北师大版高中数学选修1 1《42 导数在实际问题中的应用》优秀课件

实际问题中导数的意义

北师大版-高中数学选修1-1第4章

导数应用第2节导数在实际问题中的应用高中学数实际问题中导数的意义北师大版-高中数学选修1-1第4章导课题引入导数来源生活课题引入导数来源生活【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224显然，降雨量是时间的函数，用表示.(1)分别计算当从0变到10，从50变到60时，降雨量关于时间的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；一、导数在气象学中的意义【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨解(1)当从0变到10时,降雨量从0变到10，此时降雨量关于时间的平均变化率为().【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：一、导数在气象学中的意义

时间0102030405060

降雨量0101417202224显然，降雨量是时间的函数，用表示.(1)分别计算当从0变到10，从50变到60时，降雨量关于时间的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；解(1)当从0变到10时,降雨量【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：一、导数在气象学中的意义

时间0102030405060

降雨量0101417202224显然，降雨量是时间的函数，用表示.(1)分别计算当从0变到10，从50变到60时，降雨量关于时间的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；解(1)当从50变到60时,降雨量从22变到24，此时降雨量关于时间的平均变化率为().【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨实际意义【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224显然，降雨量是时间的函数，用表示.它表示从0

到10

内，平均每分降雨量为1.它表示从50

到60

内，平均每分降雨量为0.2.1>0.2,说明这次降雨过程中，刚开始的10比后10的雨下得大.(1)分别计算当从0变到10，从50变到60时，降雨量关于时间的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；一、导数在气象学中的意义实际意义【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记录【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224一、导数在气象学中的意义(2)假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为,求并解释它的实际意义.【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224(2)假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为,求并解释它的实际意义.一、导数在气象学中的意义【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224(2)假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为,求并解释它的实际意义.一、导数在气象学中的意义(2)首先求导函数,根据导数公式表可得将=40代入,得到【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨(2)假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为,求并解释它的实际意义.【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224实际意义降雨量在时间处的导数就是它在处的降雨强度.它表示的是时降雨量关于时间的瞬时变化率，即降雨强度.一、导数在气象学中的意义在气象学中,通常把在单位时间（如1,1等）内的降雨量称作降雨强度.导数气象学的表现形式(2)假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为气象学解释【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224它表示从0

到10这段时间的平均降雨强度是1

，

而从50到60这段时间的平均降雨强度为0.2.(1)分别计算当从0变到10，从50变到60时，降雨量关于时间的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；(2)假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为,求并解释它的实际意义..一、导数在气象学中的意义气象学解释【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记

【例2】功与功率二、导数在物理学中的意义求功关于时间的平均变化率【思路分析】如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功(单位:)是时间(单位:)的函数，设这个函数可以表示为（1）求从1到3时，功关于时间的平均变化率，并解释它的实际意义；【例2】功与功率二、导数在物理学中的意义求功关实际意义【例2】功与功率二、导数在物理学中的意义如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功(单位:)是时间(单位:)的函数，设这个函数可以表示为（1）求从1到3时,功关于时间的平均变化率，并解释它的实际意义；解（1）当从1变到3时，此时功关于时间的平均变化率为它表示从1变到3这段时间，这个人平均每秒做功5..实际意义【例2】功与功率二、导数在物理学中的意义实际意义【例2】功与功率二、导数在物理学中的意义如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功(单位:)是时间(单位:)的函数，设这个函数可以表示为（2）求

，

，并解释他们的实际意义.（2）

和

分别表示

=1和=2时，这个人每秒做的功为7和4.

解（2）首先求.根据导数公式和求导法则可得，于是，.在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特.做功在时间处的导数就是它在时的功率.导数物理学的表现形式实际意义【例2】功与功率二、导数在物理学中的意义v三、导数在经济学中的意义v三、导数在经济学中的意义

表示当建筑面积从100增加到120的过程中每增加1的建筑面积，建筑成本平均约增加1050元.vv三、导数在经济学中的意义实际意义建造一幢面积为的房屋需要成本万元，是的函数：【例3】边际成本..(1)当从100变到120时,建筑成本关于建筑面积的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？解(1)当从100变到120时，建筑成本关于建筑面积的平均变化率为表示当建筑面积从100增加到120vv

【例3】边际成本(2)求导得实际意义三、导数在经济学中的意义建造一幢面积为的房屋需要成本万元，是的函数：(2)求

并解释它的实际意义.在经济学中通常把生产成本

关于产量的函数的导函数称为边际成本.表示当建筑面积为100时，成本增加的速度为1050元/，也就是说当建筑面积为100时，每增加1

的建筑面积，成本就要增加1050元.边际成本指的是当产量为时，生产成本的增加速度，也就是当产量为时，每增加一个单位的产量需要增加个单位成本.导数经济学的表现形式vv【例3】边际成本(2)求导得实际意义三、导数在经(1)当老师提出概念所用时间从第5

到第8时，学生的接受能力关于平均变化率为vv通过研究学生的学习行为，心理学家发现接受能力(即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间.讲授开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散.分析结果表明，一些学生掌握概念的能力由下式给出:练习巩固导数服务生活【练习】

解

其中

是接受能力的一种度量（单位:），是提出概念所用的时间(单位:

).(1)计算当老师提出概念所用时间从第5

到第8时，学生的接受能力关于时间的平均变化率，并解释它的实际意义；，

它表示从=5到=

8这段时间内每分钟学生平均接受能力为1.3..(1)当老师提出概念所用时v练习巩固导数服务生活(2)第10

时，学生的学习能力是在增加还是降低?，v通过研究学生的学习行为，心理学家发现接受能力(即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间.

讲授开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散.分析结果表明，一些学生掌握概念的能力由下式给出:【练习】

其中

是接受能力的一种度量（单位:），是提出概念所用的时间(单位:

).v练习巩固导数服务生活(2)第10

v练习巩固导数服务生活

导数大于0，函数是增加的，说明第10

时学生的学习能力在增加.(2)第10

时，学生的学习能力是在增加还是降低?解（2），.，v通过研究学生的学习行为，心理学家发现接受能力(即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间.

讲授开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散.分析结果表明，一些学生掌握概念的能力由下式给出:【练习】

其中

是接受能力的一种度量（单位:），是提出概念所用的时间(单位:

).v练习巩固导数服务生活导数大于0，函数是增加课堂小结v一、导数在实际生活和科学研究中有着非常广泛的应用二、实际问题中导数意义的解释方法1.瞬时性解释

2.特定意义解释

瞬时变化率降雨强度功率边际成本一个单位的平均变化率导数导数课堂小结v一、导数在实际生活和科学研究中有着非常广泛的应用二vv课后作业(1)求当从1变到2时,电流中流过的电荷量

关于的平均变化率，并解释它的实际意义;(2)求

，，并解释它们的实际意义.(1)求当从2变到4，该工人生产的产品量关于时间的平均变化率，并解释它们的实际意义；(2)求

，并解释它们的实际意义.2.一名工人的研究表明，工作后生产出的产品量(单位:)可以近似表示为

1.一个电路中，流过的电荷量(单位:)关于时间(单位:)的函数为.，vv课后作业(1)求当从1变17.67，它的实际意义是在=

3

这一时刻，每秒经过该电路的电量约为17.76，也就是这段时间内电路的电流约为17.67.vv课后作业参考解答1.（1）平均变化率为8.31，它表示在=1

到=2

这段时间内平均每秒经过该电路的电量为8.31

也就是这段时间内电路的平均电流为8.31

；

，它的实际意义是，在=2这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5，也就是这段时间内的电流为11.5；(2)他们的实际意义分别是在

=2

和=4

这

两个时刻，该工人的每时生产的产品量为60和84.2.(1)平均变化率为74，它表示从2到4

这段时间工人平均每时生产的产品的，量为74.（2）17.67，它的实际意义是在谢谢THANKS谢谢实际问题中导数的意义

北师大版-高中数学选修1-1第4章

导数应用第2节导数在实际问题中的应用高中学数实际问题中导数的意义北师大版-高中数学选修1-1第4章导课题引入导数来源生活课题引入导数来源生活【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224显然，降雨量是时间的函数，用表示.(1)分别计算当从0变到10，从50变到60时，降雨量关于时间的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；一、导数在气象学中的意义【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨解(1)当从0变到10时,降雨量从0变到10，此时降雨量关于时间的平均变化率为().【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：一、导数在气象学中的意义

时间0102030405060

降雨量0101417202224显然，降雨量是时间的函数，用表示.(1)分别计算当从0变到10，从50变到60时，降雨量关于时间的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；解(1)当从0变到10时,降雨量【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：一、导数在气象学中的意义

时间0102030405060

降雨量0101417202224显然，降雨量是时间的函数，用表示.(1)分别计算当从0变到10，从50变到60时，降雨量关于时间的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；解(1)当从50变到60时,降雨量从22变到24，此时降雨量关于时间的平均变化率为().【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨实际意义【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224显然，降雨量是时间的函数，用表示.它表示从0

到10

内，平均每分降雨量为1.它表示从50

到60

内，平均每分降雨量为0.2.1>0.2,说明这次降雨过程中，刚开始的10比后10的雨下得大.(1)分别计算当从0变到10，从50变到60时，降雨量关于时间的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；一、导数在气象学中的意义实际意义【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记录【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224一、导数在气象学中的意义(2)假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为,求并解释它的实际意义.【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224(2)假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为,求并解释它的实际意义.一、导数在气象学中的意义【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224(2)假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为,求并解释它的实际意义.一、导数在气象学中的意义(2)首先求导函数,根据导数公式表可得将=40代入,得到【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨(2)假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为,求并解释它的实际意义.【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224实际意义降雨量在时间处的导数就是它在处的降雨强度.它表示的是时降雨量关于时间的瞬时变化率，即降雨强度.一、导数在气象学中的意义在气象学中,通常把在单位时间（如1,1等）内的降雨量称作降雨强度.导数气象学的表现形式(2)假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为气象学解释【例1】降雨强度

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：

时间0102030405060

降雨量0101417202224它表示从0

到10这段时间的平均降雨强度是1

，

而从50到60这段时间的平均降雨强度为0.2.(1)分别计算当从0变到10，从50变到60时，降雨量关于时间的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；(2)假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为,求并解释它的实际意义..一、导数在气象学中的意义气象学解释【例1】降雨强度下表为一次降雨过程中一段时间内记

【例2】功与功率二、导数在物理学中的意义求功关于时间的平均变化率【思路分析】如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功(单位:)是时间(单位:)的函数，设这个函数可以表示为（1）求从1到3时，功关于时间的平均变化率，并解释它的实际意义；【例2】功与功率二、导数在物理学中的意义求功关实际意义【例2】功与功率二、导数在物理学中的意义如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功(单位:)是时间(单位:)的函数，设这个函数可以表示为（1）求从1到3时,功关于时间的平均变化率，并解释它的实际意义；解（1）当从1变到3时，此时功关于时间的平均变化率为它表示从1变到3这段时间，这个人平均每秒做功5..实际意义【例2】功与功率二、导数在物理学中的意义实际意义【例2】功与功率二、导数在物理学中的意义如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功(单位:)是时间(单位:)的函数，设这个函数可以表示为（2）求

，

，并解释他们的实际意义.（2）

和

分别表示

=1和=2时，这个人每秒做的功为7和4.

解（2）首先求.根据导数公式和求导法则可得，于是，.在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特.做功在时间处的导数就是它在时的功率.导数物理学的表现形式实际意义【例2】功与功率二、导数在物理学中的意义v三、导数在经济学中的意义v三、导数在经济学中的意义

表示当建筑面积从100增加到120的过程中每增加1的建筑面积，建筑成本平均约增加1050元.vv三、导数在经济学中的意义实际意义建造一幢面积为的房屋需要成本万元，是的函数：【例3】边际成本..(1)当从100变到120时,建筑成本关于建筑面积的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？解(1)当从100变到120时，建筑成本关于建筑面积的平均变化率为表示当建筑面积从100增加到120vv

【例3】边际成本(2)求导得实际意义三、导数在经济学中的意义建造一幢面积为的房屋需要成本万元，是的函数：(2)求

并解释它的实际意义.在经济学中通常把生产成本

关于产量的函数的导函数称为边际成本.表示当建筑面积为100时，成本增加的速度为1050元/，也就是说当建筑面积为100时，每增加1

的建筑面积，成本就要增加1050元.边际成本指的是当产量为时，生产成本的增加速度，也就是当产量为时，每增加一个单位的产量需要增加个单位成本.导数经济学的表现形式vv【例3】边际成本(2)求导得实际意义三、导数在经(1)当老师提出概念所用时间从第5

到第8时，学生的接受能力关于平均变化率为vv通过研究学生的学习行为，心理学家发现接受能力(即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间.讲授开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散.分析结果表明，一些学生掌握概念的能力由下式给出:练习巩固导数服务生活【练习】

解

其中

是接受能力的一种度量（单位:），是提出概念所用的时间(单位:

).(1)计算当老师提出概念所用时间从第5

到第8时，学生的接受能力关于时间的平均变化率，并解释它的实际意义；，

它表示从=5到=

8这段时间内每分钟学生平均接受能力为1.3..(1)当老师提出概念所用时v练习巩固导数服务生活(2)第10

时，学生的学习能力是在增加还是降低?，v通过研究学生的学习行为，心理学家发现接受能力(即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间.

讲授开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散.分析结果表明，一些学生掌握概念的能力由下式给出:【练习】

其中

是接受能力的一种度量（单位:），是提出概念所用的时间(单位:

).v练习巩固导数服务生活(2)第10

v练习巩固导数服务生活

导数大于0，函数是增加的，说明第10

时学生的学习能力在增加.(2)第10

时，学生的学习能力是在增加还是降低?解（2），.，v通过研究