六名师解读

理解垂直这一概念,应注意如下两点:(1)两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况,它们所成的角为直角;(2)线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直时,均指它们所在的直线互相垂直;(3)垂直的概念具有双重性,一方面由直角可以得到两条直线垂直,另一方面由两条直线垂直可以得到直角;(4)两条直线垂直并不局限于两条直线铅直和水平的情况.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六名师解读理知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六例1

如图所示,OA⊥OB,OC⊥OD,OE为∠BOD的平分线,∠BOE=18°,求∠AOC的度数.分析根据OE为∠BOD的平分线,∠BOE=18°,求出∠BOD的度数,再根据垂直定义求出∠AOB=∠COD=90°,根据周角等于360°,即可求出∠AOC的度数.解:因为OE为∠BOD的平分线,∠BOE=18°,所以∠BOD=18°×2=36°.又因为OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOB=∠COD=90°.所以∠AOC=360°-90°-90°-36°=144°.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六例1如图所知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点五

垂线的性质1.平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.可以简单说成:垂线段最短.名师解读

理解性质1时注意:(1)已知直线是给定的;(2)要画的这条垂直于已知直线的直线必须要过一个点,不论这个点在直线上还是在直线外;(3)这样的直线能画出一条而且只能画出一条.注意垂线与垂线段的区别与联系:垂线是直线,不能比较大小和度量,垂线段是线段,可以度量.垂线和垂线段都是几何图形,垂线上一点与垂足之间的线段叫做垂线段,且垂线段是垂线的一部分.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点五垂知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点六

点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.名师解读

(1)垂线段是一条线段,是图形.点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,它表示的是一个有单位的长度,不是图形,不能认为点到直线的距离就是垂线段;(2)测量点到直线的距离的方法:①画出点到直线的垂线段;②量出这条垂线段的长度.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点六点知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六例2

(2017·山东滨州惠民月考)如图所示,AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,图中能表示点到直线(或线段)的距离的线段有(

)A.1条 B.2条 C.3条 D.5条解析:本题图形中共有6条线段,即AC,BC,CD,AD,BD,AB,其中线段AB的两个端点没有垂足,不能表示点到直线的距离,其他的都可以.AC是点A到直线BC的距离,BC是点B到直线AC的距离,CD是点C到直线AB的距离,AD是点A到直线CD的距离,BD是点B到直线CD的距离.答案:D知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六例2(20知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一

利用对顶角求角的度数例1

已知如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,∠1∶∠3=3∶1,∠2=20°,求∠DOE的度数.分析根据∠1∶∠3=3∶1设出∠1与∠3,再根据∠1,∠2,∠3的和等于180°列式求出∠1的度数,然后再求出∠1与∠2的和,再根据对顶角相等求解即可.解:因为∠1∶∠3=3∶1,则可设∠1=3k,∠3=k,所以3k+20°+k=180°,解得k=40°.则∠1=3k=120°.所以∠COF=∠1+∠2=120°+20°=140°.所以∠DOE=∠COF=140°.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一利用对顶角求角的度拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二

利用余角和补角求角的度数例2

(2017·安徽宿州埇桥区期中)一个角的补角是它的余角的4倍少15°,求这个角的度数.分析设这个角为x°,根据互为余角的两个角的和等于90°表示出它的余角,互为补角的两个角的和等于180°表示出它的补角,然后列出方程求解即可.解:设这个角为x°,由题意,得180-x=4(90-x)-15,解得x=55.答:这个角的度数为55°.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二利用余角和补角求角拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三

与垂直有关的综合题例3

在方格纸(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)中,我们把每个小正方形的顶点称为格点,已知O,A,B都是方格纸上的格点.(1)画线段OA和直线OB;(2)过O点画AB的垂线,垂足为D;(3)求三角形ABO的面积.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三与垂直有关的综合题拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析根据直线、线段、垂线的概念,利用作图工具即可解答(1)(2),根据三角形的面积公式,即可解答(3).解:(1)如图所示.(2)如图所示.(3)由图可知AB=4,OD=3,根据三角形面积公式,得三角形AOB的面积为4×3÷2=6.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析根据直线、线段、垂线的概拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四

与角有关的综合题例4

已知:O为直线AB上的一点,OC⊥OE于点O,射线OF平分∠AOE.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四与角有关的综合题拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四(1)如图1,判断∠COF和∠BOE之间的数量关系?并说明理由.(2)若将∠COE绕点O旋转至图2的位置,试问(1)中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化?若不发生变化,请你加以证明;若发生变化,请你说明理由.(3)若将∠COE绕点O旋转至图3的位置,继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系,并加以证明.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四(1)如图1,判断∠COF和拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析(1)根据垂直定义可得∠COE=90°,再根据角的和差关系可得∠BOE=90°-∠AOC,∠COF=

,进而得到∠BOE=2∠COF;(2)不发生变化,根据角平分线的性质可得∠EOF=2∠AOE,再根据角的和差关系可得∠COF=90°-∠EOF,∠BOE=180°-2∠EOF,进而可得答案;(3)首先表示出∠COF=90°+∠EOF,再表示∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF,进而得到∠BOE+2∠COF=360°.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析(1)根据垂直定义可得∠拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:(1)因为OC⊥OE,所以∠COE=90°.所以∠BOE=90°-∠AOC,∠COF所以∠BOE=2∠COF.(2)不发生变化.证明如下:因为射线OF平分∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF.因为∠COE=90°,所以∠COF=90°-∠EOF,∠BOE=180°-2∠EOF=2(90°-∠EOF).所以∠BOE=2∠COF.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:(1)因为OC⊥OE,所拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四(3)∠BOE+2∠COF=360°.理由:因为射线OF平分∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF.因为∠COE=90°,所以∠COF=90°+∠EOF.所以2∠COF=180°+2∠EOF,∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF.所以∠BOE+2∠COF=360°.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四(3)∠BOE+2∠COF=拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四P38问题答案:还有∠3与∠4也构成对顶角.P39想一想答案:∠1+∠3=180°.P39问题答案:还有∠3与∠2,∠2与∠4,∠4与∠1也互为补角.P39做一做答案:(1)∠AOD与∠AOC互为补角,∠BOC与∠BOD互为补角,∠DON与∠CON互为补角,∠AOC与∠BOC互为补角,∠BOD与∠AOD互为补角;∠1与∠3互为余角,∠2与∠4互为余角,∠1与∠4互为余角,∠2与∠3互为余角.(2)∠3=∠4.因为∠1=∠2,∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,所以∠3=∠4.(3)∠AOC=∠BOD.因为∠1=∠2,∠AOC=∠2+∠3+∠4,∠BOD=∠1+∠3+∠4,所以∠AOC=∠BOD.P38问题P41想一想答案:(1)如图所示,无论点A在直线l上,还是在直线l外,过点A画直线l的垂线只能画一条.(2)PA>PC>PB>PO.发现:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.P42议一议答案:从距离踏板较近的脚的脚后跟向踏板作垂线,测量垂线段的长度.道理:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,这条垂线段的长度叫点到直线的距离.P39随堂练习解:40°,根据对顶角相等.P41想一想P40习题2.1知识技能1.解:因为∠1+∠2=180°,∠1=38°,所以∠2=180°-∠1=180°-38°=142°,所以∠3=∠1=38°(对顶角相等),∠4=∠2=142°(对顶角相等).数学理解2.解:可以都是直角,但不能全是锐角或钝角.问题解决3.解:∠1=32°.理由:由∠2=∠3,可得出∠3=58°,再根据∠1+∠3=90°,可得出∠1=90°-∠3=32°.P40习题2.14.解:如图所示,由题意知,∠AOB=30°,∠AOB+∠AOC=90°,所以∠AOC=60°,而∠COD+∠AOC=180°,所以∠COD=180°-∠AOC=180°-60°=120°.故树干与山坡所成的角有两个,分别是60°,120°.联系拓广5.解:∠1与∠2不是对顶角,因为∠1有一边的反向延长线不是∠2的一边.4.解:如图所示,由题意知,∠AOB=30°,P43随堂练习1.解:如图所示.2.(1)OD⊥OB,AO⊥OC;(2)BE⊥AC,BC⊥AC,BC⊥CD,CE⊥AC,CE⊥CD,BE⊥CD.P43习题2.2知识技能1.“十”字路口等等.2.解:互相平行的有:东二环、东三环、东四环三条街道;东直门外大街与建国门外大街.互相垂直的有:东二环与东直门外大街,东三环与东直门外大街,东四环与东直门外大街,东二环与建国门外大街,东三环与建国门外大街,东四环与建国门外大街.P43随堂练习问题解决3.解:如图所示.过点C画渠岸AB的垂线,垂足为点D.在点D处开沟能使沟最短.因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.问题解决第二章 相交线与平行线第二章 相交线与平行线1两条直线的位置关系1两条直线的位置关系知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点一

两条直线的位置关系在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.名师解读

1.两条直线相交只能有一个交点(如果有两个公共点时,根据“两点确定一条直线”是一条直线),因此,两条直线在同一平面内的位置关系只有两种:相交和平行.2.通过平行线的概念,可以知道它的三个特征:(1)两条直线必须在同一平面内,在空间中就存在不相交也不平行的两条直线;(2)必须是直线,不能说“在同一平面内,不相交的两条线段或射线”是平行线,而线段或射线平行都是指它们所在的直线平行;(3)必须是不相交的直线.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点一两知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点二

对顶角及其性质概念:如果两个角有公共顶点,且它们的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角.性质:对顶角相等.名师解读

要判断两个角是否为对顶角必须具备两个条件:(1)有公共顶点;(2)两个角的两条边互为反向延长线,这两个条件缺一不可.不能错误地认为“顶点对顶点”的两个角就是对顶角.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点二对知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点三

互为补角和互为余角及其性质概念:如果两个角的和等于180°,那么称这两个角互为补角.如果两个角的和为90°,那么称这两个角互为余角.性质:同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等.名师解读

1.理解互为补角(余角)的定义要注意下列三个条件:(1)互为补角(余角)指两个角之间的关系;(2)两个角相加等于180°(90°);(3)只与角的度数有关,与角的位置无关.2.理解性质:(1)如果∠1和∠2都是∠3的余角(或补角),那么∠1=∠2;(2)如果∠1和∠2分别是∠3和∠4的余角(或补角),且∠3=∠4,那么∠1=∠2.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点三互知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点四

垂线的概念及画法定义:两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.两条直线互相垂直通常用“⊥”表示垂直.如图,直线AB与直线CD垂直,可记作为AB⊥CD,如果用l,m表示这两条直线,记作l⊥m,点O为垂足.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点四垂知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六画法:画垂线可以借助于手中的工具尺,常用的有两种方法:(1)用三角板画垂线:利用三角尺画垂线的基本要点是“一靠、二过、三画”,即用三角板画一条直线的垂线的一般步骤,第一步,把三角尺的一条直角边靠在已知直线上;第二步,使三角尺的另一条直角边经过已知点;第三步,沿已知点所在的直角边画出直线,如图1.(2)用量角器画垂线:用量角器画一条直线的垂线如图2.另外,还可利用方格纸、折纸等画一条直线的垂线.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六画法:画垂线知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六名师解读

理解垂直这一概念,应注意如下两点:(1)两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况,它们所成的角为直角;(2)线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直时,均指它们所在的直线互相垂直;(3)垂直的概念具有双重性,一方面由直角可以得到两条直线垂直,另一方面由两条直线垂直可以得到直角;(4)两条直线垂直并不局限于两条直线铅直和水平的情况.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六名师解读理知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六例1

如图所示,OA⊥OB,OC⊥OD,OE为∠BOD的平分线,∠BOE=18°,求∠AOC的度数.分析根据OE为∠BOD的平分线,∠BOE=18°,求出∠BOD的度数,再根据垂直定义求出∠AOB=∠COD=90°,根据周角等于360°,即可求出∠AOC的度数.解:因为OE为∠BOD的平分线,∠BOE=18°,所以∠BOD=18°×2=36°.又因为OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOB=∠COD=90°.所以∠AOC=360°-90°-90°-36°=144°.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六例1如图所知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点五

垂线的性质1.平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.可以简单说成:垂线段最短.名师解读

理解性质1时注意:(1)已知直线是给定的;(2)要画的这条垂直于已知直线的直线必须要过一个点,不论这个点在直线上还是在直线外;(3)这样的直线能画出一条而且只能画出一条.注意垂线与垂线段的区别与联系:垂线是直线,不能比较大小和度量,垂线段是线段,可以度量.垂线和垂线段都是几何图形,垂线上一点与垂足之间的线段叫做垂线段,且垂线段是垂线的一部分.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点五垂知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点六

点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.名师解读

(1)垂线段是一条线段,是图形.点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,它表示的是一个有单位的长度,不是图形,不能认为点到直线的距离就是垂线段;(2)测量点到直线的距离的方法:①画出点到直线的垂线段;②量出这条垂线段的长度.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点六点知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六例2

(2017·山东滨州惠民月考)如图所示,AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,图中能表示点到直线(或线段)的距离的线段有(

)A.1条 B.2条 C.3条 D.5条解析:本题图形中共有6条线段,即AC,BC,CD,AD,BD,AB,其中线段AB的两个端点没有垂足,不能表示点到直线的距离,其他的都可以.AC是点A到直线BC的距离,BC是点B到直线AC的距离,CD是点C到直线AB的距离,AD是点A到直线CD的距离,BD是点B到直线CD的距离.答案:D知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六例2(20知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点六拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一

利用对顶角求角的度数例1

已知如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,∠1∶∠3=3∶1,∠2=20°,求∠DOE的度数.分析根据∠1∶∠3=3∶1设出∠1与∠3,再根据∠1,∠2,∠3的和等于180°列式求出∠1的度数,然后再求出∠1与∠2的和,再根据对顶角相等求解即可.解:因为∠1∶∠3=3∶1,则可设∠1=3k,∠3=k,所以3k+20°+k=180°,解得k=40°.则∠1=3k=120°.所以∠COF=∠1+∠2=120°+20°=140°.所以∠DOE=∠COF=140°.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一利用对顶角求角的度拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二

利用余角和补角求角的度数例2

(2017·安徽宿州埇桥区期中)一个角的补角是它的余角的4倍少15°,求这个角的度数.分析设这个角为x°,根据互为余角的两个角的和等于90°表示出它的余角,互为补角的两个角的和等于180°表示出它的补角,然后列出方程求解即可.解:设这个角为x°,由题意,得180-x=4(90-x)-15,解得x=55.答:这个角的度数为55°.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二利用余角和补角求角拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三

与垂直有关的综合题例3

在方格纸(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)中,我们把每个小正方形的顶点称为格点,已知O,A,B都是方格纸上的格点.(1)画线段OA和直线OB;(2)过O点画AB的垂线,垂足为D;(3)求三角形ABO的面积.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三与垂直有关的综合题拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析根据直线、线段、垂线的概念,利用作图工具即可解答(1)(2),根据三角形的面积公式,即可解答(3).解:(1)如图所示.(2)如图所示.(3)由图可知AB=4,OD=3,根据三角形面积公式,得三角形AOB的面积为4×3÷2=6.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析根据直线、线段、垂线的概拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四

与角有关的综合题例4

已知:O为直线AB上的一点,OC⊥OE于点O,射线OF平分∠AOE.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四与角有关的综合题拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四(1)如图1,判断∠COF和∠BOE之间的数量关系?并说明理由.(2)若将∠COE绕点O旋转至图2的位置,试问(1)中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化?若不发生变化,请你加以证明;若发生变化,请你说明理由.(3)若将∠COE绕点O旋转至图3的位置,继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系,并加以证明.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四(1)如图1,判断∠COF和拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析(1)根据垂直定义可得∠COE=90°,再根据角的和差关系可得∠BOE=90°-∠AOC,∠COF=

,进而得到∠BOE=2∠COF;(2)不发生变化,根据角平分线的性质可得∠EOF=2∠AOE,再根据角的和差关系可得∠COF=90°-∠EOF,∠BOE=180°-2∠EOF,进而可得答案;(3)首先表示出∠COF=90°+∠EOF,再表示∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF,进而得到∠BOE+2∠COF=360°.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析(1)根据垂直定义可得∠拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:(1)因为OC⊥OE,所以∠COE=90°.所以∠BOE=90°-∠AOC,∠COF所以∠BOE=2∠COF.(2)不发生变化.证明如下:因为射线OF平分∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF.因为∠COE=90°,所以∠COF=90°-∠EOF,∠BOE=180°-2∠EOF=2(90°-∠EOF).所以∠BOE=2∠COF.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:(1)因为OC⊥OE,所拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四(3)∠BOE+2∠COF=360°.理由:因为射线OF平分∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF.因为∠COE=90°,所以∠COF=90°+∠EOF.所以2∠COF=180°+2∠EOF,∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF.所以∠BOE+2∠COF=360°.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四(3)∠BOE+2∠COF=拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四P38问题答案:还有∠3与∠4也构成对顶角.P39想一想答案:∠1+∠3=180°.P39问题答案:还有∠3与∠2,∠2与∠4,∠4与∠1也互为补角.P39做一做答案:(1)∠AOD与∠AOC互为补角